金融时间序列模型

金融时间序列模型第五章：波动率的估计金融时间序列模型ARCH模型概念波动率模型金融衍生市场，计算期权等衍生工具的价格需要了解股票的波动率金融风险管理,度量金融风险的大小，计算VaR。期权基本概念期权：option买权（calloption）卖权（putoption）执行价格（X)到期时间(T)股票价格St期权价格:买权Ct(St,X,T)卖权Pt(St,X,T)Black-Scholes模型基于不分红的股票的买权的价格公式卖权的价格可以通过下面的公式计算

P=Xe-rTN(-d2)-SN(-d1)从上面计算期权的公式可知，只有波动率是未知的，一个波动率与期权价格一一对应。估计波动率的几种方法历史波动率HistoricalVolatility滑动平均movingaverage指数加权滑动平均ExponentiallyWeightedMovingAverages隐含波动率ImpliedVolatility实现的波动率realizedvolatility自回归条件异方差类模型数据以上证日收益率为例

r1,r2,r3,…,rT实际波动率计算公式波动率年度化

*2501/2*100%历史波动率的估计历史波动率滑动平均波动率滑动平均滑动平均波动率30，60，120，240天滑动平均滑动平均波动率30天与240天滑动平均波动率－关于n的选择n越大，曲线越平滑，n越小曲线越不平滑；如果市场没有什么异常变换，n的选择对波动率预测影响不大；n大时如果在某个时刻收益率出现异常，那么计算的波动率就会在今后一段时间都大，持续的时间长度是n的大小；如果想预测今后n天的波动率，就使用n期滑动。指数滑动平均(EWMA)计算公式等价于如下形式指数滑动平均可以选择的范围是0.25~0.02之间。如果使用EWMA模型进行短期预测选择较大的，否则选择较小的。指数滑动平均计算结果隐含波动率隐含波动率（impliedvolatility)：根据Black-Scholes定价公式其他数据已知时，计算波动率隐含波动率根据Black-Scholes定价公式，期权价格与波动率单调递增关系。即波动率增加，期权价格增加。通过猜测波动率，如果波动率带入计算的期权价格大于交易价格，则减少波动率；否则增加波动率。可以根据一个期权的价格计算出一个波动率值。一般选择基于同一个标底资产的多种期权，使用非线性最小二乘法估计未知参数波动率实现的波动率使用日内数据计算样本方差做为一天内波动率的估计。假设一天内收集到价格计算日内收益率实际波动率估计公式：用计算出的实际波动率来建立AR模型对未来波动率进行预测自回归条件异方差几个主要的自回归条件异方差模型Engle(1982)ARCHBollerslev(1986)GARCHNelson(1991)EGARCHGJR-TARCHARCH-MARCH(q)Vt是独立白噪声过程0>0,j

0,j=1,…q,1+2+…+q<1ARCH过程{t}是ARCH(1)过程ARCH过程的性质该过程表明,如果t-1异常的偏离他的条件期望0,那么t的条件方差要比通常情况下大,所以有理由预期t会比较大.这样使得比较大,反之,如果t-1异常的小,那么条件方差要比通常情况下小,所以有理由预期t会比较小.这样使得比较小.虽然方差大或小会持续一端时间,但是不会一直持续下去,会回到无条件方差上去.ARCH过程缺点总结不能反应波动率的非对称特点约束强，要求系数非负，如果要求高阶矩存在，还有更多的约束不能解释为什么存在异方差，只是描述了条件异方差的行为。金融时间序列模型建立ARCH模型建立ARCH模型1）建立收益率序列的计量模型，去掉任何线性关系，使用估计的残差检验ARCH效果2）估计模型3）检验ARCH模型，根据情况修改模型。建立模型1）建立一个计量模型ARCH过程最常见的应用是首先对收益率建立一个AR模型：该方程被称为均值方程

建立模型ARCH过程的平方是AR过程建立模型检验残差是否存在条件异方差观察残差平方的偏自相关函数，如果q步截尾，则阶数为q对残差平方使用Q检验，判断是否存在自相关使用LM检验法LM检验零假设H0：i=0，

i=1,2,…,q，即不存在条件异方差性

检验统计量：

LM=TR2,T是样本点个数,LM服从2(q)分布

建立模型如果残差存在ARCH效果，对残差建立ARCH模型，ARCH模型被称为方差方程。整体模型可以称为AR-ARCH模型使用极大似然估计法估计AR-ARCH模型：建立模型检验模型计算标准化后的残差{et/ht1/2}，根据定义应该独立同分布使用Q-检验法检验{et/ht1/2}是否有自相关使用Q－检验法检验{e2t/ht}是否有自相关预测条件方差条件方差等于ARCH模型对条件方差的预测金融时间序列模型其它ARCH类模型GARCH（p,q）

广义条件异方差模型GARCH(1,1)GARCH性质1)当p=0时,成为ARCH过程,ARCH过程是GARCH的特例，这也是该过程被称为广义的原因。2)GARCH过程的含义是条件方差ht是ht-1,…ht-p和

t-1,t-q的函数。3）参数i,i=1,2,…,q和i,i=1,2,…,p大于零是保证条件方差为正的充分条件,而不是必要条件。4){2t}平稳的条件是1+…+q+1+…+p<1，这时{t}也是宽平稳的。如果1+…+p+1+…+p=1则{t}过程被称为I--GARCH过程。这时条件方差的特点，或者说波动性的特点为很强的持续性。

GARCH预测GARCH(1,1)的预测公式

ARMA和GARCH过程的比较性质髙斯白噪声ARMAGARCHARMA-GARCH条件均值条件方差条件分布边际均值和方差边际分布常数常数正态常数正态非常数常数正态常数正态0非常数正态常数厚尾非常数非常数正态常数厚尾GJR模型反映波动率的非对称性S-1是虚拟变量，如果t-1<0，则S-1取值为1，如果t-10则S-1取值为0。通过画出响应曲线，看到市场利空和利好消息对波动率的不同影响

GJR模型响应曲线EGARCH

指数广义条件异方差模型>0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负扰动要大；<0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负扰动要小;=0同等程度的正扰动引起条件方差的变化与负扰动相等。

EGARCH模型1）重要特征是引入不对称性2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后的条件方差建模，，可以保证方差为对数。3）可以假设t~广义误差分布4）假设vt是正态分布时E(|vt|)=(2/)1/2ARCH-M模型g()是条件方差的函数通常是ht

，lnht

例1

研究台湾新台币/美圆汇率。即1美圆=------台币。

数据区间1994：11，16——1995：3，8，每5分钟记录一次，共1341个样本点。问题：汇率是否是可预测的？汇率市场是否是不对称的？是否风险越大，要求的收益率越大？例1要回答问题1，需要采用AR模型，检验是否是一个随机游动；回答问题2和3要用到EGARCH模型；问题4用到ARCH-M模型。所以采用AR-EGARCH-M例1首先介绍一些符号用St表示汇率。Rt=(lnSt-lnSt-1)*100是汇率的收益率

00.0080.068H0:0=01-0.625-3.479*H0:1=02-0.1079-4.965*H0:2=03-0.1055-5.37*H0:3=0-0.0048-1.916*H0:=010.959463.266*H0:1=0-0.3766-1.6553H0:=000.2912-3.291*H0:0=010.1196-2.683*H0:1=0例1如何利用模型解决问题？

汇率是否是可预测的？

H0：

1=0，2=0，3=0

汇率市场是否是不对称的？

H0:=0

是否风险越大，要求的收益率越大

H0:=0金融时间序列模型风险价值ValueatRisk案例企业汇率风险利率风险商品价格金融业利率风险银行混业经营衍生工具的使用市场风险

市场风险：由于资产的市场价格变化引起的损失的可能性

类型：根据引发市场风险的不同因素，分为利率风险，汇率风险，股市风险和商品价格风险市场风险重要的原因金融市场波动增加

1973年布林顿森林体系崩溃

1979年货币政策的控制目标由利率转向货币供给量

80年代两次石油危机高通货膨胀率导致其他数据变化加剧市场波动增加的原因全球经济一体化导致风险在各个国际传递增速金融管制放松，竞争加剧，市场环境变化大技术进步，交易速度，交易量，交易品种大大增加金融创新和衍生产品增长1995巴林破产事件案例Barings银行破产1995年2月26日，233年历史的巴林银行破产新加坡期货负责人28岁的里客.尼森，2个月的时间损失13亿美元，耗尽巴林银行的股本里客.尼森被判入狱6年半您的位置：世界经理人

>商业评论2>十二月专题

>巴林银行丑闻重演谁是中航油的里森2004年谁是中航油的里森？中航油事件中国航油(新加坡)股份有限公司，因从事石油期货合约交易亏损5.5亿美元。这一被称为当年巴林银行丑闻重演的事件，在当地和国际市场引起震惊。面对如此巨大的风险，一定要有严格的内部控制和外部监管机制。中航油内部规定，如果每笔交易损失超过35万美元，应该报告公司最高层，如果每笔交易的损失达到50万美元，则应立即中止交易，以控制风险通过杠杆效应进一步扩大。但不知为什么这一机制最终失灵了。新加坡交易所的外部监管，也饱受国际投资者的批评。为了扩大交易量，与周边城市争夺金融中心位置，新加坡交易所近年来吸引了亚洲一些国家的“二级(second-tier)公司”，可能有意无意间放松了监管。金融市场风险管理过程风险识别风险度量风险处理风险管理效果的评估和调整风险价值概念金融机构通常这样描述：风险价值是一定数额的货币，是对未来的可能损失的估计。例如某银行宣布，“在99%的置信水平下，一天内他的资产的VaR是350万元”具体说是这样一个数额的货币，预期一个交易日后，损失超过该数额货币的可能性是1%P(损失>VaR)=，是显著水平P(损失<VaR)=1-，1－是置信水平

风险价值概念要素：置信水平99%－90％；时间长度：一天－一月；损失：用绝对损失或比率风险价值概念置信水平BrankersTrust置信水平99％Chemicalandchase置信水平97.5％Citibank置信水平95.4%BankAmericaandJ.P.Morgan置信水平95%BasleCommittee置信水平99%

风险价值概念时间长度BalseCommittee10-dayCommercialbanks1-dayPensionfunds1-month资产组合损失的可能取值损失的概率密度1％风险价值的应用风险报告风险资本的分配资产组合投资管理监管机构监管资本配置风险资本：金融机构保留部分资本，用来弥补可能的损失，来保证正常运营。资本配置：资本包括风险资本和投资资本。首先根据各种条件，确定风险资本的大小和在各部门如何分配，然后再根据风险资本的分配来分配投资资本。根据绩效来分配风险资本资本配置绩效评估回报的标准风险的标准风险调整回报的标准EABDBDBCECDCAEA单纯按照收益率投资E最高，单纯按照风险投资A风险最低，经过风险调整的收益率排序投资B最好。经过风险调整的收益指标Sharp：Sharp准则适用情况是资产与组合中其它资产不相关。例如资产A的sharp比率不如资产B高，但是资产A和资产组合中其它资产负相关，加入资产A可以降低整体组合的风险，而资产B与组合其它资产正相关，加入资产B，会增加组合的风险。经过风险调整的收益指标RAROC=R/VaR描述了单位资本损失获得的收益。缺陷会导致过度谨慎。因为VaR=0时，RAROC趋于无穷。资本配置机构整体风险资本的确定K=d*VaR/破产概率显著水平MAX{K,监管要求的资本充足性}风险资本和投资资本配置可投资资本的分配机构ABC总数根据绩效确定风险资本5146124221各部门与总体的相关性0.570.240.90分散化后风险资本2911112152分散化的百分比19.17.473.5100可投资资本分配191747351000金融监管－资本充足性1988年因为第三世界债务危机巴赛尔协议出台－针对违约风险，要求资本准备金1996年“资本协议市场风险补充规定”－根据市场风险缴纳资本准备金1996年欧盟确定“资本充足性指标”根据VaR模型计算1995年美联储对银行要求资本充足性按照“事前承诺模型”计算金融监管－资本充足性巴赛尔的内部模型法建模要求99％置信水平，10天市场参数至少3个月换一次监管部门可以使用标准化模型资本充足率K的选择，根据1年内实际损失大于VaR的次数绿灯4353.463.5黄灯73.6583.7593.85红灯104风险价值度量方法历史模拟法方差－协方差法风险价值计算原理初始投资额W0持有期末投资资产的价值W持有期的收益率RW=W0(1+R)置信水平1－下，最低的价值（最小的收益率）W*=W0(1+R*)VaR=W0-W*=-W0R*估计VaR-单个股票资产的历史模拟法假设有n个收益率第K个最小的收益率K=n*VaR=-S*R(K)如果K不是整数历史模拟法例2：有6329个样本值，估计5％VaR第一步：由小到大，排序r(1)<r(2)<…<r(6329)第二步：计算KK=6329*0.05=316.45不是整数，与它最接近的两个整数是316<K<317历史模拟法与316对应的概率为p1=316/6329；与317对应的概率为p2=317/6329r(316)=-4.237%;r(317)=-4.22%带入前面的公式x(0.05)=0.55r(316)+0.45r(317)=-4.229%假设初始投资100万，VaR=-100*(-4.229%)=42290元方差－协方差法假设一个管理者有一个资产组合，该组合只有一种金融资产。假设该资产的收益率服从正态分布，均值20％，标准差30％，当前该组合的价值为100(MILLION)

风险价值的计算1）一年后该资产的价值的分布2）一年后损失超过20M的概率有多大，或者说一年后资产价值小于80M的概率有多大3）1％的概率下的最大损失？即VaR

一年后资产价格的分布一年以后资产价值P1=P0(1+R)分布是正态分布均值＝P0(1+0.2)=1.2*100=120M标准差＝P0*0.3=100*0.3=30MP1~N(120,302)问题2损失超过20M,P0-P1>20即P1小于80M的概率p（P1<80）=p(Z<[(80-120)/30])=p(Z<-1.333)=9.12%问题3p(P0-P1<VaR)=1-1%P(-P0*R<VaR)=1-1%p(R>VaR/-P0)=1-1%p(R<VaR/-P0)=1%P(z<?)=1%----?=-2.33,?=单个股票资产的VaR与对应的标准正态分布的分位数当＝0.05时，＝－1.65当＝0.01时，＝－2.33与对应的收益率的分位数S表示股票的现值风险价值＝J.P.MORGAN的RiskMetricsTM

使用连续日收益率rt

假设日收益率的条件分布是正态分布rt|Ft-1~N(t,t2)并且近一步假设t＝0，

t2＝

t－12＋（1－）r2t－1，1>>0,02等于样本方差

J.P.MORGAN的RiskMetricsTM该方法的简单之处在于容易计算多期收益率，计算t+1到t+k的收益率等于rt+1[k]=rt+1+…+rt+k容易证明

rt+1[k]~N(0,kt+12),其中

t+12=t2＋（1－）r2t

J.P.MORGAN的RiskMetricsTM5%显著水平下，一天内的风险价值VaR=资产的当前价值*1.65*t+15%显著水平下，K天内的风险价值VaR(K)=资产的当前价值*1.65*t+1*K1/2VaR(K)=K1/2*VaR

例3：AR-GARCH模型假设建立模型如下rt=0.00055-0.0246rt-1+tt＝

vtht=0.00000289+0.91ht-1+0.06992t-1例3假设共有1190个数据r1189=－0.00201，r1190=－0.0128，h1190=0.00033455一步预测r1190(1)=0.0008651190=r1190-0.00055+0.0246r1189=-0.001699h1190(1)=0.0002953例35%显著水平下，一天的风险价值为10，000，000×[0.000865－1.65*]=-279770计算15天的风险价值，假设现在是时刻T,15天后的可能损失是多少例3从T到T+15的收益率的预测等于模型对收益率的一步预测加二步预测一直加到15步预测r[15]=r9190(1)+…+r9190(15)对波动率的预测也等于模型中对条件波动率的一步预测到15步预测之和

失败检验法检验实际损失超过VaR的概率。假设计算VaR的置信水平是0.95，实际考察天数是T,实际失败天数是N，失败频率是p=N/T，零假设：p=0.05Kupiec给出了下表。假设使用一年的数据T=255，风险价值在5％的显著水平上，观测到损失超过该风险价值的次数是255*0.05=13，但是只要在区间（6，21）内，在5％的显著水平上，就不能拒绝零假设。VaR模型的评价，5％水平下的失败次数概率水平T=255T=510T=10000.01N<71<N<114<N<170.0252<N<126<N<2115<N<360.056<N<2116<N<3637<N<650.07511<N<2827<N<5159<N<920.116<N<3638<N<6581<N<120VaR置信区间使用非参数方法假设包括n个收益率，根据历史模拟的方法估计第m次抽样的VaR＝-S