行列式的计算方法

行列式的计算方法

行列式是高等代数中一个重要的研究对象，行列式的理论起源于解线性方程组，时至今日行列式不仅是求解线性方程组的有力工具，而且在求逆矩阵、求矩阵的秩、判断二次型的正定与负定、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值、坐标变换、多重积分中的变脸替换等方面都有广泛的应用。然而这些应用最终都离不开行列式的计算，他是行列式理论中的一个重要问题。因此这节重点讨论行列式的计算方法，总结归纳各类常用方法，一边从理论和技巧上更好地发挥它的作用。行列式常用的计算方法1.定义法

应用阶行列式的定义来计算或证明的方法，称为定义法。例1

证明1989阶行列式

证明当时，相应项含有1989的幂，此项为奇数，而其余诸项均含有1990的幂，因此这些项都是偶数，所以是个奇数，故由行列式定义知例2设其中证明证明而由行列式的定义例3由行列式的定义证明：证明行列式的一般项可表成列标只能在1,2,34,5中取不同的值，故三个下标中至少有一个要取3,4,5中之一数，从而任一项至少要包含一个0为因子，所以任一项必为零，即行列式=0.由行列式定义，说明例4设其中是互不相同的数.是一个次多项式解在行列式中，只有第一行含有故含

的只有一项，其系数是范德蒙德行列式中一切取自不同行不同列个元素的乘积，其符号为即的系数是的值，由于是一个范德蒙德行列式，而互不相同，可知所以是一个次多项式.练习利用行列式的定义计算以下行列式：〔3〕〔1〕〔2〕证明2.三角形法

三角形法就是利用行列式的性质使其形变值不变，把原行列式化为上下三角形行列式来计算的一种方法，于是原行列式等于变换后的上下三角形行列式的主对角线元素之积。利用行列式的性质对其进行恒等变形时，经常用以下方法：〔1〕所有各行列加到同一行列；〔2〕把某一行列的倍数加到其余各行列；〔3〕逐行列相加。对于形如的所谓箭形行列式，可直接利用行列式的性质将其一条边化为零，从而化为三角或次三角行列式进行计算。例5计算行列式解原式例6如何来计算呢？计算行列式首先给第1行分别乘-7,-5,-3,分别加到第2,3,4行上,再交换第2,3两行的位置;给第二行分别乘以2,-3后,分别加到第3,4行上;最后给第3行乘1加到第4行即可。解例7将以下行列式化成三角形行列式进行计算解把第2、3列都加到第1列上，再把第3列乘-1加到第2列上，得原式=做一做将以下行列式化成三角形行列式进行计算〔1〕〔2〕假设一个行列式各行〔列〕的和相等，那么可以将这些行〔列〕加起来，取公因子后往往可以计算出行列式的值来，这种计算行列式的方法叫做行〔列〕和法。例8解3.行〔列〕和法计算阶行列式例9计算行列式解把第2、3列都加到第1列上，再提公因子得原式练一练〔1〕〔2〕怎么做简单呢？方法4

利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为较低阶行列式求解的方法叫做降阶法.它可以分为直接降阶法和递推降阶法直接降阶法用于只需经少量几次降阶就可求得行列式值的情况。递推降阶法用于需经屡次降阶才能求解，并且较低阶行列式与原行列式有相同结构的情况。

降阶法

例10〔1〕解

利用按行按列展开定理把原行列式按第1列展开降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式,故原行列式的值为求解以下行列式：例11解降阶后的行列式,第1个行列式与原行列式的结构相同,此行列式用Ｄn-1表示,而后一个行列式是三角形行列式,那么上式可表示为①把原行列式按第1列展开得把Dn-1

按同样的方法展开得②把②代入①中得

将代入

中得依次下去，得而④③想一想如何计算以下行列式解将第1行的〔-1〕倍加到第行，得原式例125.升阶法把阶行列式适当地添加行列，使得到的阶行列式与原行列式相等，而且升阶后的行列式易于计算，进而求出原阶行列式。此法也称加边法。升阶法常常用于一些“缺少〞某行〔列〕的行列式，加上适当的行〔列〕后反而可以简化问题。求行列式的值

行列式第1列有共同元素,第2列有共同元素,…,第共同元素.根据这些特点给原行列式加边得

给加边后的行列式的第1行乘==解列有加到第行上得例13计算阶行列式解将行列式升阶为利用行列式的性质可将一个行列式分解为两个或多个行列式之和〔或之积〕来计算，此法也可叫做分解之和〔积〕法。用这种方法计算行列式有时会收到很好的效果。求解行列式按第一列拆开,再提公因子得

再把第１个行列式按第３列展开，第２个行列式按第２列展开．最终得

6.分拆法例14解例15计算阶行列式解将关于第1列拆成2个行列式之和，再将这两个行列式按第2列拆成个行列式之和，如此进行下去，拆成个行列式之和。在这些行列式中，每个行列式都至少有两列相同或成比例，其值均为零，因此递推法的常用步骤是：按行或列展开行列式，使行列式降阶，比较原行列式和降阶后的行列式的一同，找出递推关系。如果降阶一次仍看不出关系，可再降一次试试。从递推式求一般式往往需要一定的技巧，数学归纳法也是一种常用的方法，本质上也是一种递推法。许多问题用数学归纳法证明往往比较简单，但它必须事先知道结论，因此有时可以先猜出结论，然后用归纳法证明它。计算阶行列式7.递推法和数学归纳法例16解对

转置同样有若解得假设，由递推得例17证明

证明当时，左边右边;当时，左边右边.假设对于一切阶数小于的行列式符号都成立，下证阶行列式的情形.记左边的阶行列式为，按最后一行展开，得由归纳假设可知，有所以8.提取因子法在含有文字变量〔单项式或多项式〕的行列式中，如果某个变量取某个特定值时行列式的值为零，那么该行列式必含有某个特定的因子。用这种方法常常可以巧妙地将行列式的值求出来