自动控制原理32备课讲稿

自动控制原理32

例如右图中R-Ｌ-Ｃ电路，其传递函数为

式中，无阻尼自然振荡频率

阻尼比

由式(3.11)描述的系统特征方程为

(3.12)这是一个二阶的代数方程，故有两个特征方程根，分别为

(3.13)显然，阻尼比不同，特征根就不同。1.当0<ξ<1时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根。系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。(如图a)2.当ξ=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态。（如图b）3.当ξ>1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。（如图c）

下面，分别研究过阻尼、临界阻尼和欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应。4.当ξ=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。（如图d）

1.0<z<1，称为欠阻尼情况按式(3.11)，系统传递函数可写为

GB(s)=(3.17)

它有一对共轭复数根(3.18)

式中称为有阻尼振荡频率。（二）二阶系统的阶跃响应

在初始条件为零，输入信号为单位阶跃信号r(t)=1(t)时，系统输出的拉氏变换为

(3.19)

对式(3.19)求拉氏反变换，则得系统的单位阶跃响应c(t)：

(3.20)

它是一衰减的振荡过程，如图3-11所示，其振荡频率就是有阻尼振荡频率wd，而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）衰减，两者均由参数z和wn决定。

(a)根分布(b)单位阶跃响应图3-11欠阻尼情况(0<z<1)

系统的误差则为

(3.21)

当t→∞时，稳态误差e(∞)＝０。若z=０，称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭虚根，即(3.22)

此时单位阶跃响应为(3.23)

它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率wn

。当系统有一定阻尼时，wd总是小于wn

。s1,2=±jwn

2.z=１，称为临界阻尼情况此时系统有两个相等的实数特征根：

s1=s2=-wn(3.24)

系统输出的拉氏变换为

(3.25)

取C(s)的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为

(3.26)

(a)根分布(b)单位阶跃响应图3-12临界阻尼情况(z＝1)

响应曲线如图3-12所示，它既无超调，也无振荡，是一个单调的响应过程。3.z

＞１，称为过阻尼情况

当阻尼比z

＞１时，系统有两个不相等的实数根：

(3.27)

对于单位阶跃输入，C(s)为

(3.28)

将此式进行拉氏反变换，从而求得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应为

(3.29)

图3-13表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。显然响应曲线无超调，而且过程拖得比z=１时来得长。

(a)根分布(b)单位阶跃响应图3-13过阻尼情况(z>1)

根据以上分析，可得不同z值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族,如图3-14所示。由图可见，在一定z值下,欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳态值，所以一般系统大多设计成欠阻尼系统。

图3-14二阶系统单位阶跃响应

（三）二阶系统的动态性能指标

通常，工程实际中往往习惯把二阶系统调整为欠阻尼过程，因为此时系统的响应较快，且平稳性也较好。

对于单位阶跃输入作用下的欠阻尼系统，有：

1.上升时间tr

按式(3.20)，令c(tr)=1，就可求得

由于，所以

因此

(3.35)

式中

(3.36)

由式(3.35)可见，要使系统反应快，必须减小tr。因此当z一定，wn必须加大；若wn为固定值，则z越小，tr也越小。

2.峰值时间tp

按式(3.20)，对c(t)求一阶导数，并令其为零，可得到

到达第一个峰值时

wdtp=p

所以

(3.37)

上式表明，峰值时间tp与有阻尼振荡频率wd成反比。当wn一定,z越小，tp也越小。3.最大超调量sp

以t=tp代入式(3.20)，可得到最大百分比超调量

(3.38)

由上式可见，最大百分比超调量完全由z决定，z越小，超调量越大。当z=０时，sp%=100%，当z=１时，sp%=０。sp与z的关系曲线见图3-16。图3-16sp与z的关系

4.调节时间ts

根据定义可以求出调节时间ts，如图3-17所示。图中T=1/zwn

，为c(t)包络曲线的时间常数，在z=0.69(或0.77)，ts有最小值，以后ts随z的增大而近乎线性地上升。图3-17中曲线的不连续性是由于在z虚线附近稍微变化会引起ts突变造成的，如图3-18所示。

ts也可由式(3.21)的包络线近似求得，即令e(t)的幅值

或0.02(3.39)图3-17ts与z

的关系图3-18z稍微突变引起的ts突变当０＜z

＜0.8时，则

(按到达稳态值的95%~105%计)或(按到达稳态值的98%~102%计)

由此可见,z

wn大，ts就小，当wn一定，则ts与z成反比，这与tp，tr与z的关系正好相反。根据以上分析，如何选取z和wn来满足系统设计要求，总结几点如下：