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第八节常系数非齐次

线性微分方程非齐次1方程是对应齐次方程通解结构难点方法二阶常系数非齐次线性如何求非齐次方程特解？待定系数法.的通解2设非齐方程特解为求导代入原方程3综上讨论不是根是单根是重根4注上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数).5解对应齐次方程通解特征方程特征根例(1)求对应齐次方程的通解此题其中6(2)求非齐次方程的特解?代入方程,得对应齐次方程通解7原方程通解为8解此题例1988年考研数学一,8分二阶常系数线性非齐次方程9对应齐次方程通解特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解(2)求非齐次方程的特解解得所以即特征根原方程通解为10(3)求原方程的特解(求函数y的解析表达式)且,12-=¢xy11由题意,得即12联立将之代入通解得所以,函数y的解析表达式为131989年考研数学一,3分提示根椐线性微分方程的性质,可先求方程和的特解,两个解的和就是原方程的特解.特解.的一个是微分方程1)(+=-¢¢xeyy14微分方程

的特解

的形式为

练习xexyyy2323-=+¢-¢¢15解特征方程特征根对应的齐次微分方程023=+¢-¢¢yyyxyyy323=+¢-¢¢xeyyy223-=+¢-¢¢16练习解对应齐次方程通解特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解此题其中1992年考研数学一,6分17(2)求非齐次方程的特解对应齐次方程通解18代入方程,原方程通解为得19

欧拉公式2021

欧拉公式22是单根wli±23解例(1)求对应齐次方程特征根其通解这是二阶常系数非齐次线性方程.且特征方程的通解24(2)求非齐次方程故设代入方程,比较系数.得

这里特征根非齐次方程特解为是特征根.原方程通解为的特解.251989年考研数学二,7分解两端再对x求导,得积分方程微分方程积分方程练习其中f为连续函数,求f(x).26即即这是二阶常系数非齐次线性方程.27初始条件初始条件得由ò--=xttftxxxf0,d)()(sin)(28其通解(1)对应齐次方程特征方程特征根初始条件是特征根.29(2)设原方程的特解为

解得则方程的通解为由初始条件,得所以,.cos2sin21)(xxxxfy+==30三、小结待定系数法31思考题1990年考研数学一,5分解对应齐次方程通解特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解此题其中(0次多项式),(二重)32(2)求非齐次方程的特解且所以，原方程通解为◆特征根不是特征根.代入方程,得33所以，原方程通解为◆特征根是二重特征根.代

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