特征值定义与求法-特征值性质-不同值特征向量无关定义

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教学目的掌握特征值与特征向量的概念、求法以及性质。掌握相似矩阵的概念和性质，理解方阵A对角化的充要条件，会用实对称矩阵对角化的基本方法将简单对称矩阵对角化作业重点相似矩阵与对称矩阵对角化练习册第43页－46页第5题至第14题难点同上讲授方法讲授为主，讲练结合讲授内容主线特征值定义与求法－特征值性质－不同值特征向量无关定义－练习－相似矩阵定义与性质－一般矩阵对角化定理－对称矩阵性质－对称矩阵对角化一般方法－练习内容概括特征值复习：20分钟；相似矩阵及性质：20分钟；矩阵对角化方法：15分钟；对称矩阵及性质：20分钟；对称矩阵对角化方法：25分钟第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化1友情提示本次课讲第五章第二三节：特征值应用相似矩阵与对角化下次课讲第五章第四节：二次型及标准化下次上课时交作业P43-442第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化复习：正交矩阵与正交变换的概念定义4如果n

阶矩阵A

满足（即），那么称A

为正交矩阵.3（6）性质：正交变换不改变向量的长度第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化4四、特征值与特征向量的概念1.定义：设A

是n

阶矩阵，如果λ和n

维非零列向量

x

使关系式：（1）成立，那么称数λ为方阵A的特征值，非零向量

x

称为

A

对应于特征值λ的特征向量.注意：定义的几个要点（1）A

是n

阶矩阵，即方阵（2）特征值λ是数，（3）特征向量x

是非零向量2.如何求特征值与特征向量（1）特征值的求法第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量5由定义（1）式也可写成:即（2）由于特征向量x非零，所以方程（2）有非零解的充要条件是（3）（3）式是以λ为未知数的一元n

次方程，称为

A

的特征方程在方程（3）或（3*）中A

的特征值λ就是特征方程的根.因此,n

阶矩阵A

有n

个特征值(重根按重数计算).所以，求特征值就是解特征方程求出n个根的过程即（3*）称为方阵A

的特征多项式.经常地，记第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量6（2）特征向量的求法：设为方阵A的一个特征值，则由方程可求得非零解，便是A

的对应于特征值的特征向量.第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量3.特征值与特征向量的性质（1）利用特征值计算行列式若n

阶矩阵

A

的特征值为则71)2)（2）1)设λ是方阵A的特征值，证明:证：因λ是A

的特征值，所以存在使得于是依次类推可得:第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化8（3）不同的特征值对应的特征向量线性无关第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化9证设有常数，即则同理:将上面各式写成矩阵的形式:第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化10或:当个不相同时，范德蒙德行列式则该方程组有唯一零解但，所以所以向量组线性无关.第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化11第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化12第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化13第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化14第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化15第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化16定义：设A、B

都是n

阶矩阵，若有可逆矩阵

P,使则称B

是

A

的相似矩阵，或说矩阵A

与B

相似.对A

进行运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵

P称为把A

变成B

的相似变换矩阵.（2）对角化的概念：1.相似矩阵与对角化（1）相似矩阵的概念二、矩阵对角化问题的研究2.相似矩阵的性质（1）特征值相同性定理3若n

阶矩阵A

与B

相似，则A

与B

的特征多项式相相同，从而A

与B

的特征值也相同。第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化17证因A

与B

相似，即有可逆矩阵P，使所以（2）对角化的特征值即对角矩阵的对角线元素推论若n

阶矩阵A

与对角矩阵相似，则即是A

的n

个特征值.证因就是Λ的n

个特征值，由相似矩阵特征值相同定理知它们也是A

的n

个特征值.第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化18第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化定理4n

阶矩阵

A

与对角矩阵相似（即

A

能对角化）的充分必要条件是A

有n

个线性无关的特征向量.1.n阶方阵A对角化的条件三、对角化方法研究——求相似矩阵P19证：必要性：把P

用列向量表示为于是有而P

的列向量就是A

的对应于特征值可见是A

的特征值，的特征向量.第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化20充分性：如果Ａ有ｎ个线性无关的特征向量，则以这ｎ个特征向量为向量组组成矩阵Ｐ2.An对角化的判定方法第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化21第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化22概括矩阵A对角化的判断路线如下：第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化23第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化24第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化25第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化26对角化即可相似化，关键看是否有n个无关特征向量，单根能保证，即关键是k重根是否有k个无关向量。有一类我们熟悉的矩阵叫对称矩阵，对称矩阵不但能保证相似化，而且保证k重根有k个无关特征向量，四、对称矩阵的对角化1.对称矩阵的概念那么A

称为对称矩阵.如对称矩阵的元素全是实数，则称为实对称矩阵概念回顾：设A为n阶方阵，若满足即2.对称矩阵的性质（1）定理5实对称矩阵的特征值为实数.（2）定理6

设

是对称矩阵

A

的两个特征值，是对应的特征向量，若，则与正交.第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化27证因，有所以与正交.3.对称矩阵对角化结论：定理7:设A

为n

阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，其中Λ是以A

的n

个特征值为对角元素的对角矩阵.使该结论与定理不予证明，只作为可对角化的结论应用第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化结论:设A

为n

阶对称矩阵，λ是A

的特征方程的k

重根，则矩阵的秩R=n－k,从而对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量.28第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化4.对称矩阵对角化的步骤概括：（1）求出A的全部互不相等的特征值它们的重数分别为:29第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化30第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化

本次课讲第五章第4、5节，下次课讲第6,7节下次上课时交作业P45—P46，P49-P5031对称矩阵对角化求正交矩阵P基础解系即特征向量正交化并单位化第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化32得特征值解:1)当时，2)得得基础解系为例1

设求一个正交矩阵P,使为对角矩阵.第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化33当时，由得其基础解系为:将正交化：令单位化得:第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化34将单位化得：3)于是得:可以验知:第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化35第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化36第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化37一、二次型的标准化1.预备知识：合同矩阵及其性质若存在可逆矩阵

P,使

B=PTAP，设A和B是n阶矩阵

,定义9:称矩阵A与B合同.性质：合同矩阵对称性不变、秩不变证A

为对称矩阵，即有AT=A，于是即B

为对称矩阵.定理:则

B

也为对称矩阵，且

R(B)=R(A).若

A

为对称矩阵，若存在可逆矩阵

P,使

B=PTAP，第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化382.二次型与二次型的标准型的概念（1）二次型的概念定义8含有n

个变量的二次齐次函数

（5）称为二次型.为复数（实数）称复（实）二次型.取，于是（5）式可写作（6）第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化39（2）二次型的标准型对二次型ｆ来说，若存在可逆的线性变换（7）使二次型只含平方项，即将（7）代入（5），能使则（8）式称为二次型的标准形。（8）3.二次型与标准型的矩阵表示形式由（6）式，利用矩阵，二次形可写成如下形式

本次课的中心议题是找到可逆变换P，把二次型（5）变成标准型（8）第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化40第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化41记则二次型可记作（9）其中A

为对称矩阵.

任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型。这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.因此，我们把对称矩阵

A

叫做二次型f

的矩阵，也把f

叫做对称矩阵A

的二次型.对称矩阵A

的秩就叫做二次型的秩第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化42如：用矩阵记号写出来为第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化43二、将二次型标准化方法定理8:任给二次型总有正交变换使f

化为标准形其中是f

的矩阵

A=的特征值.第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化44第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化45推论:

任给二次型总有可逆变换使得为规范形第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化46第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化47二次型标准化的解题过程，我们可概括如下：二次型的一般形式二次型的标准化矩阵形式通过正交变换对称矩阵对角化求正交矩阵P基础解系即特征向量正交化并单位化对称性不变秩不变第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化48第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化49再求特征向量即基础解系第十四讲：对称矩阵对角化，二次型标准化50第十四