第4章 流体动力学(传)课件

第四章流体动力学基础流体动力学概述流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律即研究流体动力学物理量和运动学物理量之间的关系的科学。建立粘性流体运动的动量守恒方程，即纳维--斯托克斯方程在重力场中不可压缩理想流体一维定常流动量方程--伯努利方程，继而推广到实际总流，得到黏性流体恒定总流的能量方程。将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。回顾一下已经学过的微分方程：第二章静力学中，根据力的平衡关系推导出的关于压强分布的欧拉平衡微分方程第三章运动学中，根据质量守恒定律推导的连续微分方程第一节粘性流体运动的纳维—斯托克斯方程

将动量守恒定律应用于运动着的粘性流体质点上，可得到诸流动参数之间的关系，即粘性流体运动的纳维—斯托克斯方程，该方程是于1827年和1845年由Navier和Stokes分别从不同角度独立得到。上式即为不可压缩粘性流体的运动微分方程。即：纳维—斯托克斯方程（简称N—S方程）写成矢量形式有：拉普拉斯算符：

具体推导如下：在流场中任取一空间点M(x,y,z)，并以该点为一顶点作一微小正六面体。在过M点的三个正交面MBDC，MCEA

和MAFB上则作用着应力Px，Py，Pz，又可分出Pij9个应力分量，即一点的应力状态由这9个分量来描述。一、关于应力式中Pxx，Pyy，Pzz为正应力分量，其余6个为切应力分量。Pij中第一个下角标表示其作用面的法线方向，第二个下角标表示其作用方向。在这9个应力分量中，只有6个应力分量是独立的，即：流体中一点的应力完全由这9个分量确定。

对于理想流体而言，应力为正压力。而对于实际流体而言，应力存在法向应力和切向应力。二、应力形式的动量方程作用于流体微团上的表面力还有GEAF，GFBD和GDCE三个面上的应力，这些力也可分解成各自作用面上的法向和切向分量。将牛顿第二定律应用于运动着的粘性流体质点，以X方向为例：作用于该流体微团沿X轴方向的合力为：惯性力:根据牛顿第二定律:可得到X方向的运动方程:可得到X方向的运动方程:同理可得:将上式整理后得:

上述方程即为粘性流体运动应力形式的动量方程。方程中未知量有：速度V（3个），应力（6个），共9个未知量。上述方程3个，再加上1个连续性方程，故方程组不封闭，需补充5个关系式。三、广义牛顿内摩擦定律（本构方程：反映物质宏观性质的数学模型

）

广义牛顿内摩擦定律（本构方程）反应了应力和应变率之间存在的制约关系，这是建立流体动力学方程的基础。Stokes提出了适用于牛顿流体的如下三条假设：（1）流体是各向同性的，也就是说流体的物理性质与方向无关，只是坐标位置的函数；（2）应力张量是应变率张量的线性函数，与旋度无关。（3）静止流体中，切应力为零，正应力的值为流体的静压。1、切向应力与变形速度的关系变形包括线变形和角变形（剪变形）。线变形运动是由速度分量在它方向上变化率决定的，即角变形运动是由速度分量在垂直于它的方向上的变化率决定的。牛顿切应力公式：上式说明切应力与流体微团的角变形速率成正比。在三元流动中，三个坐标平面内的角变形速度分别为：推广牛顿粘性公式至三元流动中，则可得切应力与角变形速度的关系式：(1)(3)(2)2、法向应力与变形速度的关系式中：p为粘性流体的动压力。(4)(6)(5)对于理想流体或静止流体，则有：对于不可压缩流体，

至此，连续方程、三个运动微分方程以及（1）~（6）个补充方程，共10个方程，求解10个未知数（3个速度分量、6个应力分量以及动压力P），所以方程组封闭，理论上可求解。对于不可压缩流体四、纳维—斯托克斯方程（简称N—S方程）

将应力和变形速度间的关系式代入应力方程（以X方向为例）：同理可得Y和Z方向的运动微分方程：拉普拉斯算符：上式即为粘性流体的运动微分方程(对单位质量流体而言)，适用于一切牛顿流体。左边为单位质量流体的惯性力；右边依次为单位质量流体的质量力、压力和粘性力。对于不可压缩流体，由于，则有：上式即为不可压缩粘性流体的运动微分方程。即：纳维—斯托克斯方程（简称N—S方程）写成矢量形式有：不可压缩粘性流体的N-S方程在直角坐标系下的形式为：在上述方程中，未知数有4个：3个运动方程，再加1个连续方程，共4个方程，故方程组封闭，原则上可求解。不可压缩粘性流体的N-S方程在柱坐标系下的形式为：式中:----空间点的柱坐标;----速度的三个坐标分量。不可压缩粘性流体的N-S方程在球坐标系下的形式为：式中:----空间点的柱坐标;----速度的三个坐标分量。如果流体为理想流体，粘性系数，则上述方程变成欧拉运动微分方程：如果流体静止，则上述方程变成欧拉平衡微分方程：定解条件：1、初始条件；t=0时，给定2、边界条件（列出三种最常见的）：静止固壁：（粘附条件）；运动固壁：自由界面上：

即在自由界面上，法向应力等于自由界面上的压力，切向应力为零。粘性流体运动的一般性质主要有以下三点：（1）运动的有旋性；（2）能量的耗损性；（3）涡旋的扩散性由于N-S方程为二阶非线性偏微分方程组，准确解为数甚少，只有在一些简单的问题中才能实现：如两无限大平行平板间的定常流动（库特流）；圆管内的的定常流动；两同心旋转圆柱间的定常流动等等。五、简单边界条件下N—S方程的精确解

在某些简单问题中，方程的非线性项（即惯性项）自动消失，N-S方程成为线性的，从而可求到它的准确解。例1库埃特流动

两无限大平行平板间充满着粘性不可压缩流体，在压差作用下流动，不计质量力，设流动定常且为层流。流动特点：N-S方程组变为（以X方向为例）：Y和Z方向同理得：（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）由（2）、（3）知：，由（4）知：故（1）式变为：（5）（5）上式左边是y的函数，右边是x的函数，则必有：即压力沿X轴呈线性分布，沿Y和Z方向不变。积分（5）式得：边界条件：这就是两平行平板间粘性流动速度分布的精确解。通常引入一个无量纲压力参数P，其定义为：式中流动的某种特征速度，如它可取为平板间的平均流速。则平板间的无量纲速度分布为：

从上式可知，速度分布呈抛物线型。在上、下两平板处速度为零，在两板中间速度达到极大值。若P=0，则，即流体将静止不动。六、理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）

公式为理想流体运动微分方程式，物理上表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡。该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，故可适用于理想的可压流体和不可压缩流体，适用于有旋流动和无旋流动。此为理想流体运动微分方程（欧拉运动方程）物理意义：作用在单位质量流体上的真实质量力与表面压力之和同虚假质量力相平衡。适用范围：理想流体；可压缩流体或不可压缩流体；稳定流或不稳定流。说明：对平衡流体，，由此方程则可直接得出欧拉平衡方程式。因此，欧拉平衡方程是欧拉运动方程的特例。方程的求解讨论：（1）对不可压缩流体，

=const，此方程中有4个未知数：p,ux,uy,uz，此方程加上连续性方程共4个方程，考虑边界条件和初始条件后，即可解出这4个未知数，用以解决理想流体的流动问题。（2）对可压缩流体，为变数，则欧拉运动方程中共有5个未知数，除了加上连续性方程外，还需要用到状态方程共5个方程，才能解出这5个未知数。

[例4—1]理想流体速度场为为常数。试求：（1）流动是否可能实现；（2）流线方程；（3）等压面方程(质量力忽略不计)[解](1)由连续性微分方程

满足连续性条件，流动是可能实现的。

(2)由流线方程

得：

积分得流线方程a,b同号，流线是双曲线;a,b异号,流线是椭圆。

(3)由欧拉运动微分方程式，不计质量力：将方程组化为全微分形式:积分，得令p=常数即得等压面方程等压面是以坐标原点为中心的圆。4.2理想流体元流的能量方程一、理想流体运动方程由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。二、欧拉运动微分方程的积分-理想流体恒定元流的伯努利方程（）（）（）1、恒定流：2、流体不可压缩：ρ=const3、质量力有势沿流线积分不可压缩理想流体的伯努利积分式Cl流线常数理想流体恒定有势元流的积分-欧拉积分

物理意义：在理想恒定不可压缩质量力有势流体中，如果无旋（不同于伯努利积分）流体各点的总机械能相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。Cl通用常数质量力只有重力理想流体恒定元流的伯努利方程4、质量力只有重力：fx=0，fy=0，fz=-g

物理意义：在理想流体恒定不可压缩流体重力势流中，同一流线上各点的总机械能守恒。四、伯努利方程的物理意义和几何意义1、物理意义：

z－位能；－压能；－单位重量流体具有的总势能

－单位重量流体具有的动能－单位重量流体具有的机械能伯努利方程表示单位重量流体的机械能守恒。2、几何意义z－位置高度，或称位置水头；－测压管高度，或称压强水头；－测压管水头－流速高度，或称流速水头；－总水头伯努利方程表示沿同一流线各断面的总水头相等符号说明：符号物理意义几何意义单位重流体的位能位置水头单位重流体的压能压强水头单位重流体的动能流速水头单位重流体总势能测压管水头单位重流体总机械能总水头总水头线和静水头线位置水头线（流线）测压管水头线五、粘性流体元流的伯努利方程实际流体考虑粘性，运动时克服阻力做功，使一部分机械能转化为热能而散失。据能量守恒定律可得粘性流体元流伯努利方程：注意：元流列方程，流速是瞬时流速u，而不是平均流速vh’w为由过流断面1－1运动到2－2的机械能损失，称为水头损失实际流体恒定元流的伯努利方程实际流体恒定元流的伯努利方程总水头线坡度：测压管线坡度：①理想流动流体的总水头线为水平线；②实际流动流体的总水头线恒为下降曲线；③测压管水头线可升、可降、可水平。④若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=JP。⑤总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。注意：zAzBu皮托管测速原理六.应用：皮托管测流速推导

考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失和测速管对流动的影响，实际应用时，应对上式进行修正：式中：ξ称为皮托管系数，由实验确定，通常接近于1.0-1.04。先按理想流体研究，由A至B建立恒定元流的伯努利方程，有zAzBu皮托管测速原理小结：1、皮托管测流速2、水（ρ）-水银（ρ’）h124.3总流的伯努利方程一、过流断面的压强分布（为推导总流的伯努利方程作准备）均匀流流线平行非均匀流渐变流急变流流线近于平行过流断面的选取——均匀流、渐变流均匀流急变流渐变流1、渐变流与急变流渐变流的重要特性：

任一过流断面上各点的动压强分布规律与静压强分布规律相同.即：在同一过流断面上各点的测压管水头z+P/r为常数.也就是说在同一平面上的测压管液面高度相同，但是不同断面上的测压管水头值可能是不同的。均匀流由于是渐变流的极限，因此也具有这个特性。渐变流：流速沿流动方向变化极为缓慢地非均匀流。渐变流的流线趋近于平行的直线，因此渐变流的过流断面可以近似的认为是平面（过流断面有时是曲面）。急变流：流速沿流程变化显著的流动急变流没有这个特性。均匀流断面上的压强分布规律的推导在均匀流的过流断面上取一微小柱圆体作为隔离体。长度为L，断面为dA，铅直方向的倾斜角度为α，断面形心的高程为在z1，z2，压强为P1，P2。列n－n方向上力的平衡式。重力：Gcosα＝γLdAcosα端面压力：P1dA，P2dA切应力：两端切应力与n－n垂直，投影为0。

列力的平衡：结论：均匀流过流断面上的压强分布服从静力学规律，测压管水头相同。对渐变流，由于惯性力不大，过流断面近似为平面，可以认为服从静力学规律，不会产生很大的误差。1.过流断面的压强分布——服从流体静力学规律p2p1lΔAGθz2z100恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的规律分布推导：注意：急变流压强的分布沿惯性力方向，压强增加、流速减小（）FI例题水在倾斜管中流动，用U形水银压力计测定A点的压强。压力计所指示的读数为30cm，求A点的压强。解：A、B两点在均匀流的同一过流断面上，压强分布应服从静压强的规律。从C点经B点可推出A点的压强。在动力学中满足静压强分布规律的条件是在均匀流的过流断面上，对此题虚线上的压强可以通过B点测得，但E、D两点的压强不能通过B点得到的。依题意：E点在A点的上游，压强高于A点；

D点在A点的下游，压强低于A点。二、总流能量方程在推导过程中的限制条件（1）恒定流；

（2）不可压缩流体；

（3）质量力只有重力；

（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。

（5）总流的流量沿程不变。

（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。

（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ三、总流的伯努利方程推导1.总流的伯努利方程元流的伯努利方程推导：两边同乘以ρgdQ（单位时间内通过过流断面的流体重量），积分（1）势能积分（测压管水头积分）：总流的过流断面取在渐变流区域，那么，在一定的边界条件下，同一过流断面上的压强分布近似地按静压强规律分布，z+p/ρg可视为常数。

（2）动能积分（速度水头积分）：总流的过流断面取在渐变流区域，所以同一过流断面上各点速度和断面平均速度的方向可认为相同，且垂直于过流断面，但是大小不同。——动能修正系数层流α=2紊流α=1.05~1.1≈1（3）水头损失积分——总流的伯努利方程是同一过流断面上各点速度不等时的实际动能与假设该过流断面上各点速度均为断面平均速度时的动能比值。

动能修正系数是一无量纲数，取决于总流过水断面的流速分布，分布越均匀，值越小，越接近于1.0。动能修正系数总流的伯努利方程与元流的伯努利方程对比：（1）z1、z2——总流过流断面上同一流线上的两个计算点相对于基准面的高程；（2）p1、p2——对应z1、z2点的压强（同为绝对压强或同为相对压强）；（3）v1、v2——断面的平均流速总流的伯努利方程各项的物理意义和几何意义类似于实际流体元流的伯努利方程式中的对应项，所不同的是指平均值。实际流体总流的伯努利方程(能量方程)

物理意义是:总流各过流断面上单位重量流体所具有的势能平均值与动能平均值之和，亦即总机械能的平均值沿流程减小，部分机械能转化为热能等而损失；同时，亦表示了各项能量之间可以相互转化的关系。

几何意义是:对于液体来讲，总流各过流断面上平均总水头沿流程减小，所减小的高度即为两过流断面间的平均水头损失；同时，亦表示了各项水头之间可以相互转化的关系。。四.水头线总水头线测压管水头线水流轴线基准线②压强p的计量标准。应用恒定总流的伯努利方程解题时，应注意的问题：①基准面、过流断面、计算点的选取。三选一列①选择基准面：基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选过流断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）等。②选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。③选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标准。④列伯努利方程解题：注意与连续性方程的联合使用。水头线是总流能量变化的几何图示粘性流体的总水头线沿程单调下降，下降的快慢用水力坡度J表示测压管水头线可升、可降也可不变，用测压管水头线坡度表示

测量恒定有压管流的文丘里管，它由渐缩段、喉道和渐扩段三部分所组成。渐缩段前的断面1-1及断面最小的喉道断面2-2处布置测压孔，并接上测压装置(压差计)。

任选O-O为基准面，列1、2两断面能量方程，则得例文丘里流量计连续性方程能量方程（忽略损失）仪器常数K式中:μ称流量系数，它不是一常数，随水流情况和文丘里管的材料性质、尺寸等而变化，须对各文丘里管专门率定才能确定，一般μ≈0.95—0.98。注意：(压差计)水（ρ）-水银（ρ’）气（ρ）-液（ρ’）[例]文丘里流量计[例]某一水库的溢流坝，如图所示。已知坝下游河床高程为105.0m,当水库水位为120.0m时，坝址处过流断面C处的水深hc=1.2m。设溢流坝的水头损失

求坝址处断面的平均流速vc。[例]某一水库的溢流坝，如图所示。已知坝下游河床高程为105.0m,当水库水位为120.0m时，坝址处过流断面C处的水深hc=1.2m。设溢流坝的水头损失

求坝址处断面的平均流速。解：如图，取基准、计算断面，列出断面1，2总流伯努利方程计算点选在液面上，即有Z1=120-105=15mZ2=hc=1.2m令v2=vc五、伯努利方程的扩展11v12233v2v3节点1、分叉恒定流（有分流（或汇流）的伯努利方程）1122332.有能量输入（Hi）或输出（H0）的伯努利方程例用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程作水头线H112200总水头线测压管水头线4.4恒定流动量方程解决流体与固体壁面的相互作用力1.动量守恒定理：单位时间内通过两个过流断面净流出控制体的动量等于该段总流内的流体所受的合力。控制体内流体经dt时间，由Ⅰ-Ⅱ运动到Ⅰ’-Ⅱ’，元流经dt时间，由1-2运动到1’-2’元流动量方程：ⅡⅠⅠⅠ’Ⅰ’ⅡⅡ’Ⅱ’11’22’总流动量方程：——动量修正系数层流β=1.33，紊流β=1.05-1.02~1V平均流速式中：β

称动量修正系数（momentumcorrectionfactor），它可理解为是同一过流断面上各点速度不等时的实际动量与假设该过流断面上各点速度均为断面平均速度时的动量的比值。

对作用力项积分

：

式中：∑F—外力的合力。作用于控制体内流体的所有外力矢量和。该外力包括作用在该控制体内所有流体质点的质量力、作用在该控制体面上的所有表面力、以及四周边界对水流的总作用力的合力之矢量和。不可压缩流体：分量式：适用范围：恒定流、匀质、不可压缩流体上式即为不可压缩均质实际流体恒定总流的动量方程。

上式表明，单位时间内流出控制面(过流断面2-2)和流人控制面(过流断面1-1)的动量矢量差，等于作用在所取控制体内流体(总流段)上的各外力的合力矢量。

2.例：一水平放置的弯管，管内流体密度ρ，流量Q，进出口管径为d1、d2，d1处压强为p1，弯管旋转角θ，不计流动损失，求弯管所受流体作用力解：a.取1-1、2-2断面间内的流体为控制体