信号与系统 拉普拉斯变换

第四章拉普拉斯变换

u1整理ppt优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。2整理ppt本章内容及学习方法

本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据它们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统稳定性问题。注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。3整理ppt一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换则1．拉普拉斯正变换4整理ppt2．拉氏逆变换5整理ppt3．拉氏变换对6整理ppt二．拉氏变换的收敛

收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；7整理pptu部分s平面收敛的情况：8整理pptu9整理ppt10整理ppt例4时限信号的拉氏变换(如门信号)。整个s平面收敛的情况：这里只要不是无穷大，上式的分子就不等于无穷大，拉氏变换就存在。故其收敛域为整个s平面。例5下列信号的拉氏变换：

，故在整个s平面都不收敛。整个s平面都不收敛的情况：11整理pptuuuuuu:12整理ppt13整理ppt一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。14整理ppt三．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛3.单位冲激信号15整理ppt4．tnu(t)16整理ppt5.复指数函数17整理ppt4.3

拉氏变换的基本性质u18整理pptuuuuuu19整理ppt“周期信号”的拉氏变换第一周期的拉氏变换时移特性无穷级数求和20整理ppt时移特性例题【例1】已知【例2】21整理ppt用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换22整理ppt23整理ppt复频移特性举例24整理ppt25整理ppt例：两边取拉氏变换：整理得：26整理ppt电感元件的s域模型电感元件的s模型应用原函数微分性质设27整理ppt28整理ppt电容元件的s域模型电容元件的s模型29整理ppt30整理ppt31整理ppt32整理ppt初值定理33整理ppt终值存在的条件:证明：根据初值定理证明时得到的公式终值定理34整理ppt初值定理举例

即单位阶跃信号的初始值为1。例2例135整理ppt4.4

拉普拉斯逆变换

由象函数求原函数的三种方法部分分式法求拉氏逆变换两种特殊情况36整理pptF(s)的一般形式ai,bi为实数，m,n为正整数。分解零点极点37整理ppt拉氏逆变换的过程38整理ppt部分分式展开法(m<n)1.第一种情况：单阶实数极点2.第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重根存在39整理ppt第一种情况：单阶实数极点(1)找极点(2)展成部分分式(3)逆变换求系数40整理ppt如何求系数k1,k2,k3``````？41整理ppt第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在42整理ppt求f(t)43整理ppt例题44整理pptF(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法求下示函数F(s)的逆变换f(t)：解：求得另一种方法45整理ppt3.第三种情况：有重根存在如何求k2?46整理ppt如何求k2?设法使部分分式只保留k2，其他分式为047整理ppt逆变换48整理ppt一般情况求k11，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式49整理pptF(s)的两种特殊情况非真分式——

化为真分式＋多项式50整理ppt1.非真分式——真分式＋多项式作长除法51整理ppt2.含e-s的非有理式52整理ppt2*.已知某LTI系统的微分方程为若输入，，，求该系统的零状态响应、零状态响应及全响应。系统频域分析课堂练习：1.已知某LTI系统的阶跃响应，若输入，求该系统的零状态响应。53整理ppt4.5

用拉氏变换法分析电路、s域元件模型主要内容：

用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤微分方程的拉氏变换利用元件的s域模型分析求解瞬态电路54整理ppt一、用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤列s域方程(可以从两方面入手)

列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换直接按电路的s域模型建立代数方程求解s域方程，得到时域解答55整理ppt二、微分方程的拉氏变换

若采用0-系统，求拉氏变换时减去的是信号在0-时刻的值；若采用0+系统，求拉氏变换时减去的是信号在0+时刻的值。56整理ppt例4-4电路在t=0时开关闭合，求输出信号Vc(t)。两边取拉氏变换：列写微分方程：解得：求拉氏反变换：RCESVc(t)++--i(t)57整理ppt1358整理ppt59整理ppt60整理ppt61整理ppt结论：分析电路时，采用0-系统求解瞬态电路更为简便，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件起始状态，求出元件的s域模型。62整理ppt三、利用元件的s域模型分析瞬态电路求响应的步骤：画0-等效电路，求起始状态；电路元件的s域模型→电路的s域等效模型；采用KVL和KCL，列出s域方程(代数方程)；解s域方程，求出响应的拉氏变换U(s)或I(s)；拉氏反变换求u(t)或i(t)。63整理ppt元件的s域模型：64整理ppt65整理ppt

以上是电路定理的推广，对于线性稳态电路分析的各种方法都适用。66整理ppt【例4-5-1】如图所示，t<0开关S处于1的位置而且已经达到稳态；当t=0时,S由1转向2。＋－RCe(t)=-Ee(t)=E＋－ic(t)i(t)S2167整理ppt5-2168整理ppt69整理ppt70整理ppt71整理ppt例4-5-272整理ppt（4）求反变换73整理ppt求采用0-系统采用0+系统两种方法结果一致。使用0-系统使分析各过程简化。74整理ppt(3)对微分方程两边取拉氏变换采用0-系统75整理ppt采用0+系统(4)原方程取拉氏变换76整理ppt4.6

系统函数77整理ppt78整理ppt79整理ppt80整理ppt81整理ppt82整理ppt83整理ppt84整理ppt85整理ppt系统函数课堂练习：

某级联系统如下图所示，已知，

，，试求、、级联系统的系统函数及单位冲激响应。86整理ppt4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性

冲激响应h(t)与系统函数H(s)

从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。

在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。主要优点：1．可以预言系统的时域特性2．便于划分系统的各个分量(自由/强迫，瞬态/稳态)3．可以用来说明系统的正弦稳态特性87整理ppt在s平面上，画出H(s)的零极点图：

极点：用×表示，零点：用○表示1．系统函数的零、极点H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应88整理ppt89整理ppt90整理ppt91整理ppt92整理ppt极点在左半平面见教材P223结论93整理ppt94整理ppt瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着t增大，将消失。稳态响应＝完全响应－瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。22595整理ppt例4-7-2，教材习题2-6(1)给定系统微分方程试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。解：方程两端取拉氏变换96整理ppt零输入响应／零状态响应则

97整理ppt稳态响应／暂态响应，自由响应／强迫响应极点位于虚轴暂态响应稳态响应H(s)的极点E(s)的极点自由响应强迫响应极点位于s左半平面教材P22798整理ppt4.8

由系统函数零、极点分布决定频域特性99整理pptH(s)和频响特性的关系频响特性系统的稳态响应——幅频特性——相频特性（相移特性）虚轴上的拉氏变换就是傅氏变换100整理ppt几种常见的滤波器101整理ppt102整理ppt103整理ppt104整理ppt讨论H(s)的几点位于s平面实轴的情况一阶系统只含有一类储能元件。转移函数仅一个极点且位于实轴，一般形式为或。二阶系统只含有两类储能元件。转移函数的两个极点都位于实轴。重点讨论105整理ppt例4-8-1确定图示系统的频响特性。106整理ppt频响特性分析X高通滤波器的截止频率点107整理ppt例4-8-2研究右图所示RC低通滤波网络的频响特性。写出网络转移函数表达式:108整理ppt频响特性

109整理ppt4.11

线性系统的稳定性一个稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励情况无关系统冲激响应和系统函数能表征系统的稳定性110整理ppt可忽略111整理ppt112整理ppt113整理ppt114整理ppt115整理ppt116整理ppt117整理ppt极点均在左半开平面118整理ppt119整理ppt120整理ppt4.13

拉氏变换和傅氏变换的关系s的实部121整理ppt122整理ppt123整理ppt124整理ppt125整理ppt126整理ppt29，求其傅氏变换。127整理ppt以上两种方法的结果完全相同128整理ppt129整理ppt130整理ppt30131整理ppt132整理ppt电路s域分析课堂练习1：

求解下图所示电路的回路电流，已知电感上的初始储能为，激励信号，