时间序列模型

14时间序列模型主要内容确定性时间序列模型随机时间序列模型及其性质时间序列模型的估计和预测一.确定性时间序列模型时间序列：各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次序排列起来的统计数据时间序列分析模型：解释时间序列自身的变化规律和相互联系的数学表达式确定性时间序列模型滑动平均模型加权滑动平均模型二次滑动平均模型指数平滑模型(1)滑动平均模型作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用于预测趋势(2)加权滑动平均模型作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势预测更准确其中(3)二次滑动平均模型对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均(4)指数平滑模型平滑常数本期预测值是前期实际值和预测值的加权和二.随机时间序列模型及其性质随机时间序列平稳时间序列随机时间序列模型1.随机时间序列随机过程与随机序列时间序列的性质(1)随机过程与随机序列随机序列的现实对于一个随机序列，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···,xn，称它为随机序列{xt}的一个现实随机序列的现实是一族非随机的普通数列(2)时间序列的统计性质(特征量)均值函数：某个时刻t的性质时间序列的统计性质自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质时间序列的统计性质自相关函数2.平稳时间序列所谓平稳时间序列是指时间序列{xt,t=0,±1,±2,···}对任意整数t，，且满足以下条件：对任意t，均值恒为常数

对任意整数t和k，r

t,t+k只和k有关随机序列的特征量随时间而变化，称为非平稳序列txttxt平稳序列的特性方差自相关函数：自相关函数的估计平稳序列的判断kρkkρ

k0011平稳序列的自相关函数非平稳序列的自相关函数迅速下降到零缓慢下降一类特殊的平稳序列

——白噪声序列随机序列{xt}对任何xt和xt都不相关，且均值为零，方差为有限常数正态白噪声序列：白噪声序列，且服从正态分布3.随机时间序列模型自回归模型（AR）移动平均模型（MA）自回归—移动平均模型（ARMA）(1)自回归模型及其性质定义平稳条件自相关函数偏自相关函数滞后算子形式①自回归模型的定义描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列值之间的相互关系随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk（k<t）不相关，称为p阶自回归模型，记为AR(p)②(一阶)自回归序列平稳的条件是否平稳？均值为零？方差为有限常数？自协方差与t无关？AR(1)平稳的条件均值方差成立满足这两个条件成立AR(1)平稳的条件自协方差仅与k有关，与t无关结论：时，一阶自回归序列渐进平稳③AR(p)的自相关函数自协方差函数自相关函数两边同除以r0AR(p)的自相关函数耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程例：求AR(1)的自相关函数例：AR(2)的自相关函数取k=1取k=2取k=3AR(p)自相关函数的拖尾性对AR(p)模型，其自相关函数不能在某一步之后为零（截尾），而是按指数衰减，称其具有拖尾性举例10ρkk的序列tyt20④偏自相关函数耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程AR(p)的偏自相关函数具有截尾性⑤AR(p)的滞后算子形式引进滞后算子B：一般有：AR(p)记或(2)移动平均模型及其性质定义自相关函数滞后算子形式①移动平均模型的定义在序列{xt}中，xt表示为若干个白噪声的加权平均和其中{εt}是白噪声序列，这样的模型称为q阶移动平均模型，计为MA(q)②MA(1)的自相关函数MA(q)的自相关函数k=0k=1,2,···,qk>q举例10ρkk0.5123的序列yt-1135t③滞后算子形式其中AR(p)与MR(q)的比较AR(1)MR(1)(3)自回归移动平均模型定义性质滞后算子形式①自回归移动平均模型自回归模型与移动平均模型的综合计为ARMA(p,q)②ARMA(p,q)的性质ARMA(p,q)兼有AR(p)和ARMA(q)的性质平稳条件：与AR(p)相同ARMA(1,1)平稳条件ARMA(1,1)的自相关函数自协方差函数ARMA(1,1)的自相关函数ARMA(p,q)的自相关函数与AR(p)一样，具有拖尾性③滞后算子形式性质总结模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相关函数拖尾截尾拖尾偏自相关函数截尾拖尾拖尾三.时间序列模型的估计和预测模型识别与参数估计时间序列预测1.模型识别与参数估计模型识别参数估计阶数的确定模型检验模型识别参数估计模型检验确定模型具体形式判断模型是否可取是否(1)模型识别自相关函数截尾——MA(q)自相关函数拖尾偏自相关函数截尾——AR(p)偏自相关函数拖尾——ARMA(p,q)(2)模型参数估计AR(p)的最小二乘估计ARMA(p,q)的最小二乘估计①AR(p)的最小二乘估计普通最小二乘法②ARMA(p,q)的最小二乘估计非线性最小二乘估计(3)模型阶数的确定——MA(q)或AR(p)自相关函数的截尾偏自相关函数的截尾模型阶数的确定—