连锁律与泰勒展开式

四、連鎖律與泰勒展開式2.

範例：1.

連鎖律。4.

範例：設f(x)=(x2x+1)10(x2)20，求f(1)。3.

連鎖律規則。5.

範例：6.

泰勒展開式。7.

範例：將f(x)=x5+x3+x

表成(x1)的多項式。8.

因式定理與導數。9.

範例：若(x+1)2可整除f(x)=x20+ax3+bx1，求a、b

的值。點擊數字(1~9)選取觀看內容，或空白處按右鍵選「結束放映」可回「乙、微分」1.連鎖律(2)當z

是y

的函數，且y

是x的函數，(1)y=f(x)的導函數常用y或f(x)或則z

是x的函數，且z

的導函數空白處按右鍵選「結束放映」可回「四、連鎖律與泰勒展開式」TobecontinuedTheend空白處按右鍵選「結束放映」可回「四、連鎖律與泰勒展開式」2.範例

Theend空白處按右鍵選「結束放映」可回「四、連鎖律與泰勒展開式」3.連鎖律規則Theend空白處按右鍵選「結束放映」可回「四、連鎖律與泰勒展開式」4.範例(1)設f(x)=(x22x1)10，求f(2)。(2)設f(x)=(x2x+1)10(x2)20，求f(1)。解：(1)f(x)=10(x22x1)9(2x2)。

f(2)=10(1)9(2)=20。(2)f(x)=[10(x2x+1)9(2x1)](x2)20+(x2x+1)10[20(x2)19]

1

f(1)=[10

19

1](1)20+110[20(1)19]=1020=10

。Theend空白處按右鍵選「結束放映」可回「四、連鎖律與泰勒展開式」切線LxOy5.範例Theend空白處按右鍵選「結束放映」可回「四、連鎖律與泰勒展開式」8+124+1+8+124+8+20例：將f(x)=8x3+4x216x+5連續使用綜合除法除以(x1)8+20+16f(x)=8x3+4x216x+518+416+5=(8x2+12x4)(x1)+1=[(8x+20)(x1)+16](x1)+1={[8(x1)+28](x1)+16}(x1)+1則f(x)=8(x1)3+28(x1)2+16(x1)+1。+88

+28(1)n次多項式f(x)=Anxn+An1xn1+……+A2x2+A1x+A0皆可表為形如f(x)=an(xk)n+an1(xk)n1+……+a2(xk)2+a1(xk)+a06.泰勒展開式還有2

頁空白處按右鍵選「結束放映」可回「四、連鎖律與泰勒展開式」(2)若f(x)=Anxn+An1xn1+……+A2x2+A1x+A0=an(xk)n+an1(xk)n1+…+a2(xk)2+a1(xk)+a0f(x)=nan(xk)n1+(n1)an1(xk)n2+…+2a2(xk)1+1a1f(x)=n(n1)an(xk)n2+(n1)(n2)an1(xk)n3+…+21a2f

n1(x)=n(n1)…2an(xk)1+(n1)(n2)…21an1f

n(x)=n(n1)(n2)…21an

f(k)=1a1

f(k)=21a2

fn1(k)=(n1)(n2)…21an1…則有：Tobecontinued空白處按右鍵選「結束放映」可回「四、連鎖律與泰勒展開式」f

n(k)=n(n1)(n2)…21anf(x)=a0+a1(xk)+a2(xk)2+…+an(xk)n故得泰勒展開式如下：(3)由(2)知：Theend空白處按右鍵選「結束放映」可回「四、連鎖律與泰勒展開式」f

n(k)=n(n1)(n2)…21an7.範例(1)將f(x)=x5+x3+x

表成(x1)的多項式。(2)求f(x)=x5+x3+x

除以(x1)3

的餘式。=(x1)5+5(x1)4+11(x1)3+13(x1)2+9(x1)+3。(2)由(1)知：f(x)除以(x1)3

的餘式=13(x1)2+9(x1)+3=13x217x+7。Theend空白處按右鍵選「結束放映」可回「四、連鎖律與泰勒展開式」8.因式定理與導數說明：由泰勒展開式得則f(x)除以(xk)m

的餘式為所以多項式

f(x)有因式(xk)m

f(x)除以(xk)m

的餘式為0Theend空白處按右鍵選「結