第六章MicrosoftPowerPoint演示文稿

第6章机械振动基础

6–1简谐振动

6.2谐振动的合成*6.3阻尼振动和受迫振动简介第6章机械振动基础振动任一物理量在某一定值附近往复的变化。机械振动物体在其稳定平衡位置附近所做的往复运动。周期和非周期振动例如：一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等.其运动形式有直线、平面和空间振动。6–1简谐振动物体振动时,若决定其位置的坐标按余弦（或正弦）函数规律随时间变化,这样的振动称为简谐振动。谐振子作简谐运动的物体。简谐运动复杂振动合成分解一、简谐振动6–1简谐振动弹簧振子的振动产生振动的原因：弹性恢复力、惯性。自由振动：物体只在弹性恢复力作用下所作的振动。（1）受力特点线性恢复力（2）动力学微分方程令简谐运动的微分方程简谐运动的运动方程速度加速度图线表示法简谐运动的三项基本特征讨论1.振幅2.周期、频率弹簧振子周期周期图二、简谐运动的振幅、周期、频率和相位由初始条件决定。周期频率角频率周期和频率取决于振动系统本身的性质。（2πs内振动的次数）3.相位物理意义描述质点t

时刻的运动状态。相位在内变化,质点无相同的运动状态；初相位描述质点初始时刻的运动状态。两个振动之间的相位之差。4.相位差

（1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间。x2超前同步反相

（2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异。利用初始条件三、振幅和初相的确定得振幅和初相例1

物体沿x轴作谐振动，振幅为12cm，周期为2s，当t=0时，物体的坐标为6cm，且向x轴正方向运动，求(1)初相；(2)

t=0.5s时，物体的坐标、速度和加速度；(3)

物体在平衡位置，且向x轴负方向运动的时刻开始计时的初相，并写出运动方程。解

设选向右为x轴的正方向，并设物体的运动学方程为又当t=0时：x0=6cm，v0>0。或因为v0>0，所以运动学方程为(1)

根据题意知：A=12cm,负号表示t=0.5s时，物体的速度和加速度方向皆与x

轴正方向相反。(2)

t=0.5s时，坐标、速度和加速度分别为或因为v0<0，所以运动学方程为(3)根据题意，当t=0时：x0=0，v0<0，将这些条件代入运动学方程，得l0例2

一劲度系数为k的轻质弹簧,上端固定,下端悬挂一质量为m的物体M。平衡时弹簧将伸长一段距离δst

,称为静止变形,见图。如果再用手拉物体,然后无初速地释放。解

以物体M为研究对象,它共受重力P和弹性回复力f

两个力的作用。试写出物体M的运动微分方程，并确定它的运动规律。当物体处于平衡位置时l0在运动过程中，物体所受的合力FR为根据牛顿第二定律，得令简谐振动k1k2kk即弹簧串联的等效劲度系数为例3

一重为P的物体用两根弹簧竖直悬挂，各弹簧的劲度系数标明在图上,求图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率。解

对两弹簧串联情况，弹簧的静止形变为所以，系统的固有频率为k1k2kk同理，对两弹簧并联情况例4单摆的运动分析。取逆时针方向为角位移θ的正向，重力的切向力在θ很小时，故l摆球的切向加速度由牛顿第二定律，得或与弹簧振子的微分方程比较在角位移θ很小时,单摆的振动是简谐运动。角频率周期频率..oclθ时刻t,复摆所受重力矩摆角很小时，故例5复摆的运动分析。由转动定律得即与弹簧振子的微分方程比较当θ很小时,复摆的运动是简谐运动。角频率周期频率四、谐振动的能量以弹簧振子为例设弹簧原长处弹性势能为零弹性回复力是保守力，作简谐振动的系统机械能守恒。机械能动能势能平均动能平均势能谐振动在一个周期内的平均势能和平均动能相等。例6

杆OA的质量可忽略，杆的一端用铰链连接,使杆在铅直面内摆动，杆的另一端固定有质量为m的摆球。当摆在铅直位置时,与摆连接的两根水平放置的轻弹簧都处于没有变形的状态,假定摆在小角度摆动时，

角按照余弦规律随时间变化。试求当摆在铅直位置时的固有频率。两根弹簧的劲度系数均为k,各种尺寸皆标在图上。kkla取水平面MN为重力零势能面，则摆在最低位置时具有的机械能E1为摆到达最大偏离位置时，速度为零，取弹簧原长处为弹性势能的零势能点,角很小时，摆的机械能E2为解

用机械能守恒定律较方便。kkla根据机械能守恒定律，得摆角很小时，摆的运动为谐振动，则代入(1)式，得五、谐振动的旋转矢量表示法旋转的矢量旋转矢量的端点在x

轴上的投影点的运动为简谐振动。长度为A，以O为原点作角速度为ω的逆时针旋转。t

时刻t=0

时刻旋转矢量与谐振动的对应关系的长度

——谐振动的振幅A

谐振动的角频率ω的角速度

——谐振动的初相位

|

t=0与x轴的夹角

——例7

一音叉振动的角频率

=6.28×102rad/s，音叉尖端的振幅为1.0mm。试用旋转矢量法求以下三种情况的初相并写出运动方程(1)

当t=0时,音叉尖端通过平衡位置向x轴正方向运动；(2)

当t=0时,音叉尖端在x

轴的负方向一边且位移具有最大值;(3)

当t=0时,音叉尖端在x

轴的正方向一边，离开平衡位置距离为振幅之半，且向平衡位置运动。

=3/2解

(1)

根据题意，t=0时,旋转矢量的位置如图所示。

=

=/3(2)t=0时,旋转矢量的位置如图所示。(3)t=0时,旋转矢量的位置如图所示。例8

两质点沿x轴作同方向同振幅的谐振动,其周期均为5s，当t=0时,质点1在处向x轴负方向运动，而质点2在-A处。试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差,以及两个质点第一次经过平衡位置的时刻。解

两质点的谐振动方程分别为向x轴负方向运动,其旋转矢量A1如图所示。质点1在t=0

时，由图得初相角1

=/4

同理,旋转矢量A2如图所示。初相角2

=

两质点的初相差

2-1

=-/4=3/4质点2的相位比质点1的相位超前3/4。由图得，质点1第一次经过平衡位置的时刻为质点2第一次经过平衡位置的时刻为t1

=T/8=0.625st2

=T/4=1.25s一、同方向同频率谐振动的合成6.2谐振动的合成方法一解析法令其中方法二旋转矢量法（1）相位差讨论相互加强（2）相位差相互削弱一般情况相位差相互加强相互削弱相位差合成谐振动的振幅求合成谐振动的初相位、振幅和振动方程。

1

=0，

2=，A1=4cm，A2=2cm例1

质点同时参与的两个谐振动解

合成运动仍是谐振动合成谐振动的初相合成谐振动的振动方程为旋转矢量法也可得到同样的结果。合振动合振幅二、同方向不同频率谐振动的合成、拍合振动不再是简谐振动。在A1+A2和

之间周期性变化。——振幅调制若当2

1

时,

2

12+1。合振动可看作是振幅缓变的近似简谐振动。振幅部分频率部分拍的现象

拍频

单位时间内振幅大小变化的次数，即振动角频率（拍在声学和无线电技术中的应用）*三、两个相互垂直谐振动的合成合振动1.两个同频率相互垂直谐振动的合成（1）=21=2k

时讨论轨迹为直线。（2）=(2k+1)

时轨迹为直线。（3）=k+/2

时轨迹为正椭圆。（4）其他轨迹为倾斜椭圆，倾斜程度随而不同。四、两个频率不同、相互垂直谐振动的合成测量振动频率和相位的方法。ω1/ω2轨迹周期性整数闭合曲线周期性运动非整数非闭合曲线非周期性运动李萨如图*6.3阻尼振动和受迫振动简介一、阻尼振动Ff1.受力特点线性恢复力2.动力学微分方程粘滞阻力令n

—阻尼常量阻尼振动运动方程角频率振幅衰减随时间按指数衰减。三种阻尼阻尼振动位移时间曲线（2）大阻尼（1）小阻尼（3）临界阻尼三种阻尼情况二、受迫振动1.受力特点线性恢复力粘滞阻力周期性驱动力2.动力学微分方程令运动方程受迫振动微分方程的稳态解为为驱动力角频率。为受迫振动与驱动力之间的相位差。受迫振动是谐振动，其角频率与驱动力的角频率相同。受迫振动的振幅A，以及它与驱动力间的相位差，都与起始条件无关。当驱动力的频率为某一特定值时，受迫振动的振幅将达到极大值的现象。3.共振求极值共振频率共振振幅ω0为固有频率。共振频率大阻尼小阻尼0阻尼阻尼系数n

越小，共振角频率r越接近于系统的固有频率0

，同时共振振幅Ar也越大。

1940年11月,华盛顿州的TacomaNarrows桥,由于桥面刚度太差,在45mph风速的情形下,产生“GallopingGertie”(驰振）.第6章小结一、简谐振动的运动方程三个基本特征量：振幅A（取决于振动的能量）；角频率ω（取决于振动系统本身的性质）；初相位

（取决于初始时刻的选择）。二、简谐振动的相位，它决定了t时刻简谐振动的状态。三、简谐振动的运动微分方程四、由初始条件确定振幅和初相五、弹簧谐振子的能量动能：势能:机械能：平均能量：六、谐振动的旋转矢量表示的长度表示谐振动的振幅A。

的角速度表示谐振动的角频率ω。|

t=0与x

轴的夹角表示谐振动的初相位。

旋转矢量的长度为A，以O为原点作角速度为ω的逆时针旋转，其端点在x

轴上的投影点的运动为