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文档简介

4.2

矩阵的范数一.定义与性质

定义4.3

设ACmn，定义一个实值函数（1）非负性:当时,;当A=0时,;与之对应，且满足以下三个条件(2)齐次性:(3)三角不等式:则称为A的广义矩阵范数.若对Cmn,Cnl

与Cml上的同类广义矩阵范数有（4）相容性：（2.2.1）则称为A的矩阵范数.例4.6

已知都是Cnn

上的矩阵范数.证：仅第一个就三角不等式与相容性加以验证。

定义4.4

对于Cmn上的矩阵范数和

上的同类向量范数，如果则称矩阵范数与向量范数是相容的.

例4.7

设，证明函数是Cmn上的矩阵范数，且与向量范数相容.

证：验证（3）设A

的第j

列为BCmn的第j列为，则有所以

即三角不等式成立.再设B,则AB=,于是有即是A

的矩阵范数.取B=,则有即矩阵范数与向量范数相容.范数又称为Frobennius范数，或简称为F-范数.是最常用的矩阵范数。的特点：矩阵的F-范数是酉不变的.

定理4.5

设，且与都是酉矩阵，则证因为即，于是

定理4.6

设是Cnn上的方阵范数，任取Cn

中的非零列向量y,则函数是Cn上的向量范数，且矩阵范数与向量范数相容。（即对任一方阵范数，一定存在与它相容的向量范数

）

证非负性.当时，从而；当x=O时，，从而齐次性.对，有三角不等式.对，有因此，是上的向量范数.当

,时，所以矩阵范数与向量范数相容.

二.几种常用的矩阵范数1.从属于向量范数的矩阵范数

定理4.7

已知上的向量范数,则，是一个矩阵范数，且与已知向量范数相容。也称此矩阵范数为从属于向量范数的算子范数or由向量范数导出的矩阵范数。例如：

则从属于向量x的三种范数的矩阵范数依次是：一些性质：（和向量范数类似）矩阵A的任意一种矩阵范数都是A中元素的连续函数。任意两种矩阵范数是等价的，等价定义同向量范数。2.P-范数

三.矩阵的谱半径及其性质

定义4.5

设的n

个特征值为

称为方阵A

的谱半径.

定理4.8

设，则对上的任何一种矩阵范数，都有

证设A

的属于特征值的特征向量为，取与矩阵范数相容的向量范数，则由，可得因为，所以,从而。性质1

设，则

.性质2

对任意非奇异矩阵，则.结合性质1和性质2，则有当

A是Hermite

矩时，.第四章总结向量范数

1.定义（非负性，齐次性，三角不等式）

2.等价性

3.应用（

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