梁的横向强迫振动讲课教案

6.6梁的横向强迫(qiǎngpò)振动

第一页，共20页。1．主振型的正交性这里讨论简单边界的梁的主振型正交性，梁可以是变截面或非匀质的。重写式（6.117）如下：（6.117）（6.126）设、分别是对应于固有频率及的主振型，由上式有（6.127）（6.128）式（6.127）两边乘以并沿梁长对x积分(jīfēn)，有（6.129）利用分部积分(jīfēn)，上式左边可写为第二页，共20页。

由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以上式右边第一、二项等于零，成为（6.130）将式（6.130）代入（6.129），得（6.131）式（6.128）乘以并沿梁长对x积分，同样可得到(dédào)（6.132）式（6.131）与（6.132）相减后得（6.133）如果时有，由上式必有当（6.134）第三页，共20页。

式（6.134）即梁的主振型关于质量的正交性，再由（6.132）及（6.130）可得当（6.135）当（6.136）上面两式即梁的主振型关于刚度的正交性。当时，式（6.133）总能成立，令（6.137）（6.138）常数、分别称为(chēnɡwéi)第j阶主质量及第j阶主刚度，由式（6.132）得知它们有下列关系：（6.139）如果主振型中的常数按下列归一化条件来确定：（6.140）第四页，共20页。

则得到的主振型称为正则振型，这时相应的第j阶主刚度为。上式与（6.134）可合写为（6.141）由（6.135）、（6.136）及（6.138）则得（6.142）（6.143）2．梁横向振动(zhèndòng)的强迫响应重写梁的横向强迫振动(zhèndòng)方程（6.113）如下：（6.144）将梁的挠度按正则振型展开为如下的无穷级数：（6.145）第五页，共20页。

其中(qízhōng)是正则坐标，上式代入（6.144）后得上式两边乘以并沿梁长对x积分，有由正交性条件（6.141）与（6.143），上式成为（6.146）式（6.146）即第j个正则坐标方程，其中(qízhōng)（6.147）即第j个正则坐标的广义力，由分部积分上式还可写为（6.148）假定量的初始条件为（6.149）第六页，共20页。

将式（6.145）代入（6.149），有上面两式乘以并沿梁长对x积分，由正交性（6.141）得（6.150）式（6.150）即第j个正则(zhènɡzé)坐标的初始条件，于是式（6.146）的解为

（6.151）第七页，共20页。

将形如上式的各个正则坐标响应代入（6.145），即得到梁在初始条件下对任意激励的响应。若是零初始条件，梁对任意激励的响应则为（6.152）如果作用在梁上的载荷不是分布力及分布力矩，而是图6-13所示的集中力P（t）及集中力矩M（t），利用第一章介绍的函数，它们(tāmen)可表示为

（6.145）第八页，共20页。

（6.153）（6.154）上面两式代入（6.148）后得到下列正则坐标的广义力：（6.148）（6.155）上式也可以根据将（6.153）、（6.154）代入（6.147）并利用导数的筛选性质（见（1.76））而得出。于是，零初始条件下梁的响应为（6.156）现在来考虑等截面匀质梁对简谐激励的稳态响应，除了可用上述振型叠加法求解外，也可以用直接(zhíjiē)解法求。假设在梁上作用有下列简谐激振分布力：（6.157）第九页，共20页。

方程（6.114）可写为（6.158）其中，设梁的稳态响应(xiǎngyìng)为（6.159）代入（6.158）后得（6.160）其中，相应于上式的齐次方程通解形如式（6.120），非齐次特解可用如下方法得到，对上式两边作拉氏变换，得其中、分别是与的拉氏变换，由上式解出第十页，共20页。

已知的拉氏逆变换是，从而根据拉氏变换的卷积性质得到(dédào)非齐次特解为这样，方程（6.160）的通解为

（6.161）上式中的四个常数由两端的边界条件确定，将求出的代入（6.159），即得到(dédào)梁的稳态响应。第十一页，共20页。

例6.5如图6-14所示，一简支梁在其中点受到常力P作用(zuòyòng)而产生静变形，求当力P突然移去时梁的响应。解：由材料力学得知初始条件为第十二页，共20页。

其中为梁中央的静挠度(náodù)。从例6.3已知两端简支梁的固有频率及主振型为将主振型代入（6.140）的归一化条件，得（6.140）从而得知正则振型中的系数。由式（6.150）算出正则坐标的初始条件为（6.150）第十三页，共20页。

因没有(méiyǒu)激振力，正则广义力等于零，由式（6.151）得