数控技术第3章计算机数控(CNC)装置

第3章计算机数控（CNC）装置3.4CNC装置的插补原理3.4.1插补概述在对数控系统输入有限坐标点（例如起点、终点）的情况下，计算机根据线段的特征（直线、圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运行，使机床加工出所要求的轮廓曲线。插补程序的运行时间和计算精度影响着整个CNC系统的性能指标，可以说插补是CNC系统控制软件的核心。大多数CNC系统一般都具有直线和圆弧插补功能。对于非直线或非圆弧的轨迹，可以用小段的直线或圆弧来拟合。只有在某些要求较高的系统中，才具有抛物线、螺旋线插补功能。3.4CNC装置的插补原理3.4.1插补概述脉冲增量插补该插补算法主要为各坐标轴进行脉冲分配计算。其特点是每次插补结束在一个轴上仅产生一个行程增量，以一个个脉冲的方式输出给步进电动机。

在数控系统中，一个脉冲所产生的坐标轴位移量叫做脉冲当量，通常用δ表示。脉冲当量δ是脉冲分配的基本单位，按机床设计的加工精度选定。普能精度的机床取δ=0.01mm，较精密的机床取δ=0.001mm或0.005mm。脉冲当量插补通常有：逐点比较法、数字积分法等。脉冲增量插补适用于以步进电动机为驱动装置的开环数控系统。3.4CNC装置的插补原理3.4.1插补概述数字增量插补（数据采样插补）插补分两步完成。第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来逼近给定曲线，每一微小直线段的长度ΔL都相等，且与给定进给速度有关：ΔL=FT。第二步为精插补，它是在粗插补算出的每一微小直线上再作“数据点的密化”，这一步相当于对直线的脉冲增量插补。数字增量插补法适用于闭环和半闭环的直流或交流伺服电动机为驱动的装置的位置采样控制系统。3.4CNC装置的插补原理3.4.2脉冲增量插补逐点比较法(1)逐点比较法直线插补

偏差判别(以第一象限直线OE为例，起点坐标在原点，终点坐标在E点)，对于直线上任一点(x,y)，则有直线方程：(1)逐点比较法直线插补若加工动点P(xi,yi)在加工直线上，则有：若P点在加工直线的上方，则有：若P点在加工直线的下方，则有：偏差判别函数Fi： Fi=0，加工点在直线上；Fi>0，加工点在直线的上方；Fi<0，加工点在直线的下方；(1)逐点比较法直线插补坐标进给若刀具加工点的位置P(xi,yi)处在直线上方时(包括在直线上)，即满足向x轴方向发出一个正向运动的进给脉冲，使刀具沿x轴坐标动一步(一个当量脉冲δ)，逼近直线。若刀具加工点的位置P(xi,yi)处在直线下方时，即满足向y轴方向发出一个正向运动的进给脉冲，使刀具沿x轴坐标动一步(一个当量脉冲δ)，逼近直线。按原始定义的方法要求每次进行判别式F的运算—乘法与减法运算，这在具体电路中实现不方便。(1)逐点比较法直线插补偏差计算递推法：新加工点的偏差，用前一点的加工偏差递推出来。坐标单位用脉冲当量表示。若Fi≥0，则向x正轴发出一进给脉冲，刀具从这点向x正方向迈进一个脉冲当量。推导下一个加工点Pi+1的偏差值Fi+1已知现在的加工点Pi的偏差值为Fi(1)逐点比较法直线插补偏差计算若Fi＜0，则向y正轴发出一进给脉冲，刀具从这点向y正方向迈进一个脉冲当量。推导下一个加工点Pi+1的偏差值Fi+1已知现在的加工点Pi的偏差值为Fi(1)逐点比较法直线插补偏差计算已知现在的加工点Pi的偏差值为Fi，推导下一个加工点Pi+1的偏差值Fi+1因为终点坐标xe,ye是已知的，只要知道第一个点的偏差值就能算出第二个点的偏差值，有了偏差值就能驱动进给脉冲，控制向某一方向进给。最原始的起始位置在原点上，偏差为0，进行第一步动作之后，下一个点的偏差值可以求出，以此类推所以点的偏差值都能求出。(1)逐点比较法直线插补终点判别（两种方法）根据X、Y坐标方向所要走的总的步数∑来判断，即∑=xe+ye,每走一步，进行∑

-1计算，当为∑为0时即到终点，插补运算结束。比较xe和ye

，取其中较大值为∑，进行∑-1计算，直至∑为0，插补结束。两种终点判别中,均用坐标的绝对值进行计算。逐点比较法直线插补流程：第一节拍——当前点的偏差判别。判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏离情况，以此决定刀具的移动方向；

第二节拍——进给。根据偏差判别，向工件轮廓进给一步；

第三节拍——下一个点的偏差计算。刀具进给改变了位置，需要计算出刀具当前位置的偏差，为下一次判别作准备；

第四节拍——终点判别。判别刀具是否已到达被加工轮廓线的终点。如果达到，则停止插补；如果未到达终点，则继续插补，重复上述过程。(1)逐点比较法直线插补例3.1，欲加工第一象限直线OE，起点在原点，终点坐标E(5,4),试写出逐点比较法插补计算过程，并绘制插补轨迹。步数偏差判别坐标进给偏差计算终点判别F0=0∑=5+4=91F0=0+ΔxF1=F0-ye=0-4=-4∑=9-1=82F1=-4<0+ΔyF2=F1+xe=-4+5=1∑=8-1=73F2=1>0+ΔxF3=F2-ye=1-4=-3∑=7-1=64F3=-3<0+ΔyF4=F3+xe=-3+5=2∑=6-1=55F4=2>0+ΔxF5=F4-ye=2-4=-2∑=5-1=46F5=-2<0+ΔyF6=F5+xe=-2+5=3∑=4-1=37F6=3>0+ΔxF7=F6-ye=3-4=-1∑=3-1=28F7=-1<0+ΔyF8=F7+xe=-1+5=4∑=2-1=19F8=4>0+ΔxF9=F8-ye=4-4=0∑=1-1=0例3.1，欲加工第一象限直线OE，起点在原点，终点坐标E(5,4),试写出逐点比较法插补计算过程，并绘制插补轨迹。3.4CNC装置的插补原理3.4.2脉冲增量插补逐点比较法(1)逐点比较法直线插补(2)逐点比较法圆弧插补

偏差判别(以第一象限逆时针圆弧AE为例，圆心定在坐标原点上，圆弧起点A（x0,y0），圆弧终点E（xe,ye），P(xi,yi)为加工动点。若点P(xi,yi)正好落在圆弧上，则定义偏差函数FiFi=0,加工点在圆弧上，Fi>0,加工点在圆弧外，Fi<0,加工点在圆弧内。坐标进给 当Fi≥0时，向-X方向进给一步；当Fi＜0时，向+Y方向走一步。(2)逐点比较法圆弧插补偏差函数递推公式 （用原始定义的偏差函数，电路实现起来比较麻烦。）(2)逐点比较法圆弧插补若Fi≥0，向-X方向进给一步，加工点P(xi,yi)移动到Pi+1(xi+1,yi),新加工点Pi+1的偏差为：若Fi<0，向+Y方向进给一步，加工点P(xi,yi)移动到Pi+1(xi,yi+1),新加工点Pi+1的偏差为：偏差函数递推公式

（前面讲的是第一象限逆时针圆弧的插补加工偏差运算，如果加工的圆弧为第一象限顺时针圆弧插补，同理可得以下的公式。）(2)逐点比较法圆弧插补若Fi≥0，向-Y方向进给一步，加工点P(xi,yi)移动到Pi+1(xi+1,yi),新加工点Pi+1的偏差为：若Fi<0，向+X方向进给一步，新加工点Pi+1的偏差为：(2)逐点比较法圆弧插补终点判别（两种方法，只介绍一种）根据X、Y坐标方向应进给的总的步数∑来判断， 每走一步，进行∑

-1计算，当为∑为0时即到终点，插补运算结束。(2)逐点比较法圆弧插补例3.2欲加工第一象限逆时针圆弧AB，起点A（5，0），终点B（0，5），试写出逐点比较法插补计算过程，并绘制插补轨迹。步数偏差判别坐标进给偏差计算终点判别F0=0,x0=5,y0=0∑=101F0=0-ΔXF1=F0-2x0+1=0-2*5+1=-9x1=4,y1=0∑=10-1=92F1=-9<0+ΔYF2=F1+2y1+1=-9+2*0+1=-8x2=4,y2=1∑=9-1=83F2=-8<0+ΔYF3=F2+2y2+1=-8+2*1+1=-5x3=4,y3=2∑=8-1=74F3=-5<0+ΔYF4=F3+2y3+1=-5+2*2+1=0x4=4,y4=3∑=7-1=65F4=0-ΔXF5=F4-2x4+1=0-2*4+1=-7x5=3,y5=3∑=6-1=5(2)逐点比较法圆弧插补例3.2欲加工第一象限逆时针圆弧AB，起点A（5，0），终点B（0，5），试写出逐点比较法插补计算过程，并绘制插补轨迹。步数偏差判别坐标进给偏差计算终点判别5F4=0-ΔXF5=F4-2x4+1=0-2*4+1=-7x5=3,y5=3∑=6-1=56F5=-7<0+ΔYF6=F5+2y5+1=-7+2*3+1=0x6=3,y6=4∑=5-1=47F6=0-ΔXF7=F6-2x6+1=0-2*3+1=-5x7=2,y7=4∑=4-1=38F7=-5<0+ΔYF8=F7+2y7+1=-5+2*4+1=4x8=2,y8=5∑=3-1=29F8=4>0-ΔXF9=F8-2x8+1=4-2*2+1=1x9=1,y9=5∑=2-1=110F9=1>0-ΔXF10=F9-2x9+1=1-2*1+1=0x10=0,y10=5∑=1-1=0(2)逐点比较法圆弧插补例3.2欲加工第一象限逆时针圆弧AB，起点A（5，0），终点B（0，5），试写出逐点比较法插补计算过程并绘制插补轨迹。(2)逐点比较法圆弧插补四个象限直线与圆弧的插补计算对于第二、三、四象限的直线进行插补时，终点坐标(xe,ye)取绝对值，偏差计算公式与计算程序和第一象限相同。 (2)逐点比较法圆弧插补四个象限直线与圆弧的插补计算第一象限逆圆插补的偏差函数，第三象限逆圆，第二、四象限顺圆插补偏差计算相同。第一象限顺圆插补的偏差函数，第三象限顺圆，第二、四象限逆圆插补偏差计算相同。

(2)逐点比较法圆弧插补逐点比较法速度

对于某一坐标而言，进给脉冲的频率就决定了进给速度：单位：mm/min单位：mm/脉冲逐点比较法的特点是脉冲源每产生一个脉冲，不是发向x轴（Δx），就是发向y轴（Δy）。令fg为脉冲源频率，单位为“个脉冲/s”。进给脉冲按平行于坐标轴的方向分配时有最大速度，这个速度由脉冲源频率决定，所以称其为脉冲源速度vg

最大速度与最小速度之比为:

α为插补直线与X轴夹角。当α=45°时，实际合成速度与脉冲源速度之比为最小，为0.707（实际合成速度小于编程速度）；当α=90°或0°时，实际合成速度与脉冲源速度之比为最大，等于1（实际合成速度等于编程速度）。圆弧插补时，可做类似分析。α为动点到圆心的连线与X轴的夹角。3.4CNC装置的插补原理3.4.2脉冲增量插补逐点比较法数字积分法数字积分法以称为数字微分分析器（DDA）法，具有运算速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀，可实现高次曲线的插补，适合于多坐标联动控制。一般CNC系统常使用这中插补方法。2数字积分法（1）数字积分的基本原理

从几何概念上来说，从时刻t=0到t,函数y=f(t)的积分运算就是求函数曲线所包围的面积S若将0~t的时间划分为时间间隔为Δt的有限区间，当Δt足够小时，可近似得到。上式表明求积分的过程就是用数的累加来近似代替。在数学运算时，若Δt一般取最小的基本单位“1”，上式可简化为：2数字积分法（2）DDA法直线插补

直线OA，起点在原点，终点在A（xe，ye），令v表示动点的移动速度，vx，vy分别表示动点在X轴和Y轴方向上的分速度。2数字积分法（2）DDA法直线插补对Kxe进行m次累加，把Kxe的值存放在被积函数寄存器中，把累加值存放到累加器寄存器中。设累加器的位数为n，最大存数为2n-1，累加运算到一定值（2n）时，累加器必然发生溢出，X轴或Y轴发生溢出脉冲，相应的坐标轴进给一个脉冲当量。积分值=溢出脉冲数+余数2数字积分法（2）DDA法直线插补

直线OA，起点在原点，终点在A（xe，ye），令v表示动点的移动速度，vx，vy分别表示动点在X轴和Y轴方向上的分速度。根据每次增量ΔX、ΔY不大于1，以保证每次分配的进给脉冲不超过1，即需满足：ΔX=Kxe≤1ΔY=Kye≤1累加器的位数为n，最大存数为2n-1，也即xe、ye最大存数为2n-12数字积分法（2）DDA法直线插补一个二进制的数值除以2n后，结果是小数点往前移n位，并不影响寄存器的溢出。所以被积函数寄存器只需存放xe，累加器也只用存入xe的累加值。DDA法直线插补时，不论终点坐标xe,ye的值多大，都必须累加求和m=2n次，插补才算结束。终点判别通常采用累加次数减法计数，运算一次，总的运算次数-1，当运算总次数减为0时，插补结束。例3.3插补第一象限直线OA，起点O(0,0)，终点A（5，3）。取被积函数寄存器分别为Jvx、Jvy，余数寄存器分别为JRx、JRy

，终点计数器为JE，均为三位二进制寄存器。用DDA法直线插被此直线，写出插补过程并绘制插补轨迹。例3.3插补第一象限直线OA，起点O(0,0)，终点A（5，3）。取被积函数寄存器分别为Jvx、Jvy，余数寄存器分别为JRx、JRy

，终点计数器为JE，均为三位二进制寄存器。用DDA法直线插被此直线，写出插补过程并绘制插补轨迹。例3.3插补第一象限直线OA，起点O(0,0)，终点A（5，3）。取被积函数寄存器分别为Jvx、Jvy，余数寄存器分别为JRx、JRy

，终点计数器为JE，均为三位二进制寄存器。用DDA法插补此直线，写出插补过程并绘制插补轨迹。2数字积分法（3）DDA法圆弧插补

第一象限圆弧AB，圆心在原点，半径为R，端点A（xA，yA），B（