空间中平面及直线的方程

①1.平面的方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故5-3空间中平面与直线的方程平面的点法式方程（1）可以化成

例1已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：即

补例求过三点即解

取该平面

的法向量为的平面

的方程.利用点法式得平面的方程例2已知一平面的方程为解于是平面的一般方程

由于平面的点法式方程是x,y,z的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.

反过来,可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面.

方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程,其法线向量为n=(A,B,C).

例如,方程3x-4y+z-9=0表示一个平面,n=(3,-4,1)是这平面的一个法线向量.

例3将平面的一般式方程3x+4y+6z=1化成点法式方程.解先在平面上任意选定一点，比如（-3，1，1）.则有平面的三点式方程已知不在同一直线上的三点与不共线,即以作为所求平面的法向量.设是平面上任一点,显然垂直于此混合积的坐标形式为:例4设已知三点

求过该三点的平面方程.解所求的平面方程是特殊情形•当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

通过原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.平面的截距式方程同理求得平面的截距式方程为例6x+2y+z-1=0表示的平面在x,y,z轴的截距分别是该平面在第一卦限内的部分如图.xyzo两平面的夹角

设平面1和2的法线向量分别为

n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2),那么平面1和2的夹角应满足

两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.

平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的充要条件是

A1A2+B1B2+C1C2=0.两平面垂直的条件

两平面平行的条件

平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要条件是

A1:A2=B1:B2=C1:C2.平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:例8试决定常数与使得平面解两平面垂直要求其向量垂直，即有分析：

点M在直线L上点M同时在这两个平面上,

点M的坐标同时满足这两个平面的方程.2.直线方程

空间直线可以看作是两个平面的交线.

设直线L是平面1和2的交线,

平面的方程分别为

A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0,这就是空间直线的一般方程.来表示.那么直线L可以用方程组空间直线的一般方程.例9

联立方程表示平行于yoz坐标面的平面表示平行于xoz坐标面的平面的解是(3,4,z),其图形是平面x-3=0与y-4=0的交线，它平行于z轴.xyzo34代表平面y=5x+1与平面y=x-3的交线.

例10联立方程

如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫做这条直线的方向向量.方向向量

直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.

当直线L上一点M0(x0,y0,x0)和它的一方向向量s=(m,n,p)为已知时,直线L的位置就完全确定了.确定直线的条件

求通过点M0(x0,y0,x0),方向向量为s=(m,n,p)的直线的方程.(x-x0,y-y0,z-z0)//s,从而有这就是直线的方程,叫做直线的对称式方程或标准方程.

直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数.向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦.则从M0到M的向量平行于方向向量:

设M(x,y,z)为直线上的任一点,直线的标准方程.通过点M0(x0,y0,x0),方向向量为s=(m,n,p)的直线方程:此方程组就是直线的参数方程.说明:

某些分母为零时,其分子也理解为零.直线方程为例如,当例11将一般方程解先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.化成标准方程及参数方程.故所给直线的标准方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角.

设直线L1和L2的方向向量分别为

s1=(m1,n1,p1)和s2=(m2,n2,p2),那么L1和L2的夹角j满足两直线垂直与平行的条件

设有两直线L1L2m1m2+n1n2+p1p2=0;

则方向向量分别为(m1,n1,p1)和(m2,n2,p2)的直线的夹角余弦:提示：直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为90.

设直线的方向向量为s=(m,n,p),平面的法线向量为n=(A,B,C),则直线与平面的夹角j

满足

方向向量为(m,n,p)的直线与法线向量为(A,B,C)的平面的夹角j

满足

直线与平面垂直和平行的条件

设直线L的方向向量为s=(m,n,p),平面P的法线向量为n=(A,B,C),则

L//PAm+Bn+Cp=0.分析：

因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例,所以对于任何一个l值,上述方程的系数不全为零,从而它表示一个平面.分析：

对于不同的l值,所对应的平面也不同,而且这些平面都通过直线L,即这个方程表示通过直线L的一族平面.分析：

另一方面,任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中.平面束

考虑三元一次方程:A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0,即(A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l为任意常数.其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.

设直线L的一般方程为补例.

求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程

上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体,称为平面束.平面束

考虑三元一次方程:A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0,即(A1