第五讲抽样分布与参数估计

第五讲抽样分布与参数估计1【教学目的和要点】

▼通过本讲学习，学生应该掌握构建样本平均数和样本比例的抽样分布以及掌握如何根据样本的信息推断总体的信息。2本讲内容■有关概念■抽样分布■参数估计

♦单一总体均值估计

♦单一总体比率估计

♦两个总体均值之差估计■确定样本容量3有关概念参数与统计量统计误差4参数与统计量参数：反应总体分布特征的指标统称为总体参数，简称参数。常用的有统计量：反应样本分布特征的指标统称为样本统计量，简称统计量。常用5总体参数样本统计量平均数方差比率6统计误差统计误差非抽样误差抽样误差：登记性误差非随机性误差随机性误差可以度量和控制7抽样分布样本统计量的概率分布称为抽样分布。用以描述抽样误差的规律性，是统计推断的理论基础。8样本平均数的概率分布的引出9EAI公司的抽样问题EAI公司的人事主管正在制定一项公司25000名人员的简报。其中包括中层管理人员的人均年薪和公司中已完成管理培训项目的管理人员所占的比率。想知道的指标为：参数：实际可以得到的数据为统计量101112有关统计量的抽样分布单一样本均值的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布样本比率的抽样分布13

的抽样分布单一样本均值的抽样分布正态分布再生定理中心极限定理两样本均值差异的抽样分布14正态分布再生定理

■当总体服从正态分布时(分布规律全部知道)，从中抽取样本容量为n的样本，样本均值一定服从正态分布。

■样本均值的期望值和方差？它们与总体的期望值和方差有何关系样本均值的期望值等于总体均值方差（有退还抽样、无退还抽样)（退还抽样）（不退还抽样）15中心极限定理

■设某总体的元素总量为N，期望值为，标准差为；若从该总体中随机抽取样本容量为n的样本，当n很大（n>30)时，则样本平均数的抽样分布近似为正态分布，即：（退还抽样）（不退还抽样）16两个样本均值之差的抽样分布从两个总体中分别独立的抽取样本容量分别为n1和n2的两个样本，在重复选取容量为n1和n2的样本时，由两个样本均值之差的所有可能形式的相对频数构成它们分布形态，也称为两个样本均值之差的抽样分布.17两个样本均值之差的抽样分布（大样本）两个总体均值之差，即其分布的方差为各自的方差之和，即从而18二项分布概率函数如果X是一个随机变量服从二项分布，样本容量为n，事件发生的概率为p，则其中x=0,1,2,…,n。19二项分布的均值和标准差如果X是一个服从二项分布的随机变量，样本容量为n，成功概率为p，则其均值、方差和标准差分别为：20二项分布的均值和标准差我们有时更加关心出现成功的比率x/n21比率的抽样分布设某二项分布总体，总体比率为，若从该总体中随机抽取样本容量为n的样本，当样本容量足够大（）时，样本比率p的抽样

分布近似为正态分布，即：（退还抽样）（不退还抽样）22样本均值抽样分布总结正态分布非正态分布23参数估计估计方法点估计区间估计单一总体均值估计单一总体比率估计两个总体均值之差估计24参数估计的统计过程总体均值μ=？从总体中选取几项组成一个简单随机样本对样本数据的汇总提供了样本均值的值用的值对μ值进行推断25参数估计案例1

EAI公司的参数估计问题EAI公司的人事主管正在制定一项公司25000名人员的简报。其中包括中层管理人员的人均年薪和公司中已完成管理培训项目的管理人员所占的比率。想知道的指标为：参数：实际可以得到的数据为统计量26参数估计案例2----哈佛大学哈佛大学每年收到7,000个优秀学生的入学申请，申请表中包含了大量申请人的信息。包括个人学术能力测试(SAT)成绩和是否是本州居民。入学主管需要知道下面一些信息：平均SAT成绩本州居民比例27简单随机抽样的数据

No.

Applicant

SATScore

In-State 1BonnieReight 1025 Yes 2 WillieNeilson 950 Yes 3 FannieLennox1090 No 4 DerekClapton 1120 Yes 5 WinonaDriver 1015 Yes . . . . . . . . 50 KevinCostmore

965

No Total49,850 34Yes28统计量29参数估计案例3：

郑州市大瓶装纯水市场估计

1.

估计当前的市场容量2.

预测未来市场的潜力3.

计算各纯水品牌的知名度4.

估计各纯水品牌的覆盖率5.

估计各纯水品牌的市场占有率6.

估计各纯水品牌的满意度7.

中美纯水价格定位30参数估计案例4：都市研究公司该公司是一家消费者研究组织,它设计调查对消费者所使用的大量的产品和服务进行评估。在某一项调研中，该公司调查消费者对A城市某一主要制造商生产的汽车的性能的满意度感兴趣。分发给制造商所生产的一种最大型号小汽车用户的调查表表明，许多人抱怨该车的变速箱过早出现问题。为了更好地了解变速箱的缺陷问题，该公司采用由A城市一家变速箱维修公司所提供的变速箱维修的样本数据31数据(失效前的平均里程)85092.0059465.0032534.0032464.0039323.0094219.0092857.0065605.0064342.0067998.00101769.0121352.074276.0040001.0025066.0069922.0074425.00118444.079294.0086813.0037831.0073341.00138114.085586.0077539.0032609.0077437.0064090.0059902.0089641.00116803.063436.0085861.0061978.0059817.0095774.0069568.0066998.0072069.0077098.0035662.0067202.0053500.0064544.00116269.089341.0085288.0053402.0082256.0088798.0032问题用适当的描述统计方法分析变速箱数据建立变速箱失效汽车总体的在变速箱失效之前行使的平均里程的95％的置信区间。并给出这个区间估计的管理解释。根据一些经历过变速箱失效的车主们的意见来讨论你的统计结果的含义？如果该公司想在误差为5000英里，估计变速箱失效汽车总体在变速箱失效时所行使的均值里程的95％的置信区间，则应该抽取多少条维修记录？为了更充分地评价变速箱失效问题，你还需要收集哪些信息？

33●点估计●区间估计

参数估计的方法

34点估计定义：以实际抽样得到的某一估计量的单一值作为相应总体参数的估计值的估计称为点估计估计量优良性的标准无偏性:有效性:一致性:当样本量增加,估计精度提高35常用的优良估计量我们用来点估计总体均值.s

来点估计总体标准差.

p

来点估计总体比例π.36调查数据家庭用户单位用户样本容量800151用水单位6651用水单位占样本容量的比重8.3%33.8%样本平均月用水量3.26桶43.4桶样本用水量的标准差2.947.2937郑州市大瓶装纯水市场容量的估计

(点估计)

38区间估计区间估计的定义区间估计的原理区间估计的程序单一总体平均数的区间估计单一总体比率的区间估计两个总体均值之差的区间估计39区间估计的定义♦区间估计是在一定的置信系数的保证下，根据统计量得到的一个取值范围去估计总体的参数。40如果有那么有有95.44%的把握估计区间包含总体均值区间估计的基本原理41区间估计的几个关键概念置信系数使人相信区间包含总体均值的概率,一般取0.90,0.95,0.99.它的大小说明估计的把握性的大小(Z=1.651.962.58).置信区间:在一定概率的保证下,包含总体均值的区间,区间的宽窄说明估计精度的大小.区间越宽,估计的精度就小;否则就大.临界值:置信区间的上限和下限注意置信系数和区间宽窄的关系42区间估计的程序选定置信系数抽取一个样本容量为n的样本计算相应的统计量确定统计量的概率分布得到置信区间的临界值得到参数的置信区间43单一总体平均数的区间估计当σ已知时μ的置信区间当σ未知时μ的置信区间大样本小样本44当已知时计算μ的置信区间的步骤选定置信系数抽取一个样本容量为n的样本计算确定统计量的概率分布求置信区间的临界值单一总体平均数的置信区间的临界值为45当未知时的单一总体平均数的区间估计（大样本）

■由于未知，一般情况下用S替代，■单一总体平均数的置信区间的临界值仍为46单一总体平均数的置信区间的临界值为47T分布（背景材料）t分布又称学生分布(STUDENT分布)由英国统计学家威廉西利.戈塞特于1908年提出，他当时受雇于爱尔兰首都的一家啤酒厂，由于该厂不允许雇员用自己的名字发表成果，于是他采用了学生这个笔名发表文章，阐述他发明的小样本理论。48T分布（t分布的性质）1.t分布是对称的，即E（t）=E（z）=0

当样本容量n较小时，t分布的标准差大于1，当时其标准差就趋于1，t分布就近于正态分布，因为此时S和接近。49

T分布（t分布的性质）2.t分布是一个分布族，不同的n（在统计上也称自由度）对应于不同的分布。但它们的均值都等于零。3.与标准正态分布相比。t分布的中心部位较低，两个尾部较高。50z分布t

分布（n=2）t分布n=15t分布与z分布的比较图51单一总体平均数的区间估计举例1

（s已知，总体服从任意分布，大样本）CJF有限公司的参数估计52CJF有限公司的参数估计背景：CJF有限公司是一家专营体育设备和器材的邮购公司，公司努力为顾客提供尽可能好的服务。为了跟踪服务质量，CJF每个月选取顾客的邮购订单组成简单随机样本，公司与样本中每一顾客取得联系并询问顾客对服务水平等一系列问题的评价。顾客的回答用于计算样本中每一顾客的满意得分，得分值从0（最差等级）到100（最好等级）。然后计算样本满意得分的均值。53以往各月的调查显示，虽然每个月顾客满意得分的样本均值都在改变，但是满意得分的样本标准差趋于稳定在数值20附近，于是，我们假定总体标准差σ=20。最近一次CJF对顾客满意程度调查提供了100名顾客的满意得分数据（n=100），满意得分的样本均值=82。问题CJF希望估计最近一次所有顾客的满意得分的均值方法：点估计、区间估计54CJF有限公司平均满意得分的估计82±1.96*282±3.92（78.08，85.92）注意：如何确定100名顾客的满意得分数据样本均值的概率分布55当已知时的区间估计的步骤选定置信系数确定统计量的概率分布抽取一个样本容量为n的样本计算求置信区间的临界值单一总体平均数的置信区间的临界值为56单一总体平均数的区间估计举例2：哈佛大学哈佛大学每年收到7,000个优秀学生的入学申请，申请表中包含了大量申请人的信息。包括个人学术能力测试(SAT)成绩和是否是本州居民。根据以往的数据分析，总体标准差的经验值为76分。入学主管需要知道下面一些信息----平均SAT成绩？方法：简单随机样本一个，容量50人数据处理结果，样本均值为997分。问题：估计7,000个优秀学生的平均SAT成绩57时的单一总体平均数的区间估计举例，教材168页58s未知

大样本时的总体均值区间估计