经济管理中的数学方法第2讲

第二章层次分析法1§2成对比较矩阵与因素排序2设某层的因素为A1,A2,…,An，要计算对上层某因素的权重w1,w2,…wn。记Ai对Aj的重要尺度为aij，则可得到因素A1,A2,…,An的成对比较矩阵A=(aij)。

当w＝（w1,w2,…wn）T已知时，A=(aij)为如下所示的矩阵。3

满足一致性条件:aij×ajk=aik4计算可得

Aw=nw

即为矩阵特征值问题

(A－nI)w

=05其中I为n阶单位矩阵。由线性代数理论，为了有非零解向量w，n必须为A的特征值，对应w为A的特征向量。进一步由一致性条件知A的秩为1，于是A对应零特征值有n－1个线性无关的特征向量，只有一个非零特征值。6

另外A的主对角元之和为n,即为A的特征值之和,于是A的唯一非零特征值为n。

对应A1,A2,…,An的权重向量w为A的最大特征值n对应的单位特征向量。7然而，在解决实际问题时，权重向量w是未知的，必须求出其近似向量w

，。

首先，根据决策者的回答，得到成对比较矩阵A’=(aij)

。8关于比较矩阵A’=(aij)：

作为评价的基础，对某层的与上一层某因素有关系的各因素进行成对比较。如果有n个参加比较的因素，则要作n(n-1)/2次的成对比较。成对比较的结果值一般取为1/9,1/8,…,1/2,1,2,…,8,9等。9得到各层的成对比较矩阵后，可计算出各层因素的权重向量w，：

A’

w

，

=λ’max

w

，（λ’max为A’的最大特征值）。

可以证明λ’max

≥n，λ’max

＝n的充要条件为A’是一致阵。10

一致性条件表明决策者的判断是前后一致的，无矛盾的。但是由于实际情况的复杂性，在许多情况下，根据决策者的回答所构造的成对比较阵不满足一致性条件，此时，作为一种模糊的尺度，引入一致性指标（CI）的概念。11下面分析一下一致性指标的意义。首先A’的n个特征值的和为n，于是上式的分子为除λ’max以外特征值之和的绝对值，即一致性指标表示除λ’max以外的n-1个特征值的平均值的绝对值。矩阵为一致阵时，CI=0。CI的值越大，不一致程度越高。沙旦认为CI的值在0.1以下（有些场合为0.15以下）时，不一致程度在容许范围之内，比较矩阵有效。12§3层次分析法的基本步骤层次分析法要做下面3个阶段的工作。13（1）第1阶段：构造复杂问题的层次结构模型

最上层的一个因素为最终的综合目标。在以下各层中根据决策者的主观判断，确定各因素与上一层因素有无关系。一般除综合目标外的各层每层因素数目最多可允许7个左右。层数则根据问题的结构性质而定，没有特别的界限。最下层为待选方案。14（2）第2阶段：确定各层因素的权重

对某层的与上一层某因素有关系的各因素进行成对比较，可得到各层的成对比较矩阵，由此可计算各层因素的权重。15(3)第3阶段：各层因素的权重计算出来后，最终可计算出待选方案对综合目标的权重，从而得到决策方案。16§4层次分析法应用举例层次分析法的应用领域非常广泛，诸如经济问题、经营管理、能源问题、医疗与保健、纠纷处理、裁军、国际关系、人事与评价、股市与证券、政策决策、社会学、城市规划等。这些问题的共同特点是含有质的因素，必须进行优劣的判断比较，科学决策起着非常重要的作用。但由于定量化的困难，许多问题还未解决。17这里，举四个浅显易懂的例子。例1是层次分析的典型例子，是在同一层上同时考虑各因素的情况；例2为决策者有多人的情况；例3具有多层次的因素，而且从不同立场上进行评价方案的设计；例4是层次分析在效益—成本分析方面的应用。18例1继承人的选定第1阶段

某民营公司经理咨询选择经理继承人的问题。打算现在挑选继承人，进行管理培训，5年或8年以后再就任经理职位。现有3名侯选人，均非公司内的职员。经理认为，公司外的人继承经理职位更好，因为他们呼吸外部的空气，更容易有新的见解。被选定为继承人之后，再让他加入公司也不迟。19下面，就依次介绍一下这三位候选人。首先是A先生，一流大学毕业的高材生，现任一流银行总部的科长，是认真勤奋的学者型。第二位是B先生，虽然只有高中毕业，却是生意场上成功的实业家，即所谓实力派人物。最后一位是C先生，于某大学毕业后，在一家证券公司任职，活跃于投资顾问的岗位上，兴趣广泛，性情温厚，是优秀青年型。20采用层次分析法解决该问题。首先要把握选择继承人的各项条件（因素）。这里，主要有以下5个主要条件，即候选人的实践能力、学历、性格、社交能力、聪明才干。这5个条件是从经理的谈话中推断出来的。这5个条件需同时考虑（属同一层）。因此这一问题的层次结构模型就清楚了。21最上层（第一层）表示综合目标，即继承人的选择，第二层表示5个选择因素，最下层代表3个候选人（A,B,C）。这些因素都是有联系的。用连线表示它们之间的关系。22第2阶段

关于第二、三层的各因素间的成对比较结果，请经理作了回答。首先，进行了第二层关于继承人各项条件的成对比较。23计算可得，上述矩阵的最大特征值为5.112，一致性指标CI=0.028<0.1，结果有效。最大特征值对应的单位特征向量为

w=(0.456,0.183,0.183,0.117,0.061)T24从而得到5个因素的权重向量w。可以看出，经理对继承人的要求，实践能力最重要，其次为学历，性格。25接着，以第二层的条件为评价基准，对第三层的各候选人（A,B,C）进行成对比较。即针对5个条件的任何一个，在调查各候选人实际情况的基础上，成对比较各候选人的重要程度，把比较的结果用数字的形式表示出来。26分别计算出5个成对比较阵的最大特征值及一致性指标CI。5个一致性指标值均在0.1以下，成对比较阵有效。5个最大特征值对应的单位特征向量计算结果如下。27实践能力w1=(0.105,0.637,0.258)T

学历w2=(0.649,0.072,0.279,)T

性格w3=(0.098,0.187,0.715)T

社交能力w4=(0.2,0.2,0.6)T

聪明才干w5=(0.25,0.25,0.5)T

可以看到，关于实践能力，学历及性格，分别为B先生，A先生，C先生最具优势。28以上，得到了第二层因素对第一层综合目标的权重w及第三层（候选人）对第二层各因素的权重w1

～

w5

。29第3阶段

计算出第二、三层因素间的权重向量后，就可进行整个层次的重要性评估。即对于综合目的（继承人的选择），确立各候选人A,B,C的定量的选择标准。30设候选人选择标准的权重向量为X,可由下式