第五章-刚体定轴转动-角动量守恒定律

第五章刚体定轴转动角动量守恒定律高等教育出版社高等教育电子音像出版社rigidbodyrotationwithafixedaxischapter5lawofconservationofangularmomentum刚体的刚体的定轴转动定轴转动角动量守恒定律角动量守恒定律第五章第五章章节本章内容章节本章内容Contentschapter55.1

刚体定轴转动的描述rotationofrigidbodywithafixedaxis5.4

刚体转动中的功和能5.2

角动量与角动量守恒angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum5.3

刚体定轴转动定律lawofrotationofrigidbodywithafixedaxisworkandenergyofrotatingrigidbody﹡﹡目的要求目的要求了解描述刚体定轴转动的物理量：q、w、a

理解质点、刚体的角动量，角动量定理及角动量守恒定律。会用他们来处理一些较简单的刚体转动问题掌握转动定律，能熟练地用他来处理一些较简单的刚体定轴转动问题了解刚体的动能定理章节刚体刚体无论受多大的外力作用，物体的形状、大小（或物体上任意两个质元之间的距离）保持不变。刚体是一个理想化的物理模型。章节第一节刚体定轴转动的描述5.1rotationofrigidbodywithafixedaxis章节定轴转动描述描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量1.角坐标qqq()t2.角位移qt0qdq3.角速度wtdqwdw0w常量静止匀角速()tww变角速4.角加速度atddw变角加速()t常量匀角加速0匀角速,wdq转动方向用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右手螺旋定则wdq的运动方程刚体定轴转动aaaaaDDD刚体转轴转动平面（包含P并与转轴垂直）PPqrqrqqrP参考方向xPP刚体中任一点Pw（（tD＋t（（tD＋t（（t（（t章节例单位：radqqw-1sa角坐标角位移角速度角加速度rad-2sradD例求w()ta()t已知()tqp+05t21+t2rad)(pp解法提要tdqwd05+ptw()t-1rads(),tddw()t-2rads(),匀角加速定轴转动aa据定义故pp章节例例已知求w()t()tq任意时刻的()tkk0常量且

t=0时

w0wq0qa解法提要得()twt+w0kww0dw0ttdk0ttdatddw,atddwa由本题知角加速度求角速度、角坐标，属于前面已经学过的积分（第二类）问题得两边积分dqwtd,dqwtd)(t+w0ktd0tdqqq0)(t+w0ktd得qqq0t+w0kt212即()tqq0+t+w0kt212由得两边积分D章节例s这是定轴转动中线量与角量的基本关系解法提要dsqdrnavr2(wr)2rrw2()atdtdvdtdrwra由得vtdqdrtdwrds章节对比刚体的定轴转动质点直线运动或刚体平动速度加速度位移vx1t2x()tx()ddtaddtv匀速直线运动ssvt匀变速直线运动s021+vt2at2vv022asvv0+atD角速度角加速度角位移1t2()t()qqqwwddtqddt匀角速定轴转动qwt匀变角速定轴转动qw0+t212tw2w022qww0+taaaaD章节第二节5.2angularmomentumlawofconservationofangularmomentum

角动量角动量守恒定律章节质点的角动量rqOmv速度位矢质量角夹rvrvLq大量天文观测表明rqmvsin常量行星绕日作椭圆轨道运动时服从1.角动量的概念一、质点的角动量及其守恒一、质点的角动量及其守恒大小：Lrqmvsin方向：rmv()rpLrmv位矢对动量的叉积角动量章节质点角动量定理+()由Lvrm得ddtLddtrvmddtrvmrddt(vm)0vmv(两平行矢量的叉乘积为零)mdvdtmaF即ddtLrFML角动量对时间的变化规律上式又是力矩其大小FrsinMq的操作定义，M力矩质点的角动量定理2.力矩章节微分形式

如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。ddtLrFM即质点对给定参考点的mOOrFmdq微分形式ddtLM角动量的时间变化率所受的合外力矩等于质点的角动量定理章节积分形式例如，

单摆的角动量大小为L=

mvr,v为变量。

在t=0时从水平位置静止释放，初角动量大小为L0=mv0r=0；时刻t

下摆至竖直位置，

角动量大小为L⊥

=

mv⊥r。则此过程单摆所受的冲量矩大小等于

L-L0=mv⊥r=

mr2gr。0ttMdtLL0即质点对给定参考点的mO冲量矩等于角动量的增量由ddtLM,dLMdt有dL0ttMdtL0LLL0称为

冲量矩角动量的增量积分得积分形式质点的角动量定理章节质点角动量守恒ddtLM根据质点的角动量定理

rFM()若MrF0则ddtL0即L常矢量

若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。当质点

所受的合外力对某参考点的力矩OmM为零时，质点对该点的角动量为常量（即时间变化ddtL率为零）。质点的角动量守恒定律3.章节开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积章节证明证：

时刻m对O的角动量大小为tLrvmddtrrmsinqrmddtsmddtsh2mAddt因行星受的合外力总指向太阳，角动量守恒。Or+drhrdr+dtt()t)(qAdmsd21Addrh21sdhdt瞬间位矢扫过的微面积L则LAddt2m常量故，位矢在相同时间内扫过的面积相等即LAddt2m（称为掠面速率）章节刚体的角动量二、刚体的角动量及其守恒二、刚体的角动量及其守恒mrivimiOriwviriwLwI大小方向L与同绕向wLw或与沿轴同指向定轴转动刚体的角动量任一质元（视为质点）的质量其角动量大小miviriw2miriLi全部质元的总角动量L∑w∑2miri()wILiI∑2miri称为刚体的转动惯量定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加1.刚体的角动量DDDDDDD章节刚体的转动惯量2.刚体的转动惯量及其计算分立质点结构的刚体m12m转轴Or1r2

若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则IDmiriri2∑m1r12+2mr22转轴O2mm1601l2lIriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)Dmi章节直杆匀直细杆对中垂轴的ILmOdmrdrI2rdmL2L22rmLdr3mL1r3L2L2211mL2匀直细杆对端垂轴的ILmOdmrdrI2rdmL2rmLdr0mL31r3L031mL2LwwIm2r()d质量连续分布的刚体2IOIC+mmCO质心新轴质心轴,L平行移轴定理对新轴的转动惯量IO对质心轴的转动惯量IC新轴对心轴的平移量例如：L2时代入可得I端31mL2DDDD章节圆盘匀质薄圆盘对心垂轴的IOrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2m2dmmpRdr2pr2mRdr2rrdrdm取半径为微宽为的窄环带的质量为质元章节球体IId212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()dmrdVpr2ryd2rdmId21其中可看成是许多半径不同的共轴簿圆盘的转动惯量dI

的叠加。距O为y

、半径为r、微厚为dy

的簿圆盘的转动惯量为匀质实心球对心轴的ImORrryyddmdm密度2rR2y2rRp343m章节常用公式LRmm匀质薄圆盘匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22I=m

R123I=m

L1转轴通过端点与棒垂直章节刚体的角动量定理角动量定理３．刚体的角动量定理及角动量守恒定律ddtLrF回忆质点的角动量定理M0ttdLdtL0LLL0M（微分形式）（积分形式）刚体的角动量定理刚体受合外力矩的冲量矩刚体的角动量的增量=L000ttdtLdLLLzIwIwz0zM（积分形式）z0tdLdzzM（微分形式）对于定轴转动刚体刚体所受合外力矩刚体的角动量的时间变化率=章节刚体角动量守恒刚体的角动量守恒定律MIw当刚体所受的合外力矩等于零时，刚体的角动量保持不变。刚体的角动量定理由MLtdd刚体所受合外力矩M0若则Ltdd0即LIw常矢量知刚体的角动量守恒定律章节回转仪LwI万向支架回转仪定向原理基座回转体（转动惯量）Iw使其以角速度高速旋转受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒LwI常矢量wI其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响＝＝章节转台角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，乘积保持不变，Iw变大则Iw变小。收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w章节滑冰花样滑冰收臂大小Iw张臂Iw大小先使自己转动起来收臂大小Iw角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，乘积保持不变，Iw变大则Iw变小。章节共轴系统共轴系统若0IMwS外则LSi常矢量Sii轮、转台与人系统I轮I人台初态全静LSi初0人沿某一转向拨动轮子w轮末态w人台I轮w轮LSi末+I人台w人台LSi初0得I人台w人台I轮w轮导致人台反向转动章节动画固定基座载人转台共轴转轮共轴转动系统角动量守恒动画示意图点击开始章节直升机直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干CH47)165用尾浆（美洲豹SA300）（海豚Ⅱ）章节例wA静AIBI已知A、B两轮共轴A以wA

作惯性转动例例55求两轮啮合后一起作惯性转动的角速度wABwAB解法提要

以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动量AI+0末态角动量得wA()+AIBIwABwABwAAI()+AIBI章节例解法提要以子弹和棒为系统击入阶段子弹击入木棒瞬间，系统在铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。wv0+m1v0lm1l+I该瞬间之始该瞬间之末弹棒弹棒已知例弹嵌于棒Olm2v0m1子弹03摆最大转角求v0木棒上摆阶段子弹嵌定于棒内与棒一起上摆，非保守内力的功为零，由系统动能定理m1gcosl(103(+21m2gcosl(103(外力（重力）的功W外0上摆末动能()m2121v+21wI2上摆初动能31vwlIm2l2,其中联立解得6v0m11g(2l3)(())m2+2m1m2+3m1章节例联立解得l3l,gw23l()120.577l~~~~1.861glI31ml2其中

球、棒相碰瞬间在铅垂位置，系统受合外力矩为零，角动量守恒。+刚要碰时系统角动量0刚碰过后系统角动量0mvlwI+球棒球棒弹碰阶段21Iw221mv2弹碰过程能量守恒求

满足什么条件时，小球（视为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小球恰好静止。直棒起摆角速度lw？匀质直棒与单摆小球的质量相等两者共面共转轴水平静止释放例mOllm静悬弹碰忽略摩擦解法提要对摆球、直棒系统mgl21mv2小球下摆阶段从水平摆到弹碰即将开始，由动能定理得章节第三节5.3lawofrotationofrigidbodywithafixedaxis刚体定轴转动定律章节刚体转动定律引言质点的运动定律或刚体平动F

=

m

a惯性质量合外力合加速度有力矩作用时刚体定轴转动的运动规律？章节转动定律刚体的角动量定理由MLtddM得LtddtddIw（（IwtddIa或MIa刚体所获得的角加速度的大小与刚体受到的aMI合外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比。aIM转动定律即一、转动定律的内容一、转动定律的内容章节应用M合外力矩应由各分力矩进行合成。在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为负。Ma合外力矩与合角加速度方向一致。MM00M与时刻对应，何时则何时何时恒定则何时恒定。aaa注意：OLm,qmgMmgL21qcos,m2I31LMI23Lgqcosaq0,MmgL21,23Lga2pq,M0,0a举例

匀直细杆一端为轴水平静止释放，求a二、转动定律的应用二、转动定律的应用章节例例已知aRm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑求a、、FT21FT1FTFT2解法提要1FTFT2G1G2aaaFT2′1FT′转动平动线-角复合运动FT2（（－1FTR＝IaI＝mR221mm2g－＝m2aFT2′1FT′－g＝1maa＝Ram1+m2+

联立求解，得m1m2a=gm21g=m1(g+a)=m2(g–a)m1gm2g1FTFT2章节例例Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度a细绳线加速度

a求解法提要（A）MIFR21mR22FmRaR2Fm纯转动aa（B）IR21mR2am1gm1m1R复合运动aaFTFTm121mm1+()RgaRm121mm1+()gaaa章节例例已知m=5kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mRm1m2m求()tqq物体从静止开始运动时，滑轮的转动方程解法提要m1m2m复合运动，和分别应用牛顿定律和转动定律m1

g–FT1=

m1aFT2–

m2

g=

m2a(

FT1

–

FT2)

R=Ia及a=RaI=mR221得a

=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量(m1-m2)gqdqt00dtw(m1-m2)gR(m1+m2+m2)0ttdtwta故tdqdwqdwtd由,qtR(m1+m2+m2)222

(rad)t21aG1G21FT′FT2′FT21FTaaa章节例短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关例已知qqmB()A()LmLL2LOO两匀直细杆地面q从等倾角处静止释放求两者瞬时角加速度之比aa解法提要MIMIMI213singmLq1mLsingmLq1mL32122根据1L1LLL2aaa章节第四节5.4workandenergyofrotatingrigidbody刚体转动中的功和能﹡﹡章节力矩的功dWFrdcosFrd2pj()FrdrdsinjFrsinjqdMqd亦称力矩的元功力F的元功M做的总功dWWq12qMqd其瞬时功率PWddtwMqddtMq12qM若在某变力矩的作用下，刚体由转到，一、力矩的功和功率一、力矩的功和功率OqdjPrrdFet章节转动动能Ek21Iw2得刚体转动动能公式二、转动动能二、转动动能wOviviririrmimiD该质元的动能刚体中任一质元的速率riviwmiDEik21vi221w22DmiDrimiD对所有质元的动能求和∑EkEik212w2()∑转动惯量

IDmiDri章节力矩的功算例求拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小RrOrdmmd例已知粗糙水平面mmmRO转轴d平放一圆盘圆盘受总摩擦力矩

MrMrd转一周摩擦力矩的总功W0p2dqMr＝＝总摩擦力矩Mr

是解法提要各微环带摩擦元力矩dMr

的积分2pr环带面积dsdr环带质量环带受摩擦力gmmdm环带受摩擦力矩dFfr2mmgR2Mrddrr2drFfr＝＝()dmpR2dmdsd＝＝＝0R2mmgR2r2drW0p2Mrdq0p2dq34pmmgR得＝章节刚体的动能定理三、刚体转动的动能定理三、刚体转动的动能定理回忆质点的动能定理mW21v21mv202刚体转动的动能定理？由

力矩的元功dWqdM转动定律IMdWaIqdIwdtdqdIqdtdwdIwwd则WdWqdMq0qw0wIwwd2121202IwIw合外力矩的功转动动能的增量a内容应用章节例例R1mqO2m匀质圆盘盘缘另固连一质点水平静止释放通过盘心垂直盘面的水平轴求圆盘下摆时质点的03q2m角速度wat、切向、法向加速度na的大小解法提要对1m2m系统外力矩的功系统转动动能增量w2I21m1其中I212R+m22RR2