函数极限二与导数定义

5.2、5.1、5、两个重要极限第一章5.1、两个重要极限注第一种重要极限的推广形式例2.

求解:例3.

求解:

令则因此原式例4.

求解:

原式=2.说明

：若利用则原式例6.

求解:

令则例7.求解:

原式=例8.求例9.求2.两个重要极限或注:

代表相同的表达式思考与练习填空题

(1～4)第七节第一章都是无穷小,引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.6、无穷小的比较定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是

的等价无穷小,记作定理2.

设且存在,则证:例如,设对同一变化过程,

,为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若

=o(),(2)和差代替规则:例如,例如,(见下页例3)

(3)因式代替规则:界,则例如,例3.求解:原式例4.求解:例5.

证明:当时,证:利用和差代替与取大规则说明内容小结1.无穷小的比较设

,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小7.2、函数的间断点7.1、函数连续性的定义7、函数的连续性与间断点第一章可见,函数在点7.1、函数连续性的定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数

.例如,在上连续.(有理整函数)又如,

有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有

基本初等函数、初等函数的连续型基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算结果仍连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续

初等函数在定义区间内连续说明:

分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一,函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点

.在无定义

;间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点

.为跳跃间断点

.为无穷间断点

.为振荡间断点

.为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:3.P65题3,*8为连续函数.答案:x=1是第一类可去间断点,备用题

确定函数间断点的类型.解:

间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.8.1、最值定理8.2、介值定理8、闭区间上连续函数的性质第一章注意:

若函数在开区间上连续,结论不一定成立.8.1、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证明略)点

,例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,

8.2、介值定理由定理1可知有证:

设上有界.定理2.

(零点定理)至少有一点且使(证明略)推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理3.(介值定理)设且则对A

与B

之间的任一数C,一点证:

作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值.例.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则内容小结则证明至少存在使提示:

令则易证2.

设作业P74(习题1－10）

2;3;5一点习题课备用题

至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.9.1、导数的定义9.2、导数的几何意义9.3、函数的可导性与连续性的关系9.4、单侧导数9、导数的概念第二章9.1、导数的定义定义1.

设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.不存在,就说函数在点不可导.若也称在若函数在开区间

I

内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就称函数在

I内可导.的导数为无穷大.若极限例1.求函数(C

为常数)的导数.解:即例2.

求函数解:说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明）例3.

求函数的导数.解:则即类似可证得例4.求函数的导数.解:

即原式是否可按下述方法作:例5.证明函数在x=0不可导.证:不存在,例6.

设存在,求极限解:

原式9.2、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与

x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:例7.问曲线哪一点有铅直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有铅直切线9.3、函数的可导性与连续性的关系定理1.定理2.函数在点且存在简写为在点处右导数存在定理3.

函数在点必右连续.(左)(左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间

内可导,在闭区间

上可导.可导的充分必要条件是且在点的某个右邻域内9.4、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)例如,在

x=0处有定义2

.

设函数有定义,存在,例题.

解:显然该函数在x=0连续.故时此时在都存在,内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;思考与练习1.

函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数2.

设存在,则3.

已知则4.

若时,恒有问是否在可导?解:由题设