数字信号处理-课件-第5章-时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法

第5章时域离散系统的基本网络结构与

状态变量分析法5.1引言5.2用信号流图表示网络结构5.3无限长脉冲响应基本网络结构5.4有限长脉冲响应基本网络结构5.5状态变量分析法

15.1引言一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程其系统函数H(z)为2给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如：3

5.2用信号流图表示网络结构

观察(5.1.1)式，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表示如图5.2.1所示。4图5.2.1三种基本运算的流图表示5和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。在图5.2.2中，(5.2.1)图5.2.2信号流图(a)基本信号流图；(b)非基本信号流图6不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图(PrimitiveSignalFlowGraghs)。(1)信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1；(2)流图环路中必须存在延时支路；(3)节点和支路的数目是有限的。7例5.2.1求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。解:将5.2.1式进行z变换，得到经过联立求解得到：8

FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：

其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照(5.2.2)式，h(n)表示为其它n9另一类:IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路,其单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述。10

5.3无限长脉冲响应基本网络结构

1.直接型对N阶差分方程重写如下：取M=N=2IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，其单位脉冲响应是无限长的

基本网络结构：直接型、级联型、并联型11图5.3.1IIR网络直接型结构12例5.3.1IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。解由H(z)写出差分方程如下：13图5.3.2例5.3.1图142.级联型在(5.1.2)式表示的系统函数H(z)中，公子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子分母多项式分别进行因式分解，得到(5.3.1)形成一个二阶网络Hj(z)；Hj(z)如下式：(5.3.2)15式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。这H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)(5.3.3)式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。16图5.3.3一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构17例5.3.2设系统函数H(z)如下式：试画出其级联型网络结构。解将H(z)分子分母进行因式分解，得到

图5.3.4例5.3.2图18式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为(5.3.4)式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。由(5.3.4)式，其输出Y(z)表示为Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)3.并联型如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，得到IIR并联型结构。

19例5.3.3画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。解将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图5.3.5所示。图5.3.5例5.3.3图20

5.4有限长脉冲响应基本网络结构

FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为基本网络结构：直接型、级联型、频率采样结构211.直接型按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。图5.4.1FIR直接型网络结构222.级联型将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。例5.4.1设FIR网络系统函数H(z)如下式：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3画出H(z)的直接型结构和级联型结构。23解：将H(z)进行因式分解，得到：H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)其直接型结构和级联型结构如图5.4.2所示。图5.4.2例5.4.1图243.频率采样结构

频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式：设FIR滤皮器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZT［h(n)］，(5.4.1)式中H(k)用下式表示：

(5.4.1)25要求频率域采样点数N≥M。(5.4.1)式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。将(5.4.1)式写成下式：(5.4.2)式中Hc(z)是一个梳状滤皮网络(参考第八章)，其零点为26图5.4.3FIR滤波器频率采样结构27(1)在频率采样点ωk，H(ejωk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k))，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便。(2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。28然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：(1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。(2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。首称将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r<1且r≈1。此时H(z)为(5.4.3)29另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)。而且W-kN=W-(N-k)N，我们将Hk(z)和HN-k(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则30显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构如图5.4.4(a)所示。当N为偶数时，h(z)可表示为式中(5.4.4)31式中，H(0)和H(N/2)为实数。(5.4.4)式对应的频率采样修正结构由N/2-1个二阶网络和两个一阶网络并联构成，如图5.4.4(b)所示。图5.4.4频率采样修正结构32当N=奇数时，只有一个采样值H(0)为实数，H(z)可表示为(5.4.5)33

5.5状态变量分析法

1.状态方程和输出方程

状态变量分析法有两个基本方程，即状态方程和输出方程。状态方程把系统内部一些称为状态变量的节点变量和输入联系起来；而输出方程则把输出信号和那些状态变量联系起来。一般状态变量选在基本信号流图中单位延迟支路输出节点处。

34图5.5.1二阶网络基本信号流图35图5.5.1是二阶网络基本信号流图，有两个延时支路，因此建立两个状态变量w1(n)和w2(n)。下面建立流图中其它节点w’2和输出y(n)与状态变量之间的关系。

(5.5.1)(5.5.2)(5.5.3)将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式：(5.5.4)36图5.5.2示出更为一般的二阶网络基本信号流图，两个延时支路输出节点定为状态变量w1(n)和w2(n)。按照信号流图写出以下方程：37图5.5.2一般二阶网络基本信号流图3839将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式：(5.5.6)(5.5.7)再用矩阵符号表示：(5.5.8)(5.5.9)40式(5.5.8)和式(5.5.9)分别称为图5.5.2二阶网络的状态方程和输出方程。如果系统中有N个单位延时支路，M个输入信号：x1(n),x2(n),…,xM(n)，L个输出信号y1(n),y2(n),…，yL(n)，则状态方程和输出方程分别为(5.5.10)(5.5.11)式中41图5.5.3状态变量分析法42例5.5.1建立图5.5.4流图的状态方程和输出方程。

图5.5.4例5.5.1图

信号流图中有两个延时支路，分别建立两个状态变量w1(n)和w2(n)(如图5.5.4所示)，然后列出延时支路输入端节点方程如下：

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将上式写成矩阵方程：(5.5.12)输出信号y(n)的方程推导如下：y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n)将上面w1(n+1)的方程代入上式：

y(n)=a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0x(n)+b1w1(n)+b2w2(n)=(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0x(n)44

y(n)=a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0x(n)+b1w1(n)+b2w2(n)=(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0x(n)45例5.5.2直接写出图5.5.4信号流图的A、B、C和D参数矩阵。解要注意：从wi(n)到输出节点可能不止一条通路，要把所有通路增益加起来，即d表示从输入节点到输出节点的通路增益，这里d=d0，最后得到四个参数矩阵为46例5.5.3已知系统函数H(z)为(1)画出H(z)的级联型网络结构；(2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。图5.5.5例5.5.3图47在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)(如图5.5.5所示)。写出状态变量w1(n+1)=-0.5w1(n)+2x(n)w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)=-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n)w3(n+1)=w2(n)将以上三个方程写成矩阵方程：48输出方程为y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)将上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到：y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)将y(n)写成矩阵方程，即是要求的输出方程。y(n)=［-1.5-0.514-0.11］［w1(n)w2(n)w3(n)］T+2x(n)49例5.5.4已知FIR滤波网络系统函数H(z)为解:画出直接型结构如图5.5.6所示，在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)。根据参数矩阵中各元素的意义，直接写出状态方程和输出方程如下：图5.5.6例5.5.4图50y(n)=［a1a2a3］［w1(n)w2(n)w3(n)］T+a0x(n)512.由状态变量分析法转换到输入输出分析法(状态方程+输出方程）(差分方程、系统函数、单位脉冲响应)把单输入单输出的状态方程和输出方程重写如下：W(n+1)=AW(n)+Bx(n)(5.5.14)y(n)=CW(n)+dx(n)(5.5.15)将上面两式进行Z变换zW(z)=AW(z)+BX(z)(5.5.16)Y(z)=CW(z)+dX(z)(5.5.17)

52式中W(z)=［W1(z)W2(z)…WN(z)］TWi(z)=ZT［wi(n)］X(z)=ZT［x(n)］Y(z)=ZT［y(n)］由(5.5.16)式得到：W(z)=［zI-A］-1

BX(z)(5.5.18)将上式代入(5.5.17)式，得到：(5.5.19)53例5.5.5已知二阶网络的四个参数矩阵如下：求该网络的系统函数。解：54系统频响决定于H(z)的零、极点分布。设H(z)=B(z)/A(z)，其极点为A(z)=0的解。由(5.5.19)式得到：A(z)多项式称为A矩阵的特征多项式，其根为A矩阵的特征值，因此A矩阵的特征值就是H(z)的极点。如果A矩阵全部特征值的模均小于1，系统因果稳定，否则系统因果不稳定。(5.5.20)55z2-3z+2=0特征值λ1=1,λ2=2极点z1=１，z2=2将状态方程重写如下：W(n+1)=AW(n)+Bx(n)56方程式左端是n+1时刻的状态变量矢量，右端是n时刻的状态变量矢量和输入x(n)的线性组合。由起始值W(n0)，用递推法求出W(n)的时域解：n=n0时，W(n0+1)=AW(n0)+Bx(n0)n=n0+1时，W(n0+2)=AW(n0+1)+Bx(n0+1)=A［AW(n0)+Bx(n0)］+Bx(n0+1)=A2W(n0)+ABx(n0)+Bx(n0+1)…n=n0+k时W(n0+k+1)=Ak+1W(n0)+AkBx(n0)+Ak-1Bx(n0+1)+…+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k)57令n′=n0+k+1，则将n′换成n，则(5.5.21)为求单位脉冲响应，将(5.5.15)式中的x(n)用δ(n)代替，W(n)用(5.5.21))式中的零状态响应代替，且令n0=0，此时y(n)=h(n)，得到：58(5.5.22)(5.5.23)59例5.5.6求图5.5.7所示的N阶FIR格形网络的系统函数以及单位脉冲响应。图5.5.7例5.5.6图60解首先建立状态变量w1(n),w2(n),…,wN(n)，如图所示。这种网络没有反馈支路，直接写出各参数矩阵：设N=2，则有61将上式进行Ｚ反变换，得单位取样响应：h(n)=δ(n)+k1(1+k2)δ(n-1)+k2δ(n-2)如果用(5.5.22)式求h(n)，也得到同样的结果，但要求A矩阵的n-1次幂。关于求矩阵的幂，请参考本书附录B。623.线性变换下面研究在不改变系统传输函数的条件下，如何对状态变量进行线性变换。设T是N×N非奇异矩阵。系统中有N个延时支路。令G(k)=T-1W(k)