专题15 探索型问题（第07期）-2017年中考数学试题分项版解析汇编（解析版）

一、选择题1．（2017贵州省铜仁市）观察下列关于自然数的式子：4×12﹣12①4×22﹣32②4×32﹣52③…根据上述规律，则第2017个式子的值是（）A．8064B．8065C．8066D．8067【答案】D．【解析】考点：1．规律型：数字的变化类；2．有理数的混合运算．2．（2017贵州省黔西南州）如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（）A．71B．78C．85D．89【答案】D．【解析】试题分析：第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，所以第8个图形共有小正方形的个数为：9×9+8=89．故选D．考点：规律型：图形的变化类．二、填空题3．（2017四川省凉山州）古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是．【答案】5050．【解析】考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．4．（2017四川省巴中市）观察下列各式：，，，…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表达出来．【答案】（n≥1）．【解析】试题分析：∵；；∴（n≥1）．故答案为：（n≥1）．考点：1．规律型：数字的变化类；2．规律型．5．（2017湖南省娄底市）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．【答案】AB=DC．【解析】考点：1．直角三角形全等的判定；2．探究型．6．（2017湖南省娄底市）刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第个．【答案】2017．【解析】试题分析：由图可知：第1个图形的火柴棒根数为6；第2个图形的火柴棒根数为11；第3个图形的火柴棒根数为16；…由该搭建方式可得出规律：图形标号每增加1，火柴棒的个数增加5，所以可以得出规律：搭第n个图形需要火柴根数为：6+5（n﹣1）=5n+1，令5n+1=10086，解得：n=2017．故答案为：2017．考点：规律型：图形的变化类．7．（2017贵州省黔南州）杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则（a+b）5=．【答案】1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5．【解析】考点：1．完全平方公式；2．规律型．8．（2017辽宁省抚顺市）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长和为．（n≥2，且n为整数）学科@网【答案】．【解析】试题分析：∵等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，∴A1D1=D1C2，∴△A2C2C3的周长=△A1C1C2的周长=，∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长分别为1，，，…，，∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长和为1+++…+=．故答案为：．考点：1．等边三角形的性质；2．规律型；3．综合题．9．（2017四川省德阳市）若抛物线与x轴交于An、Bn两点（a为常数，a≠0，n为自然数，n≥1），用Sn表示An、Bn两点间的距离，则S1+S2+……+S2017＝_____________．【答案】．【解析】试题分析：∵=﹣a（x﹣）（x﹣）=0，∴点An的坐标为（，0），点Bn的坐标为（，0）（不失一般性，设点An在点Bn的左侧），∴Sn=﹣，∴S1+S2+…+S2017==．故答案为：．考点：1．抛物线与x轴的交点；2．规律型；3．综合题．10．（2017四川省资阳市）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是________．【答案】365．【解析】考点：1．规律型：图形的变化类；2．压轴题；3．规律型．三、解答题11．（2017四川省巴中市）如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，）时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）；（2）DG=DE；（3）（﹣2，），（﹣1，）．【解析】∵点A（1，0），点B（﹣3，0），点C（0，）在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的函数解析式为；（2）DG=DE．理由如下：设直线l1的解析式为y=k1x+b1，将A（1，0），C（0，）代入，解得；设直线l2的解析式为y=k2x+b2，将B（﹣3，0），C（0，）代入，解得；∵抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（﹣3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，又∵点G、D、E均在对称轴上，∴G（﹣1，），D（﹣1，），E（﹣1，），∴DG=﹣=，DE=﹣=，∴DG=DE；M5与M1重合；综上所述，满足条件的点M只有两个，其坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）．考点：1．二次函数综合题；2．旋转的性质；3．动点型；4．探究型；5．分类讨论；6．压轴题．12．（2017四川省阿坝州）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）4.75．【解析】∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．学%科@网考点：1．直线与圆的位置关系；2．线段垂直平分线的性质；3．与圆有关的位置关系；4．探究型．13．（2017山东省莱芜市）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．【答案】（1）AE=DB，AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．【解析】∴AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．证明如下：设DE与AF交于N，由题意得，BE=AD，∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC，∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC，∴∠EBD=∠ADF，在△EBD和△ADF中，∵BE=AD，∠EBD=∠ADF，DE=DF，∴△EBD≌△ADF，∴DE=AF，∠E=∠FAD，∵∠E=45°，∠EDC=45°，∴∠FAD=45°，∴∠AND=90°，即DE⊥AF．考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．探究型；5．变式探究．14．（2017江苏省镇江市）如图1，Rt△ACB中，∠C=90°，点D在AC上，∠CBD=∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；（2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，F为垂足，若点D是线段AC的黄金分割点（即），如图2，试说明四边形DEFC是正方形．【答案】（1）作图见解析；（2）BD与⊙O相切；（3）证明见解析．【解析】DEFC是正方形．试题解析：（1）如图1，⊙O为所作；（2）BD与⊙O相切．理由如下：连接OD，如图1，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∵∠CBD=∠A，∴∠CBD=∠ODA，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠ODA+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BD，∴BD为⊙O的切线；（3）∵∠CBD=∠A，∠DCB=∠BCA，∴△CDB∽△CBA，∴CD：CB=CB：CA，∴CB2=CD•CA，∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD2=CD•AC，∵AD=CB，∵AE为直径，∴∠ADE=90°，在△ADE和△BCD中，∵∠A=∠CBD，AD=BC，∠ADE=∠C，∴△ADE≌△BCD，∴DE=DC，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∴四边形CDEF为矩形，∴四边形DEFC是正方形．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．综合题．15．（2017江苏省镇江市）【回顾】如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于．【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°=，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75°=，请你写出小明或小丽推出sin75°=的具体说理过程．【应用】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）．（1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；（2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．【答案】【回顾】3；【探究】答案见解析；【应用】（1）86+25；（2）点G不是AD的中点．【解析】试题解析：由题意可知四边形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH=a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC=b．【回顾】如图1中，作AH⊥BC．在Rt△ABH中，∵∠B=30°，AB=3，∴AH=AB•sin30°=，∴S△ABC=•BC•AH=×4×=3，故答案为：3．探究：如图3中，如图4中，易知四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=75°，∴S四边形EFGH=2S△ABE+2S△ADF+S平行四边形ABCD，∴（a+b）（a+b）═2××a×a+2××b2+b•2a•sin75°，∴sin75°=．学%科网应用：（1）作C关于AD的对称点H，CH交AD于J，连接BH，EH．在Rt△DCJ中，JC=CD•sin75°=，∴CH=2CJ=，在Rt△BHC中，BH2=BC2+CH2=36+=86+25，∵EC=EH，∴EB+EC=EB+EH，在△EBH中，BE+EH≥BH，∴BE+EC的最小值为BH，∴t=BE+CE，t2的最小值为BH2，即为86+25．考点：1．四边形综合题；2．阅读型；3．最值问题；4．操作型；5．探究型；6．压轴题．16．（2017湖南省娄底市）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．（1）求证：△ABG≌△CDE；（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）矩形；（3）．【解析】试题分析：（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到AB=CD，∠BAG=∠DCE，∠ABG=∠CDE，进而判定△ABG≌△CDE；（2）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形；（3）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BG，AG，BF，CF，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积．试题解析：（1）∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，∴∠BAG=∠BAD，∠DCE=∠DCB，∵▱ABCD中，∠BAD=∠DCB，AB=CD，∴∠BAG=∠DCE，同理可得，∠ABG=∠CDE，在△ABG和△CDE中，∵∠BAG=∠DCE，AB=CD，∠ABG=∠CDE，∴△ABG≌△CDE（ASA）；BCD=30°，∴BF=BC=2，CF=，∴EF=﹣=，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF=．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．探究型．17．（2017湖南省娄底市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．（1）若∠BCD=36°，BC=10，求的长；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）求证：.【答案】（1）2π；（2）DE与⊙O相切；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）在Rt△BCD中，解直角三角形即可；（2）欲证明DE是切线，只要证明OD⊥DE即可；∽△ABC，∴AC2=AD•AB，∵AC=2CE，∴4CE2=2EF•AB，∴2CE2=EF•AB．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．直线与圆的位置关系；3．探究型；4．圆的综合题．18．（2017贵州省铜仁市）如图，已知点E，F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上的两点，连接AE，CF，请你添加一个条件，使得△ABE≌△CDF，并证明．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出∠EBA=∠FDC，根据SAS证两三角形全等即可．试题解析：添加的条件是DE=BF，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠EBA=∠FDC，∵DE=BF，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠EBA=∠FDC，BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定；3．开放型．19．（2017贵州省黔西南州）如图1，抛物线，经过A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM=S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长（不需要写过程）．【答案】（1）；（2）点M的坐标为（9，4）或（﹣1，4）；（3）①AF=BE，∠APB=120°；②或．【解析】②当AE≠BF时，由①可知点P在以AB为直径的圆上，过点M作ME⊥AB，垂足为E．先求得⊙M的半径，然后依据弧长公式可求得点P运动的路径；当AE=BF时，点P在AB的垂直平分线上时，过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径=CK的长．试题解析：（1）将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得：，解得：a=，b=﹣2，∴抛物线的解析式为．（2）存在点M，使得S△ABM=S△ABC．理由：如图所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，∴∠APB=180°﹣60°=120°．②当AE≠BF时，由①可知点P在以AB为直径的圆上，过点M作ME⊥AB，垂足为E．综上所述，点P运动的路径为或．学%￥科@网考点：1．二次函数综合题；2．探究型；3．动点型；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题．20．（2017辽宁省抚顺市）如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H．（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若HB=2，cosD=，请求出AC的长．【答案】（1）DC与⊙O相切；（2）．【解析】（2）由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，∴cos∠COP=cos∠D=，∵CH⊥OP，∴∠CHO=90°，设⊙O的半径为r，则OH=r﹣2．在Rt△CHO中，cos∠HOC===，∴r=5，∴OH=5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH=4，∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8．在Rt△AHC中，∠CHA=90°，∴由勾股定理可知：AC=．考点：1．直线与圆的位置关系；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．探究型．21．（2017辽宁省抚顺市）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB．（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=0.5．【解析】∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∴∠AOB=∠BQO，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．（2）存在，理由：如图2中，连接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，∴∠AOF=∠FON=∠BQC，∴∠BQP=∠AOB，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．（3）连接BQ．考点：1．相似形综合题；2．最值问题；3．动点型；4．探究型；5．存在型；6．压轴题．22．（2017辽宁省盘锦市）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径R=5，tanC=，求EF的长．【答案】（1）直线DE是⊙O的切线；（2）．【解析】（2）过D作DH⊥BC于H，∵⊙O的半径R=5，tanC=，∴BC=10，设BD=k，CD=2k，∴BC=k=10，∴k=2，∴BD=2，CD=4，∴DH==4，∴OH==3，∵DE⊥OD，DH⊥OE，∴OD2=OH•OE，∴OE=，∴BE=，∵DE⊥AB，∴BF∥OD，∴△BFE∽△ODE，∴，即，∴BF=2，∴EF==．考点：1．直线与圆的位置关系；2．等腰三角形的性质；3．解直角三角形；4．探究型．23．（2017辽宁省盘锦市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．【答案】（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3）．【解析】试题解析：（1）结论：BQ=CP．理由：如图1中，作PH∥AB交CO于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等边三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等边三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP，∵∠OPQ=∠OCP=60°，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．（2）成立：PC=BQ．理由：作PH∥AB交CO的延长线于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等边三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等边三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠POH=60°+∠CPO，∠QPO=60°+∠CPQ，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．（3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．∵∠OPC=15°，∠OCB=∠OCP+∠POC，∴∠POC=45°，∴CE=EO，设CE=CO=a，则EC=FP=2a，EF=a，在Rt△PCE中，PC===，∵PC+CB=4，∴，解得a=，∴PC=，由（2）可知BQ=PC，∴BQ=．考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．变式探究；4．压轴题．24．（2017辽宁省阜新市）在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，点F，G在直线BC上，且BE=EG，∠AEF=∠BEG．（1）如图1，求证：△ABE≌△FGE；（2）如图2，当∠ABC=120°时，求证：AB=BE+BF；（3）如图3，当∠ABC=90°，点F在线段BC上时，线段AB，BE，BF的数量关系如何？（请直接写出你猜想的结论）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BF+AB=BE．【解析】BEG为等腰直角三角形，从而得到结论．学%科*网试题解析：（1）∵BE=EG，∴∠EBG=∠EGB．∵ABCD是菱形，∴∠ABE=∠EBG，∴∠ABE=∠EGB．∵∠AEF=∠BEG，∴∠AEB=∠FEG．在△AEB和△FEG中，∵∠ABE=∠EGB，BE=EG，∠AEB=∠FEG，∴△ABE≌△FGE；（2）∵△ABE≌△FGE，∴AB=FG．∵∠ABC=120°，∴∠ABE=∠EBG=60°，∵BE=EG，∴△BEG为等边三角形，∴BE=BG，∴AB=BE+BF；（3）BF+AB=BE．理由如下：∵△ABE≌△FGE，∴AB=FG，∴BF+AB=BF+FG=BG．∵∠ABC=90°，∴∠EBG=45°．∵BE=EG，∴∠EGF=∠EBG=45°，∴∠BEG=90°，∴△BEG为等腰直角三角形，∴BG=BF+AB=BE．考点：1．菱形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．探究型；5．和差倍分；6．四边形综合题．25．（2017辽宁省锦州市）已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）；（3）△FGH的周长最大值为（a+b），最小值为（a﹣b）．【解析】试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；（3）首先证明△GFH的周长=3GF=BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；试题解析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．（2）如图2中，连接AF、EC．考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．变式探究；4．最值问题；5．压轴题．26．（2017四川省德阳市）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线C1：（m≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，其中A（-1，0），C（0，-1）．（1）求抛物线C1及直线AC的解析式；（2）沿直线AC上A至C的方向平移抛物线C1，得到新的抛物线C2，C2上的点D为C1上的点C的对应点，若抛物线C2恰好经过点B，同时与x轴交于另一点E，连结OD、DE，试判断ΔODE的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，或P为线段OE（不含端点）上一动点，作PF⊥DE于F，PG⊥OD于G，设PF＝h1，PG＝h2，试判断h1．h2的值是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1），y=﹣x﹣1；（2）△ODE是等腰三角形；（3）当x=时，h1h2的值最大，是，此时点P（，0）．【解析】试题解析：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入得：，解得：，∴AC的解析式为：y=﹣x﹣1；把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入得：中，∵，∴，∴抛物线C1：；（3）如图2，设P（x，0），连接PD，则OP=x，PE=5﹣x，S△OPD=×5h2=×4x，h2=，由勾股定理得：DE==，S△PDE=×=，h1=，h1h2===，当x=时，h1h2的值最大，是，此时点P（，0）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．探究型；5．二次函数图象与几何变换；6．动点型；7．存在型；8．压轴题．27．（2017山东省济南市）如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A（2，1），反比例函数（x＞0）的图象经过的B．（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；（3）如图3，将线段OA延长交（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由．【答案】（1）B（2，4），；（2）；（3）BF=DE．【解析】（2，4）代入中，得到k=8，∴反比例函数的解析式为．（2）如图2中，设K是OB的中点，则K（1，2）．∵直线OB的解析式为y=2x，∴直线MN的解析式为y=﹣x+，∴N（0，），∴ON=．（3）结论：BF=DE．理由如下：如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设ON=n，OM=m，ME=a．则BN=，DM=．∵△EDM∽△EBN，∴，∴，可得a=m，∵NK∥EF，∴∠KNO=∠DEM，∠KON=∠DME=90°，ON=EM，∴△KNO≌△DEM，∴DE=KN，∵FK∥BN，NK∥FB，∴四边形NKFB是平行四边形，∴NK=BF，∴BF=DE．考点：1．反比例函数综合题；2．探究型；3．综合题．28．（2017山东省济南市）某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠CAB＝∠EAD＝60°，点E，A，C在同一条直线上，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由．问题探究：（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF＝CF，以下是她的证明过程证明：延长线段EF交CB的延长线于点G．∵F是BD的中点，∴BF＝DF．∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴ED∥CG．∴∠BGF＝∠DEF．又∵∠BFG＝∠DFE，∴△BGF≌△DEF（），∴EF＝FG，∴CF＝EF＝EG．学%科&网请根据以上证明过程，解答下列两个问题：①在图1中作出证明中所描述的辅助线；②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状．问题拓展：（3）如图2，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE，延长DE交BC的延长线于点P，其他条件不变，判断△CEF的形状并给出证明．【答案】（1）答案见解析；（2）∠CEF=60°，△CEF为等边三角形；（3）△CEF是等边三角形．【解析】试题解析：（1）①由题意作图如图1所示图形，②证明：延长线段EF交CB的延长线于点G．∵F是BD的中点，∴BF=DF．∵∠ACB=∠AED=90°，∴ED∥CG，∴∠BGF=∠DEF．又∵∠BFG=∠DFE，∴△BGF≌△DEF（ASA），∴EF=FG，∴CF=EF=EG．故答案为：ASA；（2）如图3，延长BA，DE相交于点F，∵∠BAC=60°，∴∠EAH=60°=∠EAD，∵∠AED=90°，∴∠H=30°，EH=DE，由（1）②知，△BGF≌△DEF，∴DE=BG，∴EH=BG，∵DE∥BG，∴四边形BGEH是平行四边形，∠DEF=∠H=30°，∴∠CEF=∠AED﹣∠DEF=60°，∵CF=EF，∴△CEF是等边三角形；（3）如图2，延长EF至G使，FG=EF，∵点F是BD的中点，∴DF=BF，∵∠DFE=∠BFG，∴△DEF≌△BGF（SAS），∴BG∥DP，∴∠P+∠CBG=180°，在四边形ACPE中，∠AEP=∠ACP=90°，根据四边形的内角和得，∠CAE+∠P=180°，∴∠CAE=∠CBG，在Rt△ADE中，∠DAE=60°，∴tan∠DAE==，即：=，同理：=，∴，∵∠CBG=∠CAE，∴△BCG∽△ACE，∴∠BCG=∠ACE，∴∠ECG=∠ACE+∠ACG=∠BCG+∠ACG=90°，在Rt△CEG中，EF=GF，∴CF=EF=EG，∵△BCG∽△ACE，∴==，在Rt△CEG中，tan∠CEG==，∴∠CEG=60°，∵CF=EF，∴△CEF是等边三角形．考点：1．几何变换综合题；2．和差倍分；3．探究型；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．29．（2017辽宁省朝阳市）已知，在△ABC中，点D在AB上，点E是BC延长线上一点，且AD=CE，连接DE交AC于点F．（1）猜想证明：如图1，在△ABC中，若AB=BC，学生们发现：DF=EF．下面是两位学生的证明思路：思路1：过点D作DG∥BC，交AC于点G，可证△DFG≌△EFC得出结论；思路2：过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H，可证△ADF≌△HEF得出结论；…请你参考上面的思路，证明DF=EF（只用一种方法证明即可）．（2）类比探究：在（1）的条件下（如图1），过点D作DM⊥AC于点M，试探究线段AM，MF，FC之间满足的数量关系，并证明你的结论．（3）延伸拓展：如图2，在△ABC中，若AB=AC，∠ABC=2∠BAC，=m，请你用尺规作图在图2中作出AD的垂直平分线交AC于点N（不写作法，只保留作图痕迹），并用含m的代数式直接表示的值．【答案】（1）证明见解析；（2）FM=AM+FC；（3）=．【解析】（b﹣a）=，由此即可解决问题；试题解析：（1）思路1：如图1﹣1中，过点D作DG∥BC，交AC于点G．∵BA=BC，∴∠A=∠BCA，∵DG∥BC，∴∠DGA=∠BCA，∠DGF=∠ECF，∴∠A=∠DGA，∴DA=DG，∵AD=CE，∴DG=CE，∵∠DFG=∠CFE，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．思路2：如图1﹣2中，过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H．∵BA=BC，∴∠A=∠BCA，∵EH∥AB，∴∠A=∠H，∠ECH=∠BCA，∴∠H=∠ECH，∴EC=EH，∵AD=CE，∴AD=EH，∵∠AFD=∠EFH，∴△DFA≌△EFH，∴DF=EF．（2）结论：FM=AM+FC．理由：如图2中，由思路1可知：DA=DG，△DFG≌△EFC，∵DM⊥AG，∴AM=FG，FG=FC，∵FM=FG+GM，∴FM=AM+FC．（3）AD的垂直平分线交AC于点N，如图3中所示．考点：1．相似形综合题；2．阅读型；3．探究型；4．和差倍分；5．压轴题．30．（2017辽宁省沈阳市）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M、N分别是OA、AB的中点．Rt△CDE≌Rt△ABO，且△CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G．（1）填空，OA的长是，∠ABO的度数是度；（2）如图2，当DE∥AB，连接HN．①求证：四边形AMHN是平行四边形；②判断点D是否在抛物线的对称轴上，并说明理由；