信号与系统第1章

第一章信号与系统信号与系统1.1信号与系统1.2信号的描述与分类1.3信号的运算1.4阶跃信号与冲激信号1.5信号的分解1.6系统的模型与分类1.7线性时不变系统1.8系统的分析方法§1.1信号与系统信号(signal)系统（system）信号理论与系统理论信号(Signal)消息（Message）：在通信系统中，一般将语言、文字、图像或数据统称为消息。信号（Signal）：指消息的表现形式与传送载体。信息（Information）：一般指消息中赋予人们的新知识、新概念，定义方法复杂，将在后续课程中研究。信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传送内容。例如电信号传送声音、图像、文字等。电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁通等。系统(System)系统（system）：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有稳定功能的整体。如太阳系、通信系统、控制系统、经济系统、生态系统等。通信系统为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。系统(System)系统可以看作是变换器、处理器。电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、输出是完成某种功能，如微分、积分、放大，也可以称系统。在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网络”三个名词在一般情况下可以通用信号理论与系统理论信号理论系统理论信号分析：研究信号的基本性能，如信号的描述、性质等。信号传输信号处理系统分析：给定系统，研究系统对于输入激励所产生的输出响应。系统综合：按照给定的需求设计（综合）系统。重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。信号与系统的关系§1.2信号的描述和分类信号的分类典型确定性信号一．信号的分类信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。按实际用途划分电视信号雷达信号控制信号通信信号广播信号……按所具有的时间特性划分信号的描述函数f(t)波形1．确定性信号和随机信号对于指定的某一时刻t，可确定一相应的函数值f(t)。若干不连续点除外。确定性信号随机信号伪随机信号

貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。如m序列2．周期信号和非周期信号瞬态信号：除准周期信号外的一切可以用时间函数描述的非周期信号。3．连续信号和离散信号连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义（即都可以给出确定的函数值，可以有有限个间断点）。用t表示连续时间变量。离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，其他时间没有定义。用n或k表示离散时间变量。nO12f(n)tf(t)O4．模拟信号，抽样信号，数字信号数字信号：时间和幅值均为离散的信号。主要讨论确定性连续时间信号。先连续，后离散；先周期，后非周期。模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。抽样信号：时间离散的，幅值连续的信号。量化抽样判断信号性质判断下列波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？连续信号离散信号离散信号数字信号5．一维信号和多维信号一维信号： 只由一个自变量描述的信号，如语音信号。多维信号： 由多个自变量描述的信号，如图像信号。6. 功率信号和能量信号信号的能量：

在整个时间轴上，

信号的功率：在整个时间轴上，功率信号：

平均功率为有限值而信号总能量为无限大。 （0<P<∞，W→∞）能量信号：

能量为有限值而平均功率为零。

（0<W<∞，P=0）

非功非能信号：

（W→∞，P→∞）二．几种典型确定性信号5.钟形脉冲函数(高斯函数)1.指数信号2.正弦信号3.复指数信号(表达具有普遍意义)3.抽样信号(SamplingSignal)信号的表示函数表达式波形重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。1．指数信号单边指数信号通常把称为指数信号的时间常数，记作,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。l

指数衰减,l

指数增长l

直流(常数),KO2．正弦信号振幅：K

周期：频率：f

角频率：初相：衰减正弦信号：

欧拉(Euler)公式

3．复指数信号讨论4．抽样信号(SamplingSignal)

性质①②③④⑤⑥

5．钟形脉冲函数(高斯函数)在随机信号分析中占有重要地位。§1.3信号的运算信号的自变量的变换移位反褶尺度

一般情况微分和积分两信号相加或相乘一．信号的自变量的变换（波形变化）1.信号的移位2.信号的反褶3.信号的展缩（尺度变换）4.一般情况1．信号的移位例：>0，右移(滞后)<0，左移(超前)f(t+1)的波形？2．反褶例：以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。

3．信号的展缩(ScaleChanging)波形的压缩与扩展，尺度变换f(t)f(2t)t2t，波形压缩。4．一般情况注意！展缩

平移

一切变换都是相对t而言最好用先展缩后平移的顺序

加上倒置：例题解:已知f(t)，求f(3t+5)。X时移标度变换标度变换时移二．微分和积分冲激信号三．两信号相加和相乘同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。§1.4阶跃信号和冲激信号单位斜变信号单位阶跃信号单位冲激信号一．单位斜变信号1．

定义3．三角形脉冲由宗量t-t0=0可知起始点为2．有延迟的单位斜变信号二．单位阶跃信号1.定义2.有延迟的单位阶跃信号3.应用表示单边信号。b.表示矩形脉冲。其他函数只要用门函数处理(乘以门函数)，就只剩下门内的部分。

门函数：也称窗函数c.表示符号函数

符号函数：(Signum)三．单位冲激函数定义1定义2定义3冲激函数的性质定义1：狄拉克(Dirac)函数

函数值只在t=0时不为零；

积分面积为1；t=0时，，为无界函数。定义2面积1；脉宽↓；

脉冲高度↑；

则窄脉冲集中于t=0处。★面积为1★宽度为0★三个特点：若面积为k，则强度为k。三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取0极限，都可以认为是冲激函数。描述时移的冲激函数描述定义3以分配理论(处理分配函数、广义函数）为基础定义

冲激函数的性质1.抽样性2.与普通函数的乘积3.移位4.奇偶性5.标度变换6.微积分性质7.卷积性质1.抽样性(筛选性)如果f(t)在t=0处连续，且处处有界，则有

证明：一般了解2.与普通函数的乘积证明：（一般了解）按分配函数相等（分配函数与普通的乘积也可以看作分配函数）的定义可得3.移位对于移位情况：自己证明4.奇偶性证明:比较以上两式有（一般了解）5.对(t)的标度变换7.卷积性质6.微、积分性质冲激函数的性质总结（1）抽样性（3）奇偶性（4）比例性（5）微积分性质（6）冲激偶

(不要求）（7）卷积性质

（2）与普通函数的乘积（8）移位

四.总结：R(t)，u(t)，(t)之间的关系

R(t)

求 ↓↑ 积 (-<t<)

u(t)

导 ↓↑ 分

(t)

§1.5信号的分解

为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量一．直流分量与交流分量二．偶分量与奇分量对任何实信号而言：

例：求f(t)的奇分量和偶分量三．典型信号分量信号分解为典型信号的有限项之和

典型信号在信号系统分析理论中有专门的分析研究，如将信号分解成了它们的有限和式，则信号本身的分析结果也就基本明朗了。举例

见符号函数四．脉冲分量1．矩形窄脉冲序列此窄脉冲可表示为出现在不同时刻的，不同强度的冲激函数的和。1．矩形窄脉冲序列

将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。2．连续阶跃信号之和以上各阶跃函数的幅度:所有这些阶跃函数之和近似等于2．连续阶跃信号之和2．连续阶跃信号之和五．实部分量与虚部分量瞬时值为复数的信号可分解为实虚部两部分之和。即实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。共轭复函数§1.6系统模型及其分类系统的定义和表示描述系统的基本单元方框图系统的分类一．系统的定义和表示系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。系统模型：系统物理特性的数学抽象。

系统模型的表示：

数学表达式：系统物理特性的数学抽象。方框图：形象地表示其功能。二．描述系统的基本单元方框图1.加法器2.乘法器3.标量乘法器（数乘，比例）4.微分器5.积分器6.延时器基本元件13.标量乘法器（数乘器，比例器）

2.乘法器

1.加法器注意:

与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。

4.微分器

5.积分器

6.延时器

基本元件2三．系统的分类1．连续时间系统与离散时间系统

a.定义

连续时间系统：输入信号与输出信号都连续，并且其内部也未转换为离散信号。

离散时间系统：输入信号与输出信号都离散。

混合系统：连续系统与离散系统组合运用

b.数学模型

连续时间系统：微分方程

离散时间系统：差分方程2．即时系统与动态系统a.定义即时系统（无记忆系统）： 系统的输出只由相同时刻的激励信号决定，而与过去的工作状态无关。

动态系统（记忆系统）： 系统的输出信号不仅与同时刻的激励信号有

关，还与它过去的工作状态有关。b.数学模型

即时系统（无记忆系统）：代数方程

动态系统（记忆系统）：微分方程或差分方程

3．集总参数系统与分布参数系统a.定义

集总参数系统：只由集中参数元件(如R,L,C)组成

1.电能仅储存在电容中,磁能仅储存在电感中

2.电磁能量的传输不需要时间

分布参数系统：含有分布参数元件(如传输线、波导、天线等）在传输线中，电阻、电感和电容是沿线连续分布的，电能和磁能的存储和消耗在沿线的各处都存在。b.数学模型

集总参数系统：常微分方程

分布参数系统：偏常微分方程4．线性系统与非线性系统a.定义

线性系统：即具有叠加性又具有均匀性

非线性系统：不具有叠加性或均匀性b.数学模型 线性系统：线性方程

非线性系统：非线性方程5．时变系统与时不变系统a.定义

时变系统：系统的参数随时间变化

时不变系统：系统的参数不随时间变化b.数学模型

时变系统：变系数方程

时不变系统：常系数方程

6．可逆系统与不可逆系统(一般了解）

可逆系统：e(t)不同，r(t)不同 例：r(t)=5e(t)

不可逆系统：e(t)不同，r(t)相同 例：r(t)=e2(t)

7.因果系统与非因果系统

因果系统：系统在t0时刻的响应只与t=t0和t<t0时刻的输入有关

非因果系统：系统在t0时刻的响应与t>t0时刻的输入有关。判断方法输出不超前于输入现在的响应=现在的激励+以前的激励

所以该系统为因果系统。

未来的激励所以该系统为非因果系统。例题1).实际的物理可实现系统均为因果系统2).因果信号表示为：

非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。t=0接入系统的信号称为因果信号。8．稳定系统与非稳定系统 多种定义形式 稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。§1.7

线性时不变系统线性特性时不变特性线性时不变系统的微分特性线性系统的频率保持特性因果性一．线性特性线性:叠加性：均匀性(齐次性)：1.定义指均匀性，叠加性。线性特性先线性运算，再经系统2.

判断方法若则系统是线性系统,否则是非线性系统。

先经系统，再线性运算=例判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。可以证明：

所以此系统为非线性系统。

请看下面证明过程系统不满足均匀性系统不具有叠加性证明均匀性设信号e(t)作用于系统，响应为r(t)原方程两端乘A：

(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则证明叠加性(5)、(6)式矛盾，该系统不具有叠加性假设有两个输入信号分别激励系统，则由所给微分方程式分别有：

当同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有(3)+(4)得二．时不变特性认识:电路分析上看:

从方程看:元件的参数值是否随时间而变。系数是否随时间而变。时不变性先时移，再经系统2.

判断方法若则系统是非时变系统,否则是时变系统。先经系统，再时移=例题判断下列两个系统是否为非时变系统。1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。所以此系统为时不变系统。系统1：