第2-3章 杆件的内力和内力图及应力变形

例图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA=5F、FB=8F、FC=4F、FD=F的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。FN1ABCDFAFBFCFDO解：求OA段内力FN1：设截面如图ABCDFAFBFCFDFN2FN3DFDFN4ABCDFAFBFCFDO求CD段内力：

求BC段内力：求AB段内力：FN3=5F，FN4=FFN2=–3F，BCDFBFCFDCDFCFDFN2=–3F，FN3=5F，FN4=F轴力图如下图示FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDOFN3=5F，FN4=FFN2=–3F，例

等直杆BC,横截面面积为A,材料密度为r,

画杆的轴力图，求最大轴力解：1.

轴力计算2.轴力图与最大轴力轴力图为直线§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力例题2.2图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象45°12FBF45°目录§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2、计算各杆件的应力。FABC45°12FBF45°目录例

已知简单构架：杆1、2截面积A1=A2=100mm2，材料的许用拉应力[st]=200MPa，许用压应力[sc]=150MPa

试求：载荷F的许用值[F]解：1.轴力分析2.利用强度条件确定[F]（A1=A2=100mm2，许用拉应力[st]=200MPa，许用压应力[sc]=150MPa）例

已知：l,h,F（0<x<l）,AC为刚性梁,斜撑杆BD

的许用应力为[s

].试求：为使杆BD重量最轻,q的最佳值.斜撑杆，解：1.斜撑杆受力分析2.q最佳值的确定由强度条件欲使VBD最小§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力例题2.2

悬臂吊车的斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，载荷W=15kN。当W移到A点时，求斜杆AB横截面上的应力。解：当载荷W移到A点时，斜杆AB受到拉力最大，设其值为Fmax。讨论横梁平衡目录0.8mABC1.9mdCA§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力由三角形ABC求出斜杆AB的轴力为斜杆AB横截面上的应力为目录0.8mABC1.9mdCA例试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的环向拉应力。已知：

可认为径向截面上的拉应力沿壁厚均匀分布解：ddbp根据对称性可得，径截面上内力处处相等dyFN

FN

ddppFR

jdjdyFN

FN

pFR

三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算1、斜截面上应力确定(1)内力确定：(2)应力确定：①应力分布——均布②应力公式——FNa=FFFFFFNaFNa2、符号规定⑴、a：斜截面外法线与x轴的夹角。由x轴逆时针转到斜截面外法线——“a”为正值；由x轴顺时针转到斜截面外法线——“a”为负值⑵、σa：同“σ”的符号规定⑶、τa：在保留段内任取一点，如果“τa”对该点之矩为顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。aF3、斜截面上最大应力值的确定,横截面上。,450斜截面上。FFNa例分段求解:试分析杆AC的轴向变形

DlF2FaaABCFNxF3F例：已知杆件的E、A、F、a。求：△LAC、δB（B截面位移）εAB

（AB段的线应变）。解：1)画FN

图：2)计算：负值表示位移向下例已知：l=54mm，di=15.3mm，E＝200GPa，

m=0.3，拧紧后，Dl

＝0.04mm。试求：(a)螺栓横截面上的正应力

s

(b)螺栓的横向变形Dd解：1)求横截面正应力2)

螺栓横向变形

螺栓直径缩小0.0034mm例题2.6

AB长2m,面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象2、根据胡克定律计算杆的变形。AF300§2.4轴向拉伸或压缩时的变形斜杆伸长水平杆缩短目录3、节点A的位移（以切代弧）§2.4轴向拉伸或压缩时的变形AF300目录§2.5轴向拉伸或压缩的应变能在范围内,有应变能（）：固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能。目录1lD§2.6拉伸、压缩超静定问题约束反力（轴力）可由静力平衡方程求得静定结构：目录§2.6拉伸、压缩超静定问题约束反力不能由平衡方程求得超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高超静定度（次）数：约束反力多于独立平衡方程的数独立平衡方程数：平面任意力系：3个平衡方程平面共点力系：2个平衡方程目录§2.6拉伸、压缩超静定问题1、列出独立的平衡方程超静定结构的求解方法：2、变形几何关系3、物理关系4、补充方程5、求解方程组，得例题2.7目录图示结构，1、2杆抗拉刚度为E1A1

，3杆抗拉刚度为E3A3，在外力F作用下，求三杆轴力？§2.6拉伸、压缩超静定问题例题2.8目录在图示结构中，设横梁AB的变形可以省略，1，2两杆的横截面面积相等，材料相同。试求1，2两杆的内力。1、列出独立的平衡方程解：2、变形几何关系3、物理关系4、补充方程5、求解方程组得§2.7温度应力和装配应力一、温度应力已知：材料的线胀系数温度变化（升高）1、杆件的温度变形（伸长）2、杆端作用产生的缩短3、变形条件4、求解未知力即温度应力为目录§2.7温度应力和装配应力二、装配应力已知：加工误差为求：各杆内力。1、列平衡方程2、变形协调条件3、将物理关系代入解得因目录mm

T1、扭转杆件的内力（截面法）mmT取右段为研究对象：内力偶矩——扭矩取左段为研究对象：§2.8扭矩及扭矩图2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。T+T-

例1一传动轴如图，转速n=300r/min；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW。试作轴的扭矩图。

3、内力图（扭矩图）表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。扭矩图作法：同轴力图：一、计算作用在各轮上的外力偶矩解：M1

M2

M3

M4

ABCD二、分别计算各段的扭矩221133M1

M2

M3

M4

ABCDT111xM2AT2AM2

BM3

22xT333DM4

x扭矩图Tmax=9.56kN·m在BC段内M1

M2

M3

M4

ABCD4.789.566.37T图(kN·m)（m－轴单位长度内的扭力偶矩）例2试分析图示轴的扭矩表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图1、求约束反力2、截面法求扭矩一、弯曲实例工厂厂房的天车大梁：§2.9梁的平面弯曲FF火车的轮轴：FFFF楼房的横梁：阳台的挑梁：二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。主要产生弯曲变形的杆---梁。三、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中心）。变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。纵向对称面MF1F2q平面弯曲静定梁的分类（三种基本形式）M—集中力偶q(x)—分布力1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：—集中力Fq—均布力LLLL（L称为梁的跨长）FalAB一、弯曲内力的确定（截面法）：[例]已知：如图，F，a，l。

求：距A端x处截面上内力。FAYFAXFBYFAB解：①求外力（支座反力）FAX=0以后可省略不求梁的内力——剪力与弯矩ABFFAYFAXFBYmmx②求内力FsMMFs∴

弯曲构件内力：－剪力，－弯矩。FAYACFBYFC研究对象：m-m截面的左段：若研究对象取m-m截面的右段：ABFFAYFAXFBYmmxFsMMFs1.弯矩：M

构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。AFAYCFBYFC2.剪力：Fs

构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。二、弯曲内力的正负号规定:

①剪力Fs

:

②弯矩M：

Fs(+)Fs(+)Fs(–)Fs(–)M(+)M(+)M(–)M(–)1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122[例]：梁1-1、2-2截面处的内力。解：（1）确定支座反力RARB(2)1-1截面左段右侧截面：2--2截面右段左侧截面：RA三、剪力方程、弯矩方程：

注意：不能用一个函数表达的要分段，分段点为：集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。剪力方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。LqAB(-)F(x)xF解：①求支反力②写出内力方程③根据方程画内力图[例]列出梁内力方程并画出内力图。FABFAYMAxM(x)-FL注意：弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。例

图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程xFBFAFAM(x)FS(x)xAqBlAqql

2FS

ql28l/2M3、作剪力图和弯矩图BlAq*载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称*剪力为零的截面弯矩有极值。例

图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程——需分两段列出BFBFAxlAFabCAC段CB段FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAFabC3、作剪力图和弯矩图FS

FblxFblMxFablBFBFAxlAFabCFS

FblxFblMxFabl*在集中力F作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折xlAFabC例图示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解:

1、求支反力Me

FA

FBBlACab2、列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：弯矩方程——两段：AC段：CB段：FA

FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab3、作剪力图和弯矩图b>a时发生在C截面右侧FslxMelMxMealMeb*集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。BlACab解：1、支反力2、写出内力方程1kN/m2kNABCD1m1m2mx1x3x2FAYFBY[例]

画出梁的内力图。3、根据方程画内力图1kN/m2kNABCDFAYFBYxFs(x)x2kN2kN2kN.m2kN.mM(x)§2-7剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系1、支反力：LqFAyFBy2、内力方程3、讨论如下x对dx

段进行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs

(x)Fs(x)M(x)dxAy剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)M(x)dxAy弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。Fs(x)+dFs

(x)q、Fs和M三者的微分关系二、微分关系的应用---作Fs图和

M图（用于定形）2、分布力q(x)=常数时1、分布力q(x)=0时

（无分布载荷）Fs图：M图：

——剪力图为一条水平线；

弯矩图为一条斜直线。——剪力图为一条斜直线；弯矩图为一条二次曲线。（1）当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；

弯矩图为上凸的二次曲线。（2）当分布力的方向向下时Fs图：M图：M(x)——剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凸的二次曲线。Fs图：M图：M(x)控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。三、简易法作内力图：

利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值利用积分关系定值基本步骤：1、确定梁上所有外力（求支座反力）；2、分段3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状；4、确定控制点内力的数值大小及正负；5、画内力图。利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积积分关系:[例]

用简易作图法画下列各图示梁的内力图。左端点：剪力图有突变，突变值等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。qa–xaaqaq解：1、确定支反力（可省略）AB：BC：2、画内力图Fym,；q>0,；Mqa2(Fs<0,所以M图向负方向斜(q>0,所以Fs图向正方向斜)(积分关系FsB=FsA+0)MC=MB+(-1/2qaa)=-qa2–1/2

qa2MB=MA+(-qaa)=0-qa2)[例]画组合梁的剪力与弯矩图组合梁,需拆开,以分析梁的受力1.受力分析特点：铰链传力不传力偶矩，与铰相连的两横截面上,M=0,FS不一定为零2.画FS

图－水平直线3.画M

图－直线MFa/2-Fa/23Fa/2例:试作图所示悬臂刚架的内力图。悬臂刚架例题20kNCDFNCDMCDFSCD20kNCMCEFsCEFNCEBCD5kN20kNFsBCFNBCMBCBCD20kN5kNMBAFNBAFSBAABCD20kN5kNFsABFNABMABM图(单位:kN.m)3050302020只有两杆汇交的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆端弯矩必大小相等，且同侧受拉。M图(单位:kN.m)3050302020简支刚架例题例:试作图示简支刚架的内力图。2m3m3m6m10kN6kN20kN/mECDAFBFBxFByFAy然后取各杆段为隔离体，分别计算各杆端的内力。最后，根据各杆端内力作出内力图。解：简支刚架的内力计算一般先取整个刚架为隔离体，利用平衡条件求出支座反力。（1）求支座反力取整个刚架为隔离体，利用平衡条件有ΣFx＝0：

FBx＝16kN（←）ΣMB＝0：FAy＝47kN（↑）ΣMA＝0：

FBy＝73kN（↑）2m3m3m6m10kN6kN20kN/mECDAFBFBxFByFAy（2）求杆端内力[CE段]MCE＝（6×2）kN·m＝12kN·m（左拉）FSCE＝6kNFNCE＝0[AC段]MCA＝（10×3）kN·m＝30kN·m（左拉）FSCA＝－10kNFNCA＝－47kNFSCE6kNMCEFNCEECFNCAMCAFSCACA47kN10kN[C结点]由ΣM＝0、ΣFy＝0和ΣFx＝0得MCD＝MCA–MCE＝18kN（上拉）FSCD＝－FNCA＝47kNFNCD＝FSCA–FSCE＝－16kN以此类推可以求得其余各杆端内力。MCDFNCEMCEFNCAFNCDFSCDFSCAFSCEMCACFNDCFNCDFQDCFQCDMCDMDCC20kN/mD（3）根据杆件内力的变化规律与特点作出刚架的内图。++––+647731610

FS图（单位kN）–––471673

FN图（单位kN）96961830

M图（单位kN·m）1290三铰刚架例题例:试作图所示三铰刚架的内力图。6m2m4m4m20kN/mABCDEa解：（1）求支座反力取刚架整体为隔离体ΣMA＝0：FBy=80kNΣFy＝0：FAy=80kNΣFx＝0：FAx=FBx取铰C右边部分为隔离体ΣMC＝0：FAx=FBx

=20kN6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNa（2）求杆端内力取AD段为隔离体ΣMD＝0：MDA=120kN·m（左拉）ΣFx＝0：FSDA=–20kNΣFy＝0：FNDA=–80kNFNDAMDAFSDADA20kN80kN6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNa取结点D为隔离体6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNaDFNDAMDAFSDAFNDCMDCFSDCΣMD＝0：MDC=120kN·m（外拉）沿FNDC方向应用投影方程有FNDC=–20cosα–80sinα=-53.6kN沿FSDC方向应用投影方程有FSDC=62.6kN取DC段为隔离体，沿FNDC方向应用投影方程有FNDC=（–53.6+20×4sinα）kN=–17.8kN沿FSDC方向应用投影方程有FSDC=(62.6–20×4cosα)kN=–8.9kN6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNa20kN/mDCMCDFNCDFSCDFsDCFNDCMDCa同理，另一半刚架的各杆端内力为MEC=120kN·m（外侧受拉）FNEC

=

–53.6kN

FSEC=–62.6kNMEB=120kN·m（右侧受拉）FNEB

=

–80kN

FSEB=20kN6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNa（3）作内力图弯矩图120120120-2.5120M图(单位:kN.m)-2.56m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNa剪力图轴力图20-+62.6-62.58.98.9-+20+FS图(单位:kN)-80-53.617.8--53.6FN图(单位:kN)80例:试作图示组合刚架的内力图。6m4.5m1.5m20kN/m4.5m10kN/mABC