流体力学放映第3章流体运动学(3周)上课

流体运动学第三章1/14/20231用数学的方法描述流体的运动：空间点（固定观察点、欧拉法）、质点（拉格朗日法）由质量守恒定律和牛顿第二定律出发，建立研究理想流体运动的基本方程。1/14/20232基本概念1/14/20233流体运动学研究的内容1/14/20234§3—1流体运动的描述一、拉格朗日(Lagrange)法----质点系法二、欧拉（Euler)法---流场法三、流体质点的加速度§3—2描述流体运动一些基本概念（欧拉法）一、流动分类二、迹线、流线三、流管、流束、过流断面、元流、总流四、流量、断面平均流速§3—3连续性方程一、系统、控制体二、连续性微分方程三、连续性微分方程对总流的积分§3—4流体微团运动的基本形式一、流体微团运动分析二、微团运动的组成分析三、有旋流与无旋流学习内容1/14/20235理解欧拉法描述流体运动的有关概念掌握流体运动方程（连续性方程）理解有旋流和有势流学习重点1/14/20236参照系1/14/20237质点的运动学方程在一个选定的参考系中，当质点运动时，它的位置P（x,y,z）是按一定规律随时刻t而改变的，所以位置是t的函数，这个函数可表示为：x=x(t),y=y(t),z=z(t)它们叫做质点的运动学方程（kinematicalequation）1/14/20238坐标系1/14/20239平动用最常用的笛卡尔坐标------几何图形与代数方程结合起来即解析几何。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。1/14/2023101/14/2023111、流体运动学——研究流体机械运动的基本轨律及其在工程中的应用。不涉及任何力2、解决的问题——建立流体运动的基本关系式，即研究运动要素随时间和空间的变化及其之间的关系。3、研究方法拉格朗日法欧拉法以质点为研究对象以空间点（固定观察点）为研究对象1/14/202312§3—1流体运动的描述一、拉格朗日(Lagrange)法质点系法研究方法研究对象:质点------两种数学方法描述流体运动学问题从分析流体质点的运动着手，描述出每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间的变化规律。知道了所有质点的运动规律，则整个流体运动的状况就知道了。1/14/2023131/14/202314流体质点M的运动轨迹1/14/2023154、方程(表达式)：a，b，c，t——被称作拉格朗日变量（数）。其中：流体质点位置随时间而变化的函数关系，即流体质点的迹线方程。z=z(a，b，c，t)x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)

任意质点的空间位置坐标（x、y、z）是拉格朗日变数（a、b、c）和时间t的函数，方程（表达式）为：1/14/202316迹线方程流线1/14/2023175、“跟踪”从每一个流体质点的运动情况开始研究，进而得出整个流体的运动规律------称为“跟踪”的描述方法。6、迹线流体质点位置（质点运动的轨迹）随时间的函数关系(变化规律)-----称为迹线。7、淘汰淘汰的原因：轨迹比较复杂，无法用数学方程表达；仪器跟着质点流动，无法测量。拉格朗日法是质点系力学方法的自然延伸，便于直接应用各种现成的力学定律。1/14/202318二、欧拉（Euler)法流场法1/14/202319（1）压强场：p=p(x,y,z,t)（2）密度场：ρ=ρ(x,y,z,t)（3）速度场：ux=ux

(x,y,z,t)uy=uy(x,y,z,t)uz=uz(x,y,z,t)（x，y,z，t）—欧拉变量3、表达式：-----空间点的集合与物理量（即场量）的集合一一对应。标量场标量场矢量场1/14/2023204.加速度1/14/2023215、流体质点的加速度表达式当地加速度（时变导数）：表示流体通过某固定点时速度随时间的变化率。迁移加速度（位变导数）：表示某一时刻流体流经不同空间点时速度的变化率。欧拉法1/14/2023226.结论1/14/2023231/14/202324欧拉法设想：1、给出每个流体质点运动的轨迹随时间的变化规律。2、给出每一瞬时占据流动范围内每一空间点处的流体质点的物理量，不管其从哪里来，到哪里去。解决：用“场”或“场论”的方法来描述流体运动。物理量的空间分布随时间的变化通过固守各空间点处观察流体运动，故称“空间点法”。------------用“流线”方法来描述流体运动1/14/202325流场——流体运动时所占据的空间。此法通过在流场中取足够多的固定空间点，将所有流经此点的流体质点（流线）运动情况作综合分析，从而得出整个流体的运动情况。1/14/2023267、特点：——欧拉法是以流场而非单个的质点做研究对象，故相对于拉格朗法简便，在工程中具有实用意义，故一般可采用欧拉法研究流体的运动规律。1/14/202327§3—2欧拉法的基本概念一、流动分类恒定流与非恒定流1/14/202328§3—2欧拉法的基本概念一、流动分类1、恒定流与非恒定流——流体各点的运动要素均不随时间改变的流动。恒定流按流体各点的运动要素是否随时间改变而划分1/14/202329§3—2欧拉法的基本概念一、流动分类1、恒定流与非恒定流通常也称为：变水头水头不变1/14/202330（1）恒定流恒定流1/14/202331其当地加速度为零：函数关系：p=p(x，y，z)

u=u(x，y，z)恒定流时，运动要素仅是坐标的函数，与时间无关。1/14/2023321/14/202333u=u(x，y，z，t)p=p(x，y，z，t)函数关系：——流体空间各点只要有一个运动要素随时间改变即为非恒定流。非恒定流1/14/202334非恒定流1/14/202335恒定流与非恒定流的判别标准可据当地加速度（时变导数）是否为零加以判断。恒定流与非恒定流相比，在欧拉变量中少了一个变量t，从而使问题变得相对简单，故在工程中通常可将非恒定流问题简化为恒定流来处理（运动要素随时间变化不太大，不影响计算精度）。在实际工程中，绝对的恒定流几乎不存在。1/14/2023362、一维、二维、三维流按空间位置坐标变量的个数划分——运动要素是一个空间坐标及时间的函数。——运动要素是两个空间坐标及时间的函数。——运动要素是三个空间坐标及时间的函数。一维流二维流三维流1/14/202337二维一维三维二维在满足精度的情况下，将三维简化成二维、甚至一维1/14/202338（1）按运动要素是否随流程改变，可将流动划分为：（2）在非均匀流中，按流线是否接近平行直线，可将流动划分为：3、均匀流与非均匀流均匀流非均匀流渐变流急变流1/14/202339（1）均匀流——某时刻，流体各相应点（位于同一流线上的点）的流速都不随流程改变的流动。3>各过流断面上流速分布沿程不变。1>流体的迁移加速度为零；2>流线是平行的直线；特点1/14/202340（2）非均匀流——某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而不同的流动。（3）均匀流与非均匀流的判别标准可据迁移加速度（位变导数）是否为零来判断。1/14/2023414、渐变流与急变流1/14/2023421/14/2023431/14/202344二、迹线、流线描述流体的运动，除可用数学表达式表述外，还可用更直观的图形来描述。1、迹线——表示某质点在一段时间内的运动轨迹。迹线可以反映出同一质点在不同时刻的速度方向。1/14/202345迹线方程：（1）用拉格朗日法表示的迹线方程：z=z(a，b，c，t)x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)方程组联立，并消去t，即可得迹线方程。发光小粒子经过的路线，即为迹线。1/14/2023461/14/202347（2）用欧拉法表示的迹线方程：dtdx＝uxdtdy＝uydtdz＝uz将各方程分别积分，再将方程组联立，并消去式中的t

，即可得直角坐标系中的迹线方程。求迹线问题实际上就是寻求在拉格朗日变数（a、b、c）下的质点运动规律1/14/2023482、流线流场——是由无数流线构成的，各空间点的流速均与其所在流线相切。——某一瞬时，流场空间中的一条曲线，其上任何一点的速度均与该曲线相切。恒定流动：法向速度变量为0利用流线概念就可以吧流体运动想象成一流线族的几何线性。1/14/2023491/14/202350（1）流线的特点：驻点、奇点除外1>同一时刻的不同流线不能相交1/14/202351流线的特殊性驻点：速度为0的点；奇点：速度为无穷大的点，是一种抽象的理论模型。1/14/202352（1）流线的特点：2>流线为光滑曲线；不能突然转折1/14/2023533>流线充满整个流场,每个质点都位于一条流线上；4>某断面上流线的疏密，可反映该断面流速的大小。11221/14/2023545>恒定流时，流线形状不随时间而变化，而且流体质点的迹线与流线重合；

6>非恒定流时，流线形状随时间而变化，而且流体质点的迹线与流线不重合；1/14/202355流线谱1/14/202356（2）流线微分方程：流线的数学表达式

其中t是参变量，在积分过程中可作为常量。将此式积分即可得流线方程。1/14/202357流线微分方程推导

1/14/2023582个代数方程：解析几何看，这个方程组的图形1/14/2023591/14/2023601/14/202361非定常流线1/14/202362非定常流线1/14/202363非定常流线1/14/202364例：已知流速场为其中q为常数，求流线方程。解：流线的微分方程为或积分得可见，流线是oxy平面上过原点的一族直线（这种流动称为平面流动）1/14/202365流线、染色线与迹线的关系：重合、不重合1/14/2023661/14/202367三、流管、流束、过流断面、元流、总流1、流管——在流场中任取一封闭曲线（非流线，且不相交），通过该曲线上的各点作流线，这些流线所构成的管状空间称为流管。1/14/202368流体的质点不能穿越流管；若流动为恒定流，则流管的形状、位置不变。2、流束——流管内所包容的流体。特点1/14/2023693、过流断面——横断流束并和其中所有流线都正交的横断面。过流断面可以是曲面，也可以是平面。u过流断面u过流断面1/14/202370——过流断面面积无限小的流束。4、元流若流动为恒定流，则元流的形状、位置不变；同一过流断面上，各点的运动要素可认为相等。特点1/14/2023715、总流（与流束无明显的界线）——过流断面面积为有限大的流束。

总流可看成无数多元流之和，其过流断面面积等于各元流对过流断面积的积分。1/14/2023721/14/202373四、流量、断面平均流速——单位时间内通过指定面积（过流断面）的流体体积量。1、流量Q（通过特定面积的流体体积量）1/14/202374一般用于不可压缩流体可用于可压缩流体（1）表示方法：质量流量体积流量重量流量m3/s、l/skN/s、N/skg/s1/14/2023752、断面平均流速v——假想的均匀分布在过流断面上的流速，以它通过的流量与以实际流速分布通过的流量相等。即过流断面上各点流速的加权平均值（2）计算式：Q=∫AdQ=∫AudA1/14/202376计算式：以符号v表示，单位为

m/s。vu1/14/202377平均流束计算式：1/14/202378§3—3连续性方程

方程推导应遵循的原则满足质量守恒定律流体是连续介质所涉及的两种概念系统控制体1/14/2023791/14/202380一、系统、控制体1、系统——把系统和外界分开的真实或假象的界面。系统边界——由确定的流体质点组成的流体团。即一团确定的流体质点的集合。例：水中气泡1/14/202381系统边界的特点：1、系统的边界面的形状和大小在流体的运动过程中可随时间发生变化。2、在边界处没有质量交换。3、在边界上受到外界作用在系统上的表面力。4、在边界上可以有能量交换。1/14/2023821/14/202383控制体控制体是指流场中某一确定的空间区域，这个区域的周界称为控制面。控制体的形状：根据流动情况和边界位置任意选定。当选定之后，控制体的形状和位置相对于所选定的坐标系来讲是固定不变的，但它所包含的流体的量是时时刻刻改变的。如果这个坐标系是固定的就称为固定控制体。如果坐标系本身也在运动，则称为运动控制体。1/14/2023841/14/202385二、连续性微分方程（实质：就是流体的质量守恒定律）（1）可压缩流体连续性微分方程：（2）均匀不可压缩流体连续性微分方程：1、方程：1/14/2023862、1/14/202387简单分析：Mstxyz0以y方向为例：t：ρt，utM：ρ，uyS：ρs，us1/14/2023881/14/2023891/14/2023901/14/2023911/14/2023921/14/2023933、流体的连续性方程给出了流体通过某固定点时，流体的三个速度分量之间的关系。表明对不可压缩、均质流体，单位时间内流入与流出某空间点的流体体积之差为零，即体积（质量）守恒。1/14/202394三、连续性微分方程对总流的积分恒定、均匀、不可压缩流体方程的推导依据是：质量守恒及恒定流的特性。（1）元流的连续性方程：u1dA1=u2dA2=dQ（2）总流的连续性方程：v1A1=v2A2=Q1、方程：连续性方程是不涉及任何作用力的方程。1/14/202395Q1Q3Q22、适用范围：1>汇流、分流；2>理想、非理想流体；1/14/2023961/14/2023971/14/2023981/14/2023991/14/20231001/14/2023101§3—4流体微团运动的基本形式了解

为了分析整个流场的运动情况，可先分析流场任一流体微团的运动情况。1/14/2023102——众多流体分子的集合体。是可以忽略线性尺寸效应（如膨胀、变形、转动）的最小单元。——是众多流体质点的集合。体积微小，是具有一定线性尺寸效应

的流体微团。流体微团质点1/14/2023103一、流体微团运动分析1、流体与刚体运动的比较：（1）刚体的运动形式有（2）流体的运动形式有：平移转动平移转动变形线变形角变形1/14/2023104二、微团运动的组成分析：转动平移

x

yD1

B1

A1

C1CDBA线变形角变形1/14/20231051/14/20231061/14/20231071/14/20231081/14/2023109亥姆霍兹速度分解定理

Helmholtzvelocitydecomposingtheorem

流体运动学中有关运动分析的一个重要定理。它指出，流体微团（见连续介质假设）的运动可以分解为平动、转动和变形三部分之和。

流体速度分解定理同刚体速度分解定理之间存在以下两个重要的区别：①流体微团运动比刚体的多了变形速度部分；②刚体速度分解定理对整个刚体成立，因此它是整体性定理（见刚体一般运动），而流体速度分解定理只是在流体微团内成立，因此它是局部性的定理。1/14/20231101/14/20231111/14/2023112M点由泰勒展开式前两项表示：3—281/14/20231131/14/20231141/14/