第5讲-考研高等代数选讲之线性空间rtf

第五讲线性空间线性空间是维向量空间的推广。线性空间是在不考虑集合的对象，抽去它们的具体内容来研究规定了加法和数乘的集合的公共性质，因此，线性空间具有高度的抽象性和应用的广泛性学习时要深入理解各个基本概念及其相互之间的联系，养成从定义出发进行严格推理的习惯。知识脉络图解集合与映射线性子空间基本性质基与维数元素的坐标线性空间的定义生成子空间基变换与坐标变换子空间的交与和子空间的直和线性空间分解为子空间的直和同构映射线性空间的同构向量空间重点、难点解读线性空间是我们第一次用公理化的方法来定义的数学结构，即将一个具有加法与数乘运算且这些运算封闭，并满足八条算律的集合定义为线性空间。应该说这是在数学思想方法上是一次新的飞跃。有了这一概念，我们就可以用统一的方法来处理许多数学对象。本章的重点之一是线性空间的基与维数。因为在确定了有限维线性空间的基之后，一方面明晰了线性空间的结构（由基生成整个线性空间），另一方面将线性空间中抽象的元素及规定的运算与中具体的向量及向量的运算相对应，因此可归结为对中向量的讨论，即它们具有相同的代数结构。本章的另一个重点与难点是子空间的和与直和。能够将一个线性空间分解为若干个子空间的直和，则这个线性空间的研究就归结为若干个较简单的子空间的研究。应掌握直和的概念和等价条件。一、线性空间的判定1、线性空间的定义对于线性空间的定义，我们应注意以下几点：①线性空间具有一般性，其中的元素不一定是通常意义下的向量，可以是数、矩阵、多项式、函数等。②线性空间具有抽象性，这主要体现在两个运算上，其中加法与数乘未必就是我们所熟悉的数、矩阵、多项式、函数的加法与数乘运算，之所以这样称呼，是因为所定义的这两种运算满足通常的加法与数乘运算所具有的运算规律。在同一非空集合及同一数域上按不同规则来定义这两种运算，所构成的线性空间是不同的。③线性空间定义中，当取不同的数域时，线性空间的定义形式不改变，但线性空间中的一些性质，如线性相关性、维数等，一般要改变。要验证一个非空集合是线性空间，除了需要验证其元素对所规定的加法与数乘运算封闭外，还需逐一验证这两种运算应满足的八条算律；而要否定一个非空集合是线性空间，只要说明两个封闭性及八条算律中有一条不成立即可。

2、线性空间的简单性质（1）零元素是唯一的；（2）任意元素的负元素是唯一的；（3）（4）如果，则或(5)运算律都成立，交换律，结合律，分配律，消去律。（1）V是实数域上的线性空间；并指出什么函数是零元素；的负元素是什么函数；（2）证明：V不是有限维线性空间。证首先可证V关于加法与数乘封闭。显然，和仍为定义在闭区间上的实函数，所以，再验证加法应满足的4条算律：有例1、设V是定义在闭区间上所有实函数的集合，在V上定义的加法为：对为函数定义实数乘函数为这4条中，只证，对，有最后验证数乘满足的4条算律：也只证第一式。对，有规定零函数为则规定的负元素为则综上即证V是R上的线性空间，零元素是零函数，即的负元素为（2）下证，即证存在任意多个线性无关的函数。令即V不是有限维线性空间。则可证线性无关，由于任意大，所以而故例2、设是数域P上的线性空间，对规定（1）证明：关于以上运算构成P上的线性空间；（2）设，求证（1）由加法的定义知对加法封闭，并容易验证加法满足交换律与结合律。且设分别是中的零元，则是的零元。对存在使得其次由数乘的定义知对数乘封闭，且都成立。所以是P上的线性空间。（2）设是的一组基，是的一组基。令先证个向量，线性无关。令即于是故线性无关。又对，有，其中有从而即可由线性表示，它们为的一组基，从而二、、线性空间的基与维数设V是数域P上的线性空间。如果V中有个元素线性无关，且，可由唯一线性表示，即则称为V的一组基，称为线性空间V的维数，称在基下的坐标。记为设是线性空间V中的一组元素，则且元素组的任一极大线性无关组都是生成子空间的基。设W是数域P上维线性空间V的一个维子空间，是W的一组基，则这组元素必可扩充成V的一组基。即在V中必可找到个元素使得是V的一组基。例1、已知向量空间（1）求V的基和维数；（2）求V的一组标准正交基。解由V的构成可知，V是4元齐次线性方程组的解空间，它的基就是该方程组的基础解系。因为故它的基础解系为所以，V是2维向量空间，是V的一组基。由Schmidt正交化方法，可求得V的标准正交基例2、设线性空间V中的元素组线性无关。求元素组生成的线性空间W的一组基以及W的维数。解令因为又则线性相关。由于A的左上角有一个3阶子式不为零，故线性无关。所以，为W的一组基，且解设和的解空间分别为因为的解一定是的解，此即又有，根据题设知，例3、设方阵与的秩相等，证明：元线性方程组和同解。所以故此即结论成立。例4、若以表示实系数多项式，试证：是实数域上的线性空间，并求出它的一组基。证记为实系数多项式的全体，显然是R上的线性空间。有从而即证W是的子空间。从而W为实数域上的线性空间。因为，所以W非空。故任取，则由知即代入得令①且由于所以由①式表明可由线性表示。下证线性无关。令整理得由线性无关得，故线性无关。综上可知为W的一组基，且三、线性子空间的判定1、线性子空间的概念设V是数域P上的线性空间，W是V的一个非空子集合，如果W对于V的两种运算也构成P上的线性空间，则称W为V的一个线性子空间。由V的一组元素的所有可能的线性组合构成的集合构成V的一个子空间，称之为由生成的子空间，记为验证线性空间V的非空子集W是否构成子空间，只要验证W对于V的两种线性运算的封闭性。2、线性子空间的有关结果（1）如果数域P上的线性空间V的非空子集W对于V的两种线性运算封闭，即对于任意有又对于任意有，则W是V的子空间。（2）设（Ⅰ）：和（Ⅱ）：是线性空间V中的两组元素，如果元素组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则而的充分必要条件是元素组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。3、子空间的和设与是线性空间V的两个子空间，集合称为与的和，记为（3）设和是线性空间V的两个子空间，则它们的交也是V的子空间。注两个子空间的并一般未必是子空间。（4）真子空间和平凡子空间注意：（2）维数定理设和是线性空间V的两个子空间，则3、求子空间的交与和的基与维数的方法设和是线性空间V的两个子空间，为求出与的基与维数，一般先将与用生成子空间来表示，即此时易知2、子空间的和的有关结论（1）设与是线性空间V的两个子空间，则也是V的子空间。为求的基与维数，可设，即且，于是从而可见问题转化为确定满足上述条件的和另外，也可利用维数公式可见求的基与维数可转化为求元素组的极大线性无关组与秩。例1、设是数域P上全体维向量组成的线性空间，证明：的任意子空间W，必至少是一个元齐次线性方程组的解空间。证设，取W的一组基，则其中为维列向量。令则，作齐次线性方程组可得它的基础解系（其中为维列向量），则有即令作齐次线性方程组由于，所以的解空间是维的。由知为元齐次线性方程组的解空间的一组基。故W是的解空间。例2、设是维线性空间V的真子空间。证明V中必有向量不在所有个空间中。证对用数学归纳法。时，结论显然正确。若，得证。否则，，必存在。我们证明存在正整数使对所有的成立。设结论对成立，证明结论对亦成立。由归纳假设，存在首先注意。否则，我们有，矛盾。我们证明上述断言成立，只需证明存在正整数，使对成立即可。否则对任意的正整数，都存在使。取是个不同的正整数，则是中的某个数。于是必存在，使，故即其中于是这与矛盾。例1、若维线性空间的两个子空间的和的维数减1等于它们交的维数。证明：它们的和与其中之一个子空间相等，它们的交与其中另一个子空间相等。证设这两个子空间分别为和，由假设可得①设，由式①有于是只有两种可能：（1）当时，有但从而此时故即证结论。（2）当时，由式①知但从而故于是结论也得证。综上可知结论成立。例2、设V是复数域上维线性空间，和各为V的维和维子空间，试求之维数的一切可能值。解设的一组基，再取的一组基则而故解：四、求过渡矩阵及坐标1、过渡矩阵的概念设V是数域P上的维线性空间，和是V的两组基，它们之间的关系式称为基变换公式。基变换公式可形式地写为其中称为由基到的过渡矩阵。2、过渡矩阵的有关结论（1）过渡矩阵都是可逆的；3、坐标变换公式（2）如果由基到的过渡矩阵为，则由基到的过渡矩阵为设V是数域P上的维线性空间，是由V的基到基的过渡矩阵，则V中元素在基下的坐标和在基下的坐标满足关系式或例2、设的两组基为（Ⅰ）（Ⅱ）（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）求在基（Ⅰ）与基（Ⅱ）下有相同坐标的矩阵。解（1）取的基，则有其中于是即由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为（2）设在基（Ⅰ）到基（Ⅱ）下的坐标为则由坐标变换公式得，即可求得该齐次线性方程组的通解为（任意）于是（任意）例3、设和为线性空间的两组基，且又对有记有解应选这是因为令则有从而，有即故五、子空间直和的判定与证明1、直和的概念设与是线性空间V的两个子空间，如果与的和满足条件①②则称这个和为直和，记为在判定两个子空间与的和是直和时，应熟练应用直和的等价条件，特别是或例1、设阶方阵两两可交换，且满足记的解空间为，的解空间为，的解空间为。证明：证对任意，有，且其中注意到两两可交换，从而可见故再证为直和。任取，即且，也即则可见故例2、设V是数域P上的一个维线性空间，是V的一组基，用表示由生成的子空间；令（1）证明：是V的子空间；（2）证明：证因为，所以，是V的非空子集。有，且从而即证是V的子空间。（2）令，则。因为所以取，先证它们线性无关。设整理得由是基得。故线性无关。对，其中，有于是即可由线性表示，故再证对，有其中于是由是基得即有从而即，故即证于是又因为且例3、设P是数域，和分别是齐次线性方程组和的解空间。证明：的充分必要条件是只有零解。解充分性若只有零解，则于是有即所以故又因为且故必要性已知若有非零解则即这与矛盾。从而只有零解。六、线性空间同构的判断与证明1、同构的概念设与是数域