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文档简介

第六章节定积分应用第一节

定积分的元素法要应用定积分来解决实际问题，就需要解决下面两个问题：（1）什么样的量能表示为定积分？（2）怎样求出这些量的定积分表达式？在前面，我们已经看到：曲边梯形的面积，作变速直线运动的物体所走的路程，都能用定积分来表示。这些量具有什么特征？（i）是非均匀，连续分布在某个区间上的。(ii)具有对区间的可加性。即：若将区间分为若干个子区间，那么，分布在区间上的总量等于分布在各个子区间上的部分量之和。一般地，具有上面这两个特征的量都能用定积分表示。这就回答了第一个问题。下面，考虑第二个问题。以曲边梯形的面积为例。abxyo通过任分，任取，求和，取极限四步，我们得到下面，为了方便应用，我们希望将上面的四步进行简化。abxyo为了简单起见，我们略去下标，那么，上式变为abxyo那么，表示什么呢？xyo在图上表示：小矩形的面积它是小曲边梯形面积的一个近似值。它有什么特征呢？令，则根据微分的定义，知是的线性函数，且这就是这个近似值的特征。因此，要将曲边梯形的面积表示为定积分，关键是：求出的表达式.一旦求出了的表达式，即：则有这样，就将曲边梯形的面积表示为定积分了。面积元素总结一下：将曲边梯形的面积表示为定积分的步骤可简化为下面两步：（1）将区间任分为若干个小区间，然后，任取一个小区间，分布在其上的面积（2）一般地，可按下面的步骤将一个量表示为定积分：（1）将区间任分为若干个小区间，然后，任取一个小区间，分布在其上的部分量量

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