第三章 第三节 三角函数的图象和性质

三角函数的图象和性质编辑课件编辑课件一、周期函数1．周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

，那么函数f(x)就叫做周期函数．

叫做这个函数的周期．f(x＋T)＝f(x)T[理要点]编辑课件2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

，那么这个

就叫做f(x)的最小正周期．最小的正数最小正数编辑课件二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR编辑课件函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx值域单调性上递增，k∈Z；

上递减，k∈Z上递增，k∈Z；上递减，k∈Z

上递增，k∈Z{y|－1≤y≤1}{y|－1≤y≤1}R[(2k－1)π，2kπ][2kπ，(2k＋1)π]编辑课件函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值x＝

，ymax＝1(k∈Z)；x＝

，ymin＝－1(k∈Z)x＝

时

，ymax＝1(k∈Z)；x＝

时ymin＝－1(k∈Z)无最值奇偶性2kππ＋2kπ奇偶奇编辑课件函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性对称中心

对称轴l：

周期性(kπ，0)，k∈Zx＝kπ，k∈Z无2π2ππ编辑课件[究疑点]1．是否每一个周期函数都有最小正周期？提示：不一定．如常数函数f(x)＝a，每一个非零数都是它的周期．2．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函

数图象的关键点有什么关系？提示：y＝sinx与y＝cosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x，对称中心的横坐标都是它们的零点．编辑课件编辑课件编辑课件2．函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域为____________．编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件[归纳领悟]求三角函数的定义域时，转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．1．用三角函数线解sinx＞a(cosx＞a)的方法(1)找出使sinx＝a(cosx＝a)的两个x值的终边所在位置．(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．编辑课件2．用三角函数的图象解sinx＞a(cosx＞a，tanx＞a)的方法．(1)作直线y＝a，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一

定是[0,2π])在直线y＝a上方的图象．(2)确定sinx＝a(cosx＝a，tanx＝a)的x值，写出解集.编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件[归纳领悟]求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sinx、cosx的值域；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出y＝Asin(ωx＋φ)＋k的值域；(3)换元法：把sinx、cosx看作一个整体，可化为二次函数．

注意：换元后注意新元的范围.编辑课件答案：B编辑课件编辑课件答案：

C编辑课件3．y＝2cosx，x∈[0,2π]与y＝2围成封闭图形的面积为

______．答案：4π编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件2．三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用.编辑课件答案：D编辑课件编辑课件答案：＞编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件2．若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．对于函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性的讨论与以上类似．编辑课件编辑课件一、把脉考情从近两年的高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法．