线性代数之相似矩阵及二次型

第五章相似矩阵及二次型

§5.4对称矩阵的对角化（重要）§5.3相似矩阵（重要）§5.2方阵的特征值与特征向量（重要）§5.1向量的内积、长度及正交性§5.5二次型及其标准形（重要）§5.6用配方法化二次型成标准形（不要求）§5.7正定二次型（不要求）1内积(要清楚）一、内积的定义及性质定义令2性质著名的Cauchy-Schwarz不等式即这由的判别式易知.3长度范数二、向量的长度及性质定义性质(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证,见P112)4单位向量夹角.三、单位向量和n维向量间的夹角正交5四、正交向量组若一个不含零向量的向量组中的向量两两正交:,则称该向量组为正交向量组.又如果这些向量都是单位向量:,则称该向量组为规范正交向量组.若该向量组是一个向量空间V的基,又分别称为向量空间V的正交基和规范正交基.6例如:是向量空间R3的一个规范正交基(通常称为自然基).7性质(P112定理1)证设是正交向量组正交向量组必线性无关.8例1(P115例3)解这相当于要求下面齐次方程组的非零解求得基础解系(即为所求)为已知中两个正交向量试求使构成的一个正交基.9五、施密特正交化方法设是向量空间V的一个基(坐标系),如何求V的一个规范正交基(坐标系)?这个问题就是…找与等价的正交向量组10设线性无关令则两两正交,且与等价.是与等价的规范正交组施密特正交化过程（要会！）11例3求的一个规范正交基。解

易知线性无关,由施密特正交化过程12再单位化13六、正交矩阵定义正交矩阵.例4验证(1)旋转矩阵是正交矩阵(2)镜像矩阵是正交矩阵(P40例8)14定义是n阶方阵,若

是正交矩阵称性质2的列(行)向量组为正交单位向量组是正交矩阵性质1

是正交矩阵则A可逆且设性质3设A、B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵。即A的n个列向量是单位正交向量组。性质4设A是正交矩阵，则也是正交矩阵。性质5设A是正交矩阵，则15§5.2方阵的特征值与特征向量引言矩阵的特征值理论在许多领域都有重要的应用。如：◆工程技术中的振动问题和稳定性问题;◆经济管理中的主成分分析(PCA);◆数学中的微分方程组求解和迭代法的收敛性;◆图像(信息)处理中的压缩存取.本章主要涉及在矩阵理论中非常重要的矩阵相似对角化问题.16定义设A是n阶方阵,如果数

和n维非零列向量x满足则称为A的特征值,

非零向量x称为A的对应于(或属于)特征值

的特征向量。把(1)改写为(2)的所有非零解向量都是对应于的特征向量.是A的特征值17称为A的特征多项式，而称为A的特征方程。

18性质(P117)19特征值、特征向量的求法（会求！）1、特征值的求法2、特征向量的求法20解：第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.例：求矩阵的特征值和全部特征向量.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解。21齐次线性方程组为当时，系数矩阵自由未知量:令得基础解系:常数)是对应于的全部特征向量。22齐次线性方程组为当时，得基础解系常数)是对应于的全部特征向量。23例5(P120例8)结论要记住，会用！设是方阵A的特征值,对应的一个特征向量证明(1)是kA的特征值，对应的特征向量仍为x。(2)是的特征值，对应的特征向量仍为x。(3)当A可逆时，是的特征值，对应的特征向量仍为x。证24性质：设是方阵A的特征值，则是的特征值。的特征值。是25设A是一个方阵-10026例6(P120例9)设3阶矩阵A的三个特征值为求解A的特征值全不为零，故A可逆。的三个特征值为计算得因此，27例7(P135习题9)证明A的特征值只能取1或2.设是A的特征值，则的特征值为由于是零矩阵，其特征值全是零，故证28§5.3相似矩阵设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。记为A~B。称P为相似变换矩阵。定义

如果A与对角矩阵相似，则称A是可对角化的。29性质（记住、会用）(1)相似关系是一种等价关系;(2)A与B相似,则r(A)=r(B);(3)A与B相似,则;从而A与B有相同的特征值;(4)A与B相似,则;(5)A与B相似,则;30例1

(1)与相似，求x与y和A的特征值。(2)与相似，求a与b。解(1)

A的特征值等于B的特征值为：31(2)32下面讨论对角化的问题定理n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。(P123定理4（重要)33n阶矩阵A如有n个不同的特征值，则A一定可对角化。推论(P123定理4下)34例2(P125例11)问x为何值时，A可对角化？是单重根，恰有一个特征向量(不需讨论)。是二重根，A可对角化35例3(P135习题17)提示：A可对角化36§5.4对称矩阵的对角化定理对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交.(P124定理6)定理对称矩阵的特征值必为实数。(证明自学)从而特征向量可取到实的。(P124定理5)37定理如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。（重要）

即设A是对称矩阵,则存在正交矩阵Q使得(P124定理7)38

根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.

利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法（重要）39例1(P125例12)把对称矩阵正交对角化。第1步:求特征值。40第2步:求线性无关的特征向量。对，解方程组求得基础解系(即最大无关特征向量)41对，解方程组求得基础解系(即最大无关特征向量)前面的42第3步:检验重特征值对应的特征向量是否正交,如果不正交,用施密特过程正交化,再把正交的特征向量单位化。43第4步:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。单位化：则令44§5.5二次型及其标准形45称为二次型.一、二次型及其标准形的概念46定义只含平方项的二次型称为二次型的标准形。平方项系数只在中取值的标准形

称为二次型的规范形。471．用和号表示二、二次型的表示方法482．用矩阵表示（重要）4950一般地，对于n维的二次型上式称为二次型的矩阵表示。也常记为(对称)其中51对称矩阵A叫做二次型f的矩阵;f叫做对称矩阵A的二次型;n维二次型与n阶对称矩阵之间是一一对应的关系．52解例１53目的：对给定的二次型找可逆的线性变换(坐标变换)：代入(1)式，使之成为标准形称上面过程为化二次型为标准形。54主轴定理(P129