数学分析第七章

在第一章与第二章中,我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理并给出了柯西收敛准则.这三个定理反映了实数的一种特性,这种特性称之为完备性.而有理数集是不具备这种性质的.在本章中,将着重介绍与上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石.§7.1

关于实数集完备性的基本定理返回精选课件一、区间套定理与柯西收敛定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性精选课件定义1定义1中的条件1实际上等价于条件一、区间套定理与柯西收敛定理精选课件定理7.1(区间套定理)或者证

由定义1的条件1可知,数列{an}递增,有上界b1.所以由单调有界定理,可知{an}的极限存在.精选课件从而由定义1的条件2可得因为{an}递增,{bn}递减,所以下面来证明唯一性.设1也满足设这样就证明了的存在性.返回精选课件证由区间套定理的证明可得:由极限的保号性,对于任意正数,存在N,则任给>0,存在N,当nN时,推论设{[an,bn]}是一个区间套,精选课件注1该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记.注2

区间套定理中的闭区间若改为开区间,那么结论不一定成立.例如对于开区间列,显然即精选课件但是定理1中的是不存在的,这是因为证明过程,哪一步通不过?的精选课件例1、利用区间套定理证明柯西收敛准则。即证明数列{an}收敛的充要条件是:对任意的证

(必要性)存在

N,

>0,精选课件精选课件精选课件精选课件由定理1的推论，精选课件定义2设S为数轴上的非空点集,为直线上的一个定点(当然可以属于S,也可以不属于S).若对于任意正数

,在(,+)中含有S的无限个点,二、聚点定理与有限覆盖定理则称是S的一个聚点.即精选课件为了便于应用,下面介绍两个与定义2等价的定义.定义2定义2″若存在各项互异的收敛数列下面简单叙述一下这三个定义的等价性.若设S是[0,1]中的无理数全体,则S的聚点集合S(称为

S的导集)为闭区间[0,1].精选课件定义2定义2由定义直接得到.定义2定义2因为那么精选课件互异,并且定义2定义2由极限的定义可知这是显然的.定理7.2(聚点定理)实数轴上的任意有界无限点集必有聚点.精选课件我们再次使用区间套定理来证明聚点定理,请务必证因为S为有界点集,所以存在正数M,使现将[a1,b1]等分为两个子区间[a1,c1],[c1,b1],中至少有一个区间含有S的无限多个点.记该区间为[a2,b2].要注意在区间套的构成中所建立的性质(iii).精选课件再将[a2,b2]等分为两个子区间.同样至少有一个子区间含有S的无限多个点,将这个区间记为[a3,b3].精选课件(iii)每个闭区间[an,bn]均含S的无限多个点.无限重复这个过程,就可得到一列闭区间精选课件所以由所建立的性质(iii)这就证明了是S的一个聚点.定理7.2有一个非常重要的推论(致密性定理).该定理在整个数学分析中,显得十分活跃.精选课件证设{xn}为有界数列,若{xn}中有无限项相等,取这些相等的项可成一个子列.该子列显然是收敛若数列{xn}不含有无限多个相等的项,则{xn}作为点集是有界的.由聚点原理,可设是{xn}的一个推论(致密性定理)有界数列必有收敛子列.的.收敛于

.聚点,那么再由定义2,可知{xn}中有一个子列精选课件证又因由极限的不等式性质,可得例1作为致密性定理的应用,我们来看下面两个例题.精选课件例2用致密性定理证明柯西收敛准则.证精选课件.下面证明{an}以A为极限.因为{an}是柯西列,所以对于任意正数精选课件定义3

设

S为数轴上的一个点集,H为一些开区间则称H是S的一个开覆盖.若H是S的一个开覆盖,并且H中的元素(开区间)仅有有限个,则称H是S的一个有限开覆盖.一个开覆盖.精选课件定理7.3(海涅－博雷尔有限覆盖定理)设H是闭区间[a,b]的一个开覆盖,则从H中可选证证明该定理有多种海涅(Heine,H.E.1821-1881,德国)博雷尔(Borel,E.1871-1956,法国)

出有限个开区间,构成闭区间[a,b]的一个子覆盖.要注意区间套的取法.间套定理来证明,仍然方法.这里还是运用区精选课件若定理不成立,也就是说[a,b]不能被

H中任何再将[a1,b1]等分成两个子区间,其中至少有一个有限个开区间所覆盖.将区间[a,b]等分成两个子区间,那么这两个子区间中至少有一个不能被H中任意有限个开区间所覆盖,设该区间为[a1,b1].不能被H中有限个开区间所覆盖.设该区间为显然有精选课件(iii)对每一个闭区间[an,bn],都不能被H中有限个满足下列三个性质:[a2

,b2].同样有将上述过程无限进行下去,可得一列闭区间精选课件这就是说,[aN

,bN]被H中的一个开区间所覆盖,开区间所覆盖.矛盾.精选课件区间(0,1).很明显,H中的任何有限个开区间均不注定理7.3中的闭区间不可以改为开区间.能覆盖(0,1).精选课件我们已经学习了关于实数完备性的六个定理,它三、实数完备性定理的等价性确界定理单调有界定理区间套定理下面证明这六个定理是等价的.们是:聚点定理有限覆盖定理柯西收敛准则精选课件

柯西收敛准则

区间套定理

聚点定理

确界定理

有限覆盖定理

单调有界定理

654321精选课件例3用有限覆盖定理证明聚点定理.证设S是无限有界点集,则存在M>0,使得在上图的等价性关系中,仅和尚未证明.这里46给出的证明,请大家自己阅读教材.46精选课件很明显,H覆盖了闭区间[–M,M].根据有限覆盖设开区间集由H的构造,所以矛盾.定理,存在

H中的有限子覆盖精选课件§7.2

闭区间上连续函数的性质实数完备性理论的一个重要作用就是证一、最大、最小值定理经在第四章给出过.明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾

三、一致连续性定理二、介值性定理返回精选课件首先来看一个常用的定理.有界性定理若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)证用两种方法给出证明.第一种方法使用有限覆盖定理.因为f(x)在[a,b]一、最大、最小值定理局部有界的性质化为整体有界性质.上每一点连续,从而局部有界.我们的任务就是将精选课件

H覆盖了闭区间[a,b].由有限覆盖定理,在H中存显然在有限个开区间精选课件第二种证法采用致密性定理.因为{xn}有界,从而存在一个收敛的子列.为了书写方便,不妨假设{xn}自身收敛,令设f(x)在[a,b]上无界,不妨设f(x)无上界.则存在精选课件故由归结原理可得矛盾.最大、最小值定理(定理4.6)

若函数f(x)在[a,b]证

f(x)在[a,b]上连续,因而有界.由确界定理,f(x)在[a,b]上的值域有上确界.设上连续,则f(x)在[a,b]上取最大、最小值.精选课件在[a,b]上连续,从而有界,故存在G>0,使这样就有精选课件这与M是f(x)在[a,b]上的上确界矛盾.这就证明了上确界M与下确界m都是可取到的,同理可证:下确界也属于f([a,b]).最小值.这也就是说,M与m是f(x)在[a,b]上的最大、精选课件(定理4.7)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且证在第四章中,我们已经用确界定理证明此定理.现在用区间套定理来证明.二、介值性定理f(a)f(b).精选课件将[a,b]等分成两个区间[a,c],[c,b],若F(c)=0,下去,得到一列闭子区间个区间的端点上的值异号.将这个过程无限进行F(c1)=0,已证.不然同样可知函数F(x)在其中一将[a1

,b1]等分成两个区间[a1,c1],[c1,b1],若间端点上的值异号,将这个区间记为[a1,b1].再已证.不然,函数F(x)在这两个区间中有一个区精选课件由区间套定理,存在惟一的{[an,bn]},满足:精选课件(定理4.9)若函数f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在证(证法一)首先用致密性定理来证明该定理.在设f(x)在[a,b]上不一致连续,即存在三、一致连续性定理[a,b]上一致连续.究.下述证明过程中,选子列的方法值得大家仔细探精选课件现分别取……精选课件因为{x'n}有界,从而由致密性定理,存在{x'n}的精选课件因为所以由极限的不等式性质连续,所以由归结原理得到矛盾.(证法二)再用有限覆盖定理来证明.以及f精选课件考虑开区间集那么H是[a,b]的一个开覆盖.由有限覆盖定理,因f(x)在[a,b]上连续,对任意一点存在有限个开区间精选课件对于任何那么必属于上述n个小区间中的一个,也覆盖了[a,b].精选课件所以由小区间的定义得知这就证明了在[a,b]上的一致连续性.精选课件*§7.3上极限和下极限数列的上极限与下极限是非常有用的概念,通过一、上(下)极限的基本概念程来说,上(下)极限也是不可缺少的工具.极限或下极限来解决问题.此外,对于不少后继课考虑的某些数列不存在极限的情形,那时需要用上册第十二、十四章讨论级数收敛性时,常会遇到所它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.

在下二、上(下)极限的基本性质返回精选课件一、上(下)极限的基本概念注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:定义1若数列满足:在数的任何一个邻域内均含有

中的无限多项,则称x0是数列常数列只有一个聚点:a.

的一个聚点.限多个项”.现举例如下:前者要求“含有无限多个点”,后者要求“含有无精选课件定理7.4有界数列至少存在一个聚点,并且有最大但作为数列来说,它却有两个聚点:有五个聚点:数列从数列聚点的定义不难看出,x0是数列的聚作为点集来说它仅有两个点,故没有聚点;点的一个充要条件是:存在的一个子列聚点和最小聚点.精选课件又设由于E非空有界,故由确界原理,存在下面证明是{xn}的最大聚点,亦即证设为有界数列,由致密性定理,存在一个的一个聚点.收敛子列于是首先,由上确界的性质,存在使精选课件存在使存在使的无限多项.现依次令存在使因为是的聚点,所以对任意正数在区间精选课件这样就得到了{xn}的一个子列满足:同理可证定义2有界数列的最大聚点与最小聚点分别称为的上、下极限,记为即证得精选课件注由定理7.4得知,有界数列必有上、下极限.提供了一个新的平台.的上、下极限总是存在的,这为研究数列的性质极限来研究该数列往往是徒劳的;但是有界数列数列若有界,它的极限可以不存在,此时想通过这样,上、下极限的优越性就显现出来了:一个精选课件例1考察以下两个数列的上、下极限:从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系.详细讨论请见下文.精选课件二、上(下)极限的基本性质由上、下极限的定义,立即得出:定理7.5对任何有界数列有下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.定理7.6有界数列存在极限的充要条件是:(1)(2)精选课件证设对于任意正数在之外只有有限项.这样,对任意的若只有有限项.这就是说,B不是的聚点,故仅有一个聚点A,从而那么在内(此时必取反之,若上式成立,则的聚点惟一(设为A),精选课件一的假设相矛盾.另一聚点,导致与聚点惟性定理,这无限多项必有的无限多项.由致密之外含有使得在倘若不然,则存在此时易证精选课件定理7.7设为有界数列,则有的充要条件是:对于任意的(i)存在N,当n>N时,的充要条件是:对于任意的(i)存在N,当n>N时,证在形式上是对称的,所以仅证明.精选课件必要性设因为A是的一个聚点,使得所以存在故对于任意的存在当k>K时，将中的前面K项剔除,这样就证明了(ii).上,至多只含的有限项.不然的话,因为有界,故在上还有聚点,这与A是最大聚点相矛盾.设这有限项又因A是的最大聚点,所以对上述在区间,e精选课件的最大下标为N,那么当n>N时,充分性任给综合(i)和(ii),在上含有{xn}的无限项,即A是{xn}的聚点.而对于任意的这说明在精选课件定理7.8(保不等式性)设{xn},{yn}均为有界数{xn}的有限项,故

不是{xn}的上也至多只有从而有聚点,所以

A是的最大聚点.列,并且满足:存在当n>N0时,

有则取上(下)极限后,原来的不等号方向保持不变:精选课件证设因为B是{yn}的聚点,所以存在,特别若则更有故存在的一个收敛子列,(3)(4)精选课件同理可证关于上极限的不等式;而(4)式则可由又因(1)与(3)式直接推得.的最小聚点

A理应满足的聚点,

它与也是.由于的极限,便得取精选课件证这里只证明(i),(ii)可同理证明.设由定理7.7,存在N,当n>N时,(5)(6)例1都是有界数列,那么设精选课件再由定理7.8的(4)式,得因为是任意的,故注这里严格不等的情形确实会发生,例如故精选课件例2设,且求证的全体聚点的集合为证设E是的全体聚点的集合,显然有内仅含的有限项:在任给,欲证如若不然,则存在精选课件之内.又因所以存在这就是说,当时,所有的均不在当

n>K时,由(7)导致所有的或者都有或者都有前者与B是的聚点矛盾;后者与A是精选课件的聚点矛盾.故证得,即