高等数学91二重积分的概念与性质

第九章一元函数积分学多元函数积分学重积分第一节二重积分的概念与性质1解法:

类似定积分解决问题的思想:一、引例曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：

xoy

面上的闭区域d顶:

连续曲面侧面：以d

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,近似,求和,取极限”21)“分割”用任意曲线网把d分为n个小区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“近似”---以平代曲在每个3)“求和”则中任取一点小曲顶柱体34)“取极限”令4用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并任取一小区域，曲顶柱体的体积56二、二重积分的定义及可积性定义:将区域d

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数i,使可积,在d上的二重积分.记作是定义在有界区域d上的有界函数,7积分和积分域被积函数积分表达式面积元素8对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值(3)积分值和积分和的关系当被积函数既有小于零又有大于零时，二重积分是各部分柱体体积的代数和．9引例中曲顶柱体体积:如果在d上可积,也常二重积分记作这时分区域d,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作d10二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在d上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域

d上连续,则若有界函数在有界闭区域

d

上除去有11例如,在d:上二重积分存在;在d上二重积分不存在.12三、二重积分的性质(k

为常数)（二重积分与定积分有类似的性质）对区域具有可加性13为d的面积,则特别,由于则5.若在d上14６.（二重积分估值不等式）157.(二重积分的中值定理)证:

由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域d上为d的面积,则至少存在一点使使连续,因此16解17例2.估计

的值,其中d

为解:被积函数d的面积的最大值的最小值18例3.比较下列积分的大小:其中解:

积分域d的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域d位从而于直线的上方,故在d上19解d夹在两直线间20例5.估计下列积分之值解:

d

的面积为由于积分性质5即:1.96i2d218.设函数d位于x轴上方的部分为d1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在d上在闭区域上连续,域d关于x轴对称,则则有类似结果.22在第一象限部分,则有23四、特殊区域下曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底可表示为:［x－型］积分区域其中函数、在区间上连续.24应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法25任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的26同样,曲顶柱体的底可表示为［y－型］27则其体积可按如下两次积分计算这样我们就把二重积分转化成为了二次积分或累次积分.28内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法29被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.

比较下列积分值的大小关系:302.设d

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在d上有313.计算解:32p782，4(1)(4),5(2)(4)p951(1),8作业3