正射影和三垂线定理

正射影和三垂线定理蝇

三垂线定理高三立体几何复习专题徐宏贵一、点在平面上的射影自点P向平面α引垂线，垂足P1叫做点P在平面α内的正射影(简称射影)P1Pα如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形,则叫做图形F在这个平面上的射影.二、图形在平面内的射影如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做平面的斜线(直线PA)．PAOaα斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段(线段AP)．斜线和平面的交点叫做斜足(A)．容易看出：平面的斜线在平面内的射影仍是一条直线．例如在图中，斜线PA上的点A是斜足，PO⊥α，点O是垂足，则直线PA在平面α内的射影就是直线OA．PAOaα

PO,PA分别是平面α的垂线、斜线,OA是PA在α内的射影，直线a在平面

α内,且a⊥OA PAOaα∴a⊥PA∴a⊥平面POA．又a⊥OA，PO∩OA=O，∴PO⊥a．证明：求证：a⊥PA．已知:∵PO⊥α，在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．三垂线定理三垂线定理的逆定理

在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．三垂线定理一个平面(垂面）四条直线（垂线，斜线，射影，直线）PAOaα1、两平行直线在一平面内的射影不可能是（）A、两平行直线 B、两点2、两直线在平面内的射影是两相交直线，则这两直线的位置关系不是（）A、两异面直线; B、两平行直线C、两相交直线 ;D、以上都不对巩固练习：DB3．斜线b在面α内的射影为c，直线a⊥c，则a与b

（）A．垂直 B．不一定垂直C．共面或垂直 D．以上都有可能C、一条直线 D、两相交直线D应用三垂线定理证明上节课例2：在正方体AC1中，求证：(1)AC⊥平面D1DB;(2)D1B⊥平面ACB1C1BD1ACA1DB1证明:所以D1B⊥平面ACB1例4求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上．

∴∠BAO=∠CAO．求证：∠BAO=∠CAO．证明：∵PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，∴AB⊥OE，AC⊥OF(三垂线定理的逆定理)．∵PE=PF，PA=PA，∴Rt△PAE≌Rt△PAF．∴AE=AF．又AO=AO，∴Rt△AOE≌Rt△AOF．已知：∠BAC在平面α内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE=PFPABCOEF例5、如图9－42道路旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只用量角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？解:在路上取点C、D使BC垂直于CD，且角CDB为450。测得CD=20m因BC是AC在地面上的射影，且CD垂直于BC，故CD垂直于AC故电塔顶与道路的距离为25mOABCD求证：AD⊥BC证明：设O是A在平面BCD内的射影，∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴BO⊥CD，CO⊥BD，（三垂线逆定理）∴O是三角形BDC的垂心，∴DO⊥BC，（三角形的性质）∴AD⊥BC，（三垂线定理）练习：1。已知点O是△ABC的BC边上的高的任意一点，且OP⊥平面ABC。求证PA⊥BC。PAOCB证明：∵OP⊥平面ABCAO是PA在平面ABC内的射影，又∵AO⊥BC，∴PA⊥BC。（三垂线定理）练习：如图，PD⊥平面ABC，AC=BC，D为AB的中点，求证AB⊥PC。PDCBA证明：∵AC=BC，D是BC的中点，∴AB⊥CD，∵PD⊥平面ABC，∴CD是PC在平面ABC内的射影，∴AB⊥PC（三垂线定理）5、在正方体AC`中， 求证:①

A`C⊥B`D`,②A`C⊥平面AB`D`.BA’ACDB`C`D’`证明:①连结AC,BD,则BD//B’D‘，C’C⊥平面AC，AC是AC’在平面AC上的射影.∵BD⊥AC,∴AC’⊥B’D’.②同理可证A’C⊥B’D’.由C’B⊥平面AB’，A’C⊥AB’,练习:EADCB解:已知:空间四边形ABCD,AB=AC,DB=DC,求证:BC⊥AD.证明:取BC的中点E,连结AE,DE.EDCBA∵AB=AC,∴AE