2021-2022学年河北省邯郸市武安实验中学高三数学理联考试卷含解析

2021-2022学年河北省邯郸市武安实验中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1、x2，方程f（x）=m有两个不同的实根x3、x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：等差数列的性质；函数的零点．专题：计算题．分析：由题意可知：x1=，x2=，且x3、x4只能分布在x1、x2的中间或两侧，下面分别求解并验证即可的答案．解答：解：由题意可知：x1=，x2=，且x3、x4只能分布在x1、x2的中间或两侧，若x3、x4只能分布在x1、x2的中间，则公差d==，故x3、x4分别为、，此时可求得m=cos=﹣；若x3、x4只能分布在x1、x2的两侧，则公差d==π，故x3、x4分别为、，不合题意．故选D点评：本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数，属中档题．2.已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为,离心率,则双曲线方程为（A）－=1

(B)

(C)

(D)参考答案：【标准答案】C【试题解析】，，所以【高考考点】双曲线的几何性质【易错提醒】消去参数【备考提示】圆锥曲线的几何性质是高考必考内容3.已知复数z=1+ai（a∈R）（i是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则a=（）A．2 B．﹣2 C． D．参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】依题意，由（1+ai）（1﹣ai）=1+a2=5可得a=±2，而1+ai在第四象限，从而可得答案．【解答】解：∵z=1+ai（a∈R）在复平面上表示的点在第四象限，∴a＜0，又z?=（1+ai）（1﹣ai）=1+a2=5，∴a=±2，而a＜0，∴a=﹣2，故选B．【点评】本题考查复数的代数运算，熟练利用共轭复数的性质是解决问题的突破口，属于基础题．4.等差数列的前n项和为，且9，3，成等比数列.若=3，则=(

)

A.7

B.8

C.12

D.

16参考答案：C因为9，3，成等比数列，所以，解得，所以等差数列为常数数列，所以。5.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,－7)的圆截直线所得弦长的最小值等于（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】因为圆心在弦AC的中垂线上，所以设圆心P坐标为（a，-2），再利用，求得，确定圆的方程.又直线过定点Q，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P为（a,-2），则r2＝，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q（-2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线被圆截得的弦长为．故选B．6.设

（

）

A．-1

B．1

C．-2

D．2

参考答案：B略7.已知函数在其定义域上单调递减，则函数的单调减区间是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.若角的终边在第二象限且经过点，则等于（）A． B． C． D．参考答案：B9.已知函数，则的零点所在的区间为（

）A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)参考答案：B10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C由三视图可知该几何体是由一个棱长为2的正方体（且在上半部分挖去一个半径为1的半球）和一个半圆柱（底面半径为1，母线长为2，且轴截面与正方体的一个侧面重合）则该几何体的表面积为．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为_______．参考答案：略12.设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出函数f（x）的最小值，利用导数法求出函数g（x）的最大值，利用最值关系进行求解即可．【解答】解：对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则等价为≤恒成立，f（x）==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号，即f（x）的最小值是2，由g（x）=，则g′（x）==，由g′（x）＞0得0＜x＜1，此时函数g（x）为增函数，由g′（x）＜0得x＞1，此时函数g（x）为减函数，即当x=1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1）=，则的最大值为=，则由≥，得2ek≥k+1，即k（2e﹣1）≥1，则，故答案为：．13.已知是函数的反函数，则.参考答案：由得，所以，即。14.在中，角A，B，C所对边分别为且，面积，则=

．

参考答案：5

：：∵，面积，∴，由余弦定理得，∴．

故答案为：5．15.设函数的定义域为，其中．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则在区间上的最大值与最小值的和为__

_．参考答案：或16.设单位向量，的夹角为，，则

.参考答案：17.已知双曲线的一条渐近线方程为，则

▲

．参考答案：渐近线方程为,所以

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分16分）已知函数，其中．（1）设函数在点，处取得极值，且．求证：①；②线段的中点在曲线上；（2）若，问：过原点且与曲线相切的两条直线是否垂直，并说明理由．参考答案：1）①依题意，，为方程的两个实根，而，，，

故在区间和内各有一个实根，

所以；

②由①得，，，

因为，

，

所以，

即证线段的中点在曲线上；

（2）过原点且与曲线相切的两条直线不垂直，理由如下：

设过曲线上一点的切线方程为：

，

因为切线过原点，所以，

又，

所以，

解得，或，

当时，切线的斜率为；当时，切线的斜率为；

因为，且，

所以两条切线斜率之积为：

，

所以过原点且与曲线相切的两条直线不垂直．

19.本小题满分13分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．参考答案：解：（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为

、，方差分别为

、，

则，

……1分

，

……2分

，

……4分

，

……6分由于，所以甲车间的产品的重量相对稳定；……7分（Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：

．………………9分设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A，则事件A共有4个结果：．

………………11分所以．

………………13分略20.已知椭圆过点，且焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点P（﹣2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点，如果|GA|=|GB|，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的性质，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线代入椭圆方程，由△＞0，求得k的取值范围，由|GA|=|GB|，则GM⊥AB，根据直线的斜率公式，即可求得k的值．【解答】解：（1）由2c=2，c=1，由a2=b2+c2=b2+1，则，解得：b2=1，a2=2，∴椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知设直线l的斜率为k，直线l的方程为y=k（x+2），，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），则x1+x2=﹣，x1x2=，则y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=，△=（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得：﹣＜k＜，则x0=﹣，y0=，由|GA|=|GB|，则GM⊥AB，则kGM===﹣，（k≠0），解得：k=或k=（舍），当k=0时，显然满足题意；∴直线l的方程为：y=（x+2）或y=0．21.已知椭圆的离心率为，且有一个顶点的坐标为．（Ⅰ）求该椭圆的的方程；（Ⅱ）如图，过点的直线交椭圆于两点，是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）由题意得，．所以椭圆的方程为．

----------------5分（Ⅱ）假设存在定点，使以为直径的圆恒过这个定点．当轴时，以为直径的圆的方程为．当轴时，以为直径的圆的方程为．解得这两个圆的交点坐标为，那么这个定点坐标为．----------------9分下证以为直径的圆恒过定点．设直线，代入，有.设，则.

----------------11分则，存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点.

----------------15分

22.已知函数.(Ⅰ)当时，求函数的单调区间和极值；(Ⅱ)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.参考答案：解析：(Ⅰ)易知，函数的定义域为.

………1分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当时，.

………3分当x变化时，和的值的变化情况如下表：

x（0,1）1（1，+∞）－0＋递减极小值递增………5分由上表可知，函数的单调递减区间是（0,1）、