矩阵是线性代数的一个最基本的概念

第二章矩阵

矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。1引例.线性方程组的解取决于系数常数项2对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为3引例.某物资有四个产地，五个销地，调配方案如表：销地数量（吨）把表中数据按原来次序抽出来作一个数表4排成的一个m行n列的矩形数表，并括以圆括号：在数域F中，由m×n个数称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵。矩阵的第i行j列元素定义2·15例如2×4矩阵3×3矩阵矩阵常用的记号：大写英文字母A、B、C、…

Am×n

A=(ai

j)m×n

6当m=n时，当m=1时，称为n阶方阵称为行矩阵当n=1时，称为列矩阵当m=n=1时，可视为普通数来处理7当时对n阶方阵A=(aij),若记为或O称为零矩阵，称为单位矩阵，记为或I8对矩阵A=(aij)，称(-aij)为矩阵A的负矩阵，记为–A，9矩阵概念与行列式概念的区别：1、行列式代表一个算式，数值矩阵代表一个数表10例如而表示一个数表若detA=0,则称矩阵A为奇异矩阵，否则，称为非奇异矩阵.称为矩阵

的行列式，112、二者记号不同：行列式用，矩阵用（）或[]。3、行列式的行数和列数必须相同，而矩阵的行数与列数可以不同。12数域的概念在讨论方程有没有解时，我们需要明确是在什么数集范围内讨论。方程3x＝1在整数集内没有解，但是在有理数集内有解x＝1/3。定义：数集F称为一个数域，如果数集F满足:2.F对加、减、乘、除四种运算是封闭的.13例如：有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域，并分别称为有理数域、实数域和复数域，但是整数集不是数域。命题：任一个数域都包含有理数域。14消元法的基本思想是通过消元变形，把方程组化成易于求解的同解方程组。§2·1高斯消元法15线性方程组（*）系数矩阵常数项矩阵未知量矩阵16增广矩阵在中学代数中学过的消元法解方程组，现在可以用对其增广矩阵的初等行变换来表示。一个线性方程组与其增广矩阵是一一对应的。17例1.解线性方程组解：第一、二个方程交换顺序：方程2＋（－2）方程1，方程3＋（－5）方程1：18方程2：方程3＋（－8）方程2：19方程2＋（－2）方程3，第二、三个方程交换顺序：方程3：20阶梯形线性方程组每条阶梯线下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元。阶梯形矩阵方程2＋（－5）方程3，方程1＋（－4）方程3：21方程1＋2方程2：高斯消元法将方程组化成了容易求解的、同解的阶梯形线性方程组。行简化阶梯矩阵22用高斯消元法解线性方程组，实际上就是对方程组反复进行以下三种操作（变换）：交换方程的次序；以不等于0的数乘某个方程；一个方程加上另一个方程的k倍。由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．23用消元法解方程的过程实质上也就是对其增广矩阵进行一系列对应变换（行变换）的过程。定义2·2对矩阵进行下列3种变换称为矩阵的初等变换：交换矩阵的两行（列）。以一个非零的数乘以矩阵的某一行（列）。矩阵的某一行(列)加上另一行(列)的k

倍。24例2.（系数行列式为零，克来姆法则无法解决）解线性方程组解对其增广矩阵进行一系列的变换：25化成行简化阶梯矩阵全零行对应的方程对方程组而言是多余的。26两个方程四个未知量，所以方程组有无穷多解方程组的解表示为：自由未知量27例3.解线性方程组解：28所得方程组无解，它与原方程组同解，所以原方程组无解。称为不相容方程组。在高斯消元法的消元过程中，增广矩阵会清楚地揭示出方程组的多余方程和矛盾方程。29用消元法解m个方程n个未知数的线性方程组的方法就是利用初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成行简化阶梯矩阵：线性方程组有解的充分必要条件：30在线性方程组有解的情况下：（1）当r＝n时：有唯一解：31（2）当r<n时：其中，把取作基本未知量，取作自由未知量，即为任意常数32则线性方程组的解可以写为：（3）当r>n时：不可能。33注意：不同的消元步骤将增广矩阵化为阶梯矩阵时，阶梯矩阵的形式不是唯一的，但阶梯矩阵非零行的行数是唯一确定的，这表明当线性方程组有解时，解中的任意常数的个数是相同的，但是解的表示形式不是唯一的，然而每一种解的表示中包含的无穷解的解集是相等的。34小结高斯消元法：初等行变换按“固定的程序”消元，将线性方程组的增广矩阵化为阶梯型矩阵。每行第一个非零元对应的未知量取为基本未知量，其它的取为自由未知量，并依次取任意的常数将其代入方程组，求出基本未知量。3.为了使求基本未知量更加方便，把阶梯型矩阵进一步化为行简化的阶梯型矩阵。35§2·2

矩阵的加法、数量乘法、乘法36矩阵的基本运算：矩阵的加法、数量乘法、乘法定义2·3而且如果aij

=bij，(i=1，2,…,m;j=1,2,…,n)，就称A和B相等，记为A=B。例如：由可得：如果两个矩阵A=(aij)和B=(bij)的行数和列数分别相等，他们就称为同型的，37１、定义一、矩阵的加法设有两个矩阵那么矩阵与的和记作，规定为38说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.392、矩阵加法的运算规律401、定义二、数与矩阵相乘412、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）42１、定义三、矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中43例1例244例不存在.45矩阵的乘法需注意：第一，只有矩阵A的列数等于B的行数时，

AB才有意义。第二，乘积C=（cij）mn的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的每一个元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。第三，乘积C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。46例求AB和BA。其中解：47２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;

若A是阶矩阵，

483、矩阵乘法不满足的运算规律（1）矩阵乘法不满足交换律，即一般

AB可乘，BA不一定可乘。例如：A为2行3列的矩阵，B为3行4列的矩阵；

AB、BA都可乘，但不一定是同型矩阵，例如：A为2x3矩阵，B为3X2矩阵；

AB、BA为同型矩阵，但是??49设称A与B是可交换的。例设50（2）由矩阵AB＝0，不能推出A＝0或者B＝0，即A、B皆非0，但是有可能AB＝0。例设这说明有些非零矩阵可能存在零因子。51（3）矩阵的乘法不满足消去律，即当C不等于0时，由AC＝BC不能消去C，得到A＝B。例则但是但是不能推出52例3计算下列乘积：=(）53解例4用数学归纳法证明.544、几种特殊矩阵单位矩阵全为1数量矩阵全为k与任意n阶矩阵可交换的矩阵必是n阶数量矩阵.55对角矩阵不全为0上三角矩阵。下三角矩阵。两对角矩阵相乘?两上(下)三角矩阵相乘?56线性方程组

第i个方程：线性方程组可以用矩阵等式表示为：Ax=b57例设A、B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式等于A和B行列式的乘积，即证明将第n+1行乘加到第一行，第n+2行乘加到第一行，…，第2n行乘加到第一行，即得：58其中，即是AB的第一行，仿照上述步骤，将行列式中全消为零:5960定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.性质6162例证明：|A|0时,|A*|=|A|n-1。证

|A|

|A*|=

|A

A*|=

|A|n.∵|A|0，∴

|A*|=|A|n-1.63定义

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例１、转置矩阵2.3矩阵的其它运算64转置矩阵的运算性质65证明(AB)T=BTAT。j=1,,n;i=1,,m设A=(aij)ms

,AT=(aTji)sm

,B=(bij)sn

,BT=(bTji)ns，则

(A

B)T与B

TA

T都是nm矩阵，且故(A

B)T=B

TA

T。66例5已知解法1解法2672、方阵的行列式定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质683、对称矩阵与反对称矩阵定义设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.69例6设列矩阵满足证明为n阶单位矩阵，证明H是对称矩阵，且70例7证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明,C为对称矩阵.B为反对称矩阵.命题得证.71注意:两个对称矩阵A和B的乘积是对称矩阵吗?例8设A是mn矩阵，则ATA和AAT都是对称矩阵。证明:因为ATA是n阶矩阵,且(ATA)T=AT(AT)T=ATA;同理AA

T是m阶对称矩阵。例9设A,B分别是n阶对称和反对称矩阵，则AB+BA是反对称矩阵。证明:因为(AB+BA)T

=BTAT+

ATBT=(B)A+A(B)=

(AB+BA)。不一定!(AB)T=BTA

T=BA,而BA不一定等于AB。724、共轭矩阵定义当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.运算性质73五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵74（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.注意（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.75§2·4

可逆矩阵的逆矩阵76则矩阵称为的逆矩阵.一、概念的引入在数的运算中，当数时，有其中为的倒数，（或称的逆）；那么，对于矩阵，如果存在一个矩阵,使得在矩阵的运算中，单位阵相当于数的1，77二、逆矩阵的概念和性质定义

对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵使得例设则说矩阵是可逆矩阵，并把矩阵称为的逆矩阵.78定理若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.证明:若设和是的逆矩阵，可得所以的逆矩阵是唯一的,即79例1设解设是的逆矩阵,待定系数法.80定理

矩阵可逆的充要条件是，且

证明若可逆，按逆矩阵的定义得证毕81奇异矩阵与非奇异矩阵的定义推论证明82证明逆矩阵的运算性质83证明84

注意:

A,B都可逆，而A+B不一定可逆，即使A+B可逆,也有(A+B)

1

A1+B1。85例1求方阵的逆矩阵.解三、逆矩阵的求法86同理可得87解例28889例3设解9091例4用逆矩阵方法求解线性方程组：解：把系数行列式记为A，未知量记为x，常数记为b，则方程可记为：Ax=b。因为所以A可逆.9293例59495证：由B=AI,B2=(A

I)2=A2

2A+I及B2=B=AI得A2

2A+I=AI

A2

3A=A(A

3I)=

2I,即 A[(3IA)/2]=I所以

A可逆，且A1=(3IA)/2。例.设方阵B为幂等矩阵(即B2=B),A=I+B,证明A是可逆阵，且A1=(3IA)/2。96例主对角元都是非零数的对角阵是可逆的，且注意：97证要证A可逆，即证A

0。当A*=AT时，由 AT

A=A*A=A

I，知

例已知A

为非零n

阶实矩阵，当A*=AT

时，证明:

A

为可逆矩阵。

A

0

AT

A

O98即A为可逆矩阵。99例若A,B,C,D均为n阶矩阵,且ABCD=I(n阶单位阵)，以下哪个成立？解ABCD=I,矩阵乘法满足结合律A(BCD)=I,(BCD)A=I,(A)成立。(AB)(CD)=I,(CD)(AB)

=I,CDAB=I,(F)成立。

BCDA=I；

(B)CABD=I； (C)BACD=I；(D)CBAD=I；

(E)BCAD=I；

(F)CDAB=I。100=4(I+A)–1=4[diag(2,1,2)]–1

例已知A=diag(1,2,1),且A*BA=2BA

8I,求B。解先化简，由A*BA

2BA=

8I,得

(A*

2I)BA=

8IB=

8(A*

2I)–1A–1

=8(A(A*

2I))–1=8(AA*2A)–1=8(

2I

2A)–1 (A=2)=4diag(2–1,1,2–1)，101例设A可逆，且A*B=A1+B，证明B可逆，当时，求B.解由A*B=A1+B=A1+IB得(A*I)B=A1，因为|A*I

||

B|=|A1|0，所以，|B|0，B可逆。B=

(A*I)

1A1=(A(A*I))1

=(|A|

I

A)

1102所以B=(|A|

I

A)

1103(2)(A1)*=A1(A1)1例已知：n阶矩阵A，B均可逆，证明：(1)(AB)*

=B*A*;(2)(A-1)*=(A*)-1;

(3)(AT)*

=(A*)T。证由(1)(AB)*=

AB(AB)1=B

B1·AA1=(A

A1)1(3)(AT)*=AT(AT)1=(A

A1)T=AB

B1A1

=A1

A=A(A1)T=(A*)1=B*A*=(A*)T104证明：由于从而例设和均为n阶可逆矩阵，证明105四、小结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵存在106若A、B为n阶可逆方阵，k不为0：（1）（2）（3）（4）（5）性质：107§2·5

矩阵的初等变换和初等矩阵108定义1矩阵的初等行变换:一、矩阵的初等变换矩阵的初等列变换（所用记号是把“r”换成“c”）．倍乘变换倍加变换对换变换109定义2矩阵的初等列变换与初等行变换

统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换110定义3单位矩阵做一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵．（1）初等对换矩阵111112（2）初等倍乘矩阵113114（3）初等倍加矩阵115116117结论1.对m×n矩阵A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m×m初等矩阵;对m×n矩阵A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n×n初等矩阵。2.初等矩阵皆可逆，且其逆矩阵为其同类初等矩阵。Ei1(c)=Ei(1/c),

Eij1(k)=Eij(k),

Eij

1=Eij对初等矩阵再做一次同类型的初等变换可化为单位矩阵。Ei(1/c)Ei(c)=I,Eij(k)Eij(k)=I,EijEij=I118用初等变换化矩阵为标准形119特点：的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为零.F120定理推论行列式非零的方阵可以经过初等变换化为单位矩阵。初等变换可以判定方阵的可逆性。（化简过程中若矩阵出现全0行或列则不可逆）121注意：只用了行变换。定理可逆矩阵A可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵，即存在初等矩阵使得：例:122推论1可逆矩阵A可以表示成若干个初等矩阵的乘积。证明：由定理有：则：即:定理矩阵A可逆的充要条件是它可以表示成若干个初等矩阵的乘积。123例：将可逆矩阵表示成初等矩阵的乘积：解：124则即：125推论2对可逆矩阵和同阶单位矩阵作同样的初等变换，当变为单位矩阵时，就变为其逆矩阵，即：初等行变换初等列变换始终初等行变换始终初等列变换126例：用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：解:行变换127行变换128例求矩阵的逆矩阵。列变换129例：讨论矩阵是否可逆，若可逆，求其逆。解：所以A不可逆行变换130例：求解矩阵方程AX=B，其中（1）解：所以A可逆，而且。（2）存在初等矩阵使得：，于是：由此可见，对A和B做同样的变换，当A变成单位矩阵时，B就变成了X。131132解因为BX－2X=BX－2IX=AT,即(B－2I)X=AT,1332.6矩阵的分块分块矩阵的概念分块矩阵的运算134一、分块矩阵的概念子块分块矩阵.1.定义例如135即A11,A12,A21,A22为A的子块,而A形式上成为以这些子块为元的分块矩