全国高考文科数学试题及湖南卷

绝密★启用前2015年一般高等学校招生全国一致考试（湖南卷）数学（文科）本试卷包含选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1.已知(1i)21i（i为虚数单位），则复数zzA.1iB.1iC.1iD.1i2.在一次马拉松竞赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图1所示若将运动员按成绩由好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则此中成绩在区间[139,151]上的运感人数是A.3B.4C.5D.63.设xR，则“x1”是“x31”的A.充分不用要条件B.必需不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件4.若变量x,y知足拘束条件错误！未找到引用源。则z2xy的最小值为A.-1B.0C.1D.25.履行如图2所示的程序框图，假如输入n3，则输出的SA.错误！未找到引用源。B.错误！未找到引用源。C.错误！未找到引用源。D.错误！未找到引用源。16.x2y21的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为若双曲线b2a2A.7B.5C.45343D.37.若实数a,b知足12ab，则ab的最小值为abA.2B.2C.22D.48.设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是A.奇函数，且在（0,1）上是增函数B.奇函数，且在（0,1）上是减函数C.偶函数，且在（0,1）上是增函数D.偶函数，且在（0,1）上是减函数9.已知点A,B,C在圆x2y21上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2,0），则|PAPBPC|的最大值为A.6B.7C.8D.9某工件的三视图如图3所示，现将该工件经过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（资料的利用率=新工件的体积/原工件的体积）88A.B.927332421821C.D.二．填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分11.已知会合U={1,2,3,4}，A={1，3}，B={1,3,4}，则()B________AeU12.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴成立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为2sin，则曲线C的直角坐标方程为______13.若直线3x4y50与圆x2y2r2(r0)订交于A,B两点，且AOB120（O为坐2标原点），则r___________.14.若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是____________15.已知0，在函数y2sinx与y2cosx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则=________.三、解答题：本大题共6小题，共75分。接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购置必定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是：从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，不然不中奖。（Ⅰ）用球的标号列出全部可能的摸出结果；（Ⅱ）有人以为：两个箱子中的红球比白球多，因此中奖的概率大于不中奖的概率，你以为正确吗？请说明原因。（本小题满分12分）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,abtanA.（Ⅰ）证明：sinBcosA；（Ⅱ）若sinCsinAcosB3，且B为钝角，求A,B,C.418.（本小题满分12分）如图4，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC1的中点.（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线AC1与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积.19．（本小题满分13分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a11,a22，且an23SnSn13,nN*.3（Ⅰ）证明：an23an；（Ⅱ）求Sn。（本小题满分13分）已知抛物线C1:x24y的焦点F也是椭圆C2:y2y21(ab0)的一个焦点，C1与C2a2b2的公共弦的长为26.过点F的直线l与C1订交于A,B两点，与C2订交于C,D两点，且AC与BD同向。（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC||BD|，求直线l的斜率。（本小题满分13分）已知a0，函数()xcos([0,))。记为的从小到大的第*个极aexxxnf(x)n(nN)fx值点。（Ⅰ）证明：数列{f(xn)}是等比数列；（Ⅱ）若对全部nN*,xn|f(xn)|恒成立，求a的取值范围。4参照答案一、选择题：1.D2.B3.C4.A5.B6.D7.C8.A9.B10.A二、填空题：11.{1，2，3}12.x2y22y013.214.（0，2）15.2三、解答题：16．解：（Ⅰ）全部可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.（Ⅱ）不正确。原因以下：由（Ⅰ）知，全部可能的摸出结果共12种，此中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种，因此中奖的概率为41，不中奖的概率为1121，故这类说法不正确。12333317.解：（Ⅰ）由abtanA及正弦定理，得sinAasinAcosAb，因此sinBsinBcosA（Ⅱ）由于sinCsinAcosBsin[180(AB)]sinAcosBsin(AB)sinAcosBsinAcosBcosAsinBsinAcosBcosAsinB5因此cosAsinB34由（Ⅰ）sinBcosA，因此sin2B3。又B为钝角，因此sinB3，故B120。423由cosAsinB知A30。进而C180(AB)302综上所述，A30,B120,C3018.解：（Ⅰ）如图a，由于三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，因此AEBB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点，因此AEBC因此AE平面B1BCC1而AE平面AEF，因此，平面AEF平面B1BCC1（Ⅱ）设AB的中点为D，连接A1D,CD由于ABC是正三角形，因此CDAB又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，因此CDAA1因此CD平面A1ABB1，于是CA1D为直线AC1与平面A1ABB1所成的角由题设，CA1D45，因此A1DCD3AB32在RtAA1D中，AA1A1D2AD2312，因此FC1AA1222故三棱锥FAEC的体积V1SAECFC132633221219．解：（Ⅰ）有条件，对随意nN*，有an23SnSn13，6因此对随意nN*，n2，有an13Sn1Sn3两式相减，得aa3ana，即a3a,n2n2n1n1n2n又a11,a22，因此a33S1S233a1(a1a2)33a1故对全部nN*，an23an（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an0，因此an23，于是数列{a2n1}是首项a11，公比为3的等比数列；an数列{a2n}是首项a22，公比为3的等比数列，因此a2n13n1,a2n23n1于是S2na1a2...a2n(a1a3...a2n1)(a2a4...a2n)(13...3n1)2(13...3n1)3(13...3n1)3(3n1)2进而S2n1S2na2n3(3n1)23n13n21)2(5323n3(532当是奇数，综上所述，Sn21),n3n2）当是偶数.（23-1,n20．解：7（Ⅰ）由C1:x24y知其焦点F的坐标为(0,1)，由于F也是椭圆C2的一个焦点，因此a2b21①又C1与C2的公共弦的长为26，C1与C2都对于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为(6,3)，因此9621②4a2b2联立①②得a29,b28，故C2的方程为y2x2198（Ⅱ）如图b，设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)因AC与BD同向，且|AC||BD|，因此ACBD，进而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(xx)24xx2(xx)24x3x③121344设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1ykx1,4kx40，而x1,x2是这个方程的两根，因此由4y得x2x28x1x24k,x1x24④ykx1,8k2)x216kx64由x2y2得(90，而x3,x4是这个方程的两根，因此891x3x416k2,x3x4642⑤98k98k将④⑤代入③，得16(k21)162k464，即8k2)298k2(916(k21629(k21)1)(98k2)2，因此(98k2)2169，解得k6，即直线l的斜率为64421．解：（Ⅰ）f(x)aeaxsinxeaxcosxeax(asinxcosx)a21eaxsin(x)此中tan1,02a令f(x)0，由x0得xm，即xm,mN*对kN，若2kx(2k1)，即2kx(2k1)，则f(x)0；若(2k1)x(2k2)，即(2k1)x(2k2)，则f(x)0因此，在区间((m1),m)与(m,m)上，f(x)的符号总相反，于是当xm(mN*)时，f(x)获得极值，因此xnn(nN*)此时，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin，易知f(xn)0，而9f(xn1)(1)n2ea[(n1)]sineaf(xn)(1)n1ea(n)sin是常数，故数列{f(xn)}是首项为f(x1)ea()sin，公比为ea的等比数列。（Ⅱ）对全部nN*,xn|f(xn)|恒成立，即n32anx34e4恒成立，亦即2nx342ean34恒成立（由于a0）设g(t)e(t0)，则g(