计算声学第五章插值法

第五章插值法

在实际科学计算中常会出现这样的情况，由于函数的解析表达式过于复杂不便计算，但是需要计算多个点处的函数值；或者函数的解析表达式未知，仅知道它在区间内n+1个互异点处对应的函数值，需要构造一个简单函数作为函数的近似表达式，使得这类问题称为插值问题，称为插值函数。如果插值函数类是代数多项式，则相应的插值问题称为代数插值；如果是三角多项式，则相应插值问题称为三角插值。计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值代数插值定义：设在区间上有定义，且在上的n+1个不同点的函数值为，如果存在一个代数多项式，其中为实数，使得成立，则称为函数的插值多项式，点称为插值节点，包含插值节点的区间称为插值区间，关系式称为插值条件。求插值多项式的问题称为代数插值问题。计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值几何意义：计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值

几何意义为通过n+1个点做一条代数曲线，使其近似于曲线，利用上的点近似代替上的点。（用于对函数的离散数据建立简单的数学模型）余项：在区间上用近似，除了在插值节点处外，在区间其余点处一般都有误差。令，则称为插值多项式的余项，它表示用近似时产生的截断误差。一般情况下，越小，近似程度越好。计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值定理：在n+1个互异节点上满足插值条件的次数不高于n次的插值多项式存在且唯一。证明：如果插值多项式的系数可以被唯一确定，则该多项式存在并且唯一。由插值条件，插值多项式中的系数满足n+1阶线性方程组计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值方程组中未知量的系数行列式为范德蒙行列式因为插值点互不相同，即，所以，方程组有唯一解，即插值多项式存在并且唯一。计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值线性插值计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值定义：设函数在区间端点的值分别为，用线性函数来近似代替，确定参数，使 则称线性函数为的线性插值函数。几何意义：如图所示，利用通过两点和的直线去近似代替曲线。计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值由直线方程的两点式方程可求得的表达式为：记则都为的一次函数，并且具有下列性质我们把具有这种性质的函数称为线性插值基函数。计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值线性插值函数用基函数可以表示为上式说明，任何一个满足插值条件的线性插值函数都可由线性插值基函数的一个线性组合来表示。计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值定理：设在区间上连续，在内存在，是满足插值条件的插值多项式，则对任何，插值余项（截断误差）为其中，且依赖于。如果，则截断误差限是计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值抛物线插值计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值

设已知在三个不同点上的值分别为，做一个二次插值多项式，使其满足插值条件由于通过不在同一直线上的三点可做一条抛物线，所以称二次插值多项式为的抛物线插值函数。设二次插值多项式为（插值基函数的线性组合）计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值其中都是二次多项式，且满足已知，即是的两个零点，所以设其中为待定常数。由得到所以计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值同样求得所以上式又称为的二次拉格朗日插值多项式。计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值截断误差与截断误差限如果在区间上连续，在内存在，则用去近似的截断误差为其中，并且依赖于。如果，则截断误差限为计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值例：设，试分别应用线性插值和抛物线插值公式计算的近似值（13.2287565553……）。解：取，则对应的以为节点做线性插值以为节点做抛物线插值计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值由得到，所以计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值拉格朗日插值多项式设函数在节点处的函数值为，做一个n次插值多项式，并使在节点处满足则n次插值基函数，就是在n+1个节点上满足条件的n次多项式。计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值经过推导得出n次插值基函数显然满足插值条件，所以上面插值多项式就称为n次拉格朗日插值多项式。当时，分别为线性插值多项式和二次插值多项式。计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值罗尔定理：如果函数在上连续，内可导，并且，则至少存在一点，使得。截断误差：如果在区间上连续，在内存在，是n+1个节点，则用去近似所产生的截断误差为其中且依赖于，。计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值证明：由插值条件可以得到，即n+1个节点是的零点，所以设

其中是与有关的待定函数。为了求得，对区间上异于的任意一点，作辅助函数计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值将看作是异于节点的一个固定点，则上式满足（1），即在上有n+2个零点，分别为；（2）在内具有n+1阶导数，并且有由罗尔定理，在的两个零点之间至少存在一个的零点，所以在内至少有n+1个互异的零点。计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值反复应用罗尔定理，最后可以得到在内至少有一个零点，即所以由此得到计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值由于余项中含有因式如果插值点偏离插值节点比较远，则插值误差会比较大。如果插值点位于插值区间内，插值过程称为内插，否则称为外推。根据余项定理，外推是不可靠的。另外余项公式中有高阶导数项，就要求足够光滑否则误差可能会比较大。代数多项式是任意光滑的，原则上只适用于逼近光滑性好的函数。计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值例：已知在点的值由下表给出。试分别用线性插值与二次插值计算的近似值，并进行误差估计。解：取代入线性插值公式得1230.3678794410.1353352830.049787068计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值取代入二次插值公式得误差估计：

计算声学第五章插值法§1拉格朗日（Lagrange）插值课后题：1、当时，，求的二次插值多项式。2、已知函数的观察值如下：试求其拉格朗日插值多项式。01230123230-1计算声学第五章插值法§2分段低次插值高次插值中的问题一般来说，适当提高插值多项式的次数，会提高插值结果的准确程度。但是，提高插值多项式的次数，插值多项式会变得复杂，计算量加大。并且高次插值多项式往往具有数值不稳定的缺点，会产生高次插值不准确的龙格现象。所以当插值节点数n+1较大，特别是插值区间也较大时，通常不采用高次插值，而采用分段低次插值。常用的有分段线性插值和分段抛物线插值。分段低次插值的优点是公式简单，计算量小，且有较好的收敛性和稳定性，并且避免了计算机上作高次乘幂时常遇到的上溢和下溢。计算声学第五章插值法§2分段低次插值原因：(1)由拉格朗日插值多项式余项，当差值节点增加时，的变化可能会很大，那么可能很大；特别是当插值节点比较分散、插值区间较大时，也比较大，这样就造成了近似时的截断误差较大；(2)当n增大时，拉格朗日插值多项式次数增加，计算量急剧增大，这样就加大了计算过程中的舍入误差。

计算声学第五章插值法§2分段低次插值分段线性插值设在区间上有节点，函数在上述节点处的函数值为，连接相邻两点，得到一条折线函数，如果满足：（1）在区间上连续；（2）；（3）在每个子区间上是线性函数，则称折线函数为分段线性插值函数。计算声学第五章插值法§2分段低次插值

在每个子区间上可以表示为

从几何上讲，分段线性插值就是用一条过n+1个点的折线来近似表示。在整个区间上用基函数来表示可以写为计算声学第五章插值法§2分段低次插值分段抛物线插值分段抛物线插值就是把区间分成若干个子区间，在每个子区间上用抛物线去近似曲线，则用表示分段抛物线插值函数有下列性质：(1)在区间上是连续函数；(2)；(3)在每个子区间上，是次数不超过二次的多项式计算声学第五章插值法§2分段低次插值插值点选择：选择插值点的原则是尽可能在插值点的邻近。公式中i的取法归结为计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式

拉格朗日插值法有一个缺点，当有了新的数据，插值节点增加时，插值多项式需要重新构造和计算，之前的计算结果无法继续利用。从构造算法的一般原则来说，应设法充分利用已经获得和计算的数据信息。为了克服拉格朗日插值法的缺点，介绍牛顿插值多项式。它使用比较灵活，增加插值节点时，只是在原来的基础上增加部分计算量，原来的计算结果仍可继续利用，节约了计算时间。计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式差商的定义

已知函数在n+1互异节点处的函数值分别为，称为关于节点的一阶差商（平均变化率）。称为关于节点的二阶差商。

计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式

一般地，称为关于节点的阶差商。当时称为关于节点的零阶差商，记为由于所以即差商是微商的离散形式。

计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式差商性质：（1）函数关于节点的k阶差商可以表示为函数值的线性组合，即式中，如果，则其在的导数为计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式（2）差商与其所含节点的排列次序无关，即一般地，在k阶差商中，任意调换节点的次序，其值不变。（3）设在包含互异节点的闭区间上有n阶导数，则n阶差商与n阶导数之间有如下关系计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式差商计算：利用插商的递推定义，差商的计算可列表计算，如下表所示计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式牛顿插值多项式由高等代数理论可知，任何一个不高于n次的多项式，都可以表示成函数的线性组合。所以满足插值条件的拉格朗日插值多项式又可以表示为式中为待定系数。称这种n次插值多项式为牛顿（Newton）插值多项式，记作，即计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式由于满足插值条件，即，所以由，得同样可以求出其他系数。计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式有是n+1个节点，对于一般情况，设，则由差商定义计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式得到计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式将上式中第二式代入第一式式，得到式中可知是满足插值条件的线性插值多项式。而为线性插值的余项。计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式同样，将第三式代入得到式中是满足插值条件的二次插值多项式。而为二次插值的余项。计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式类似地将各式依次代入前式，最后可以得到其中为满足插值条件的n次插值多项式，通常称其为n次牛顿插值多项式。计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式与相比较，有而为牛顿型插值余项。

计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式

由于满足插值条件的插值多项式存在且唯一，所以有如果在上有n+1阶导数，则有即计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式容易看出，牛顿插值多项式具有递推性，即记为具有节点的牛顿插值多项式，则具有节点的牛顿插值多项式为上式说明，增加一个节点，只要在的基础上，增加计算即可。计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式例：已知一组观察数据如表，构造3次牛顿插值多项式。解：首先计算差商012312340-5-63一阶差商二阶差商三阶差商102-5-53-6-1243951计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式将计算得到的差商代入公式得到整理得到计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式例：给出的函数表求四次牛顿插值多项式，由此求并估计误差。解：选取最接近0.596的前5个节点，首先构造差商表0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.25382计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.888111.275730.358930.197330.901.026521.384100.433480.213000.031341.051.253821.515330.324930.228630.03126-0.00012计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式

当函数的表达式未知或函数的高阶导数比较复杂时，常用牛顿插值多项式余项但由于公式中的n+1阶差商的值与的值有关，因此不能准确计算，只能对其做出一种估计。计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式

当n+1阶差商变化不剧烈时，可用近似代替，即采用此法计算的误差，则有截断误差很小，可用忽略不计。计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式例：某处海洋不同深度水温如下表所示，试用牛顿插值公式求深度1000米处的水温，并估计误差。解：计算差商水深温度

（m）46671495014221634

（ºC）7.044.283.402.542.1304667.0417144.28-0.0111329503.40-0.0037290.00001529314222.54-0.0018220.000002693-0.416342.13-0.007934-0.000000163-0.0.893E-11计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式用三次牛顿插值多项式近似代替，得到计算声学第五章插值法§3差商与牛顿（Newton）插值多项式7、用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点的三次插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。8、利用函数表造出差商表，并利用牛顿插值公式计算在处的近似值（计算取5位小数）。1.6151.6341.7021.8281.9212.414502.464592.652713.030353.34066计算声学第五章插值法§4差分与等距节点插值公式

在实际应用中，常采用等距节点进行插值计算，这时插值公式可以进一步简化。由于插值节点等距分布，被插值函数的平均变化率与自变量的区间无关，差商可用差分代替。设被插值函数在等距节点上的值已知，其中称为步长，则分别称为被插值函数在处以为步长的向前差分和向后差分，符号分别称为向前差分算子和向后差分算子。计算声学第五