lesson5(2),6 第四章 伪随机序列

卫星导航定位理论与方法授课教师：王菊北京理工大学雷达技术研究所第四章伪随机序列

在扩频通信系统中，信号频谱的扩展是通过扩频码来实现的。扩频系统的性能与扩频码的性能有很大关系。早在20世纪40年代末，Shannon提出编码定理：只要信息速率小于信道容量，则总可以找到某种编码方法，在码周期相当长的条件下，能够几乎无差错的从受到高斯噪声干扰的信号中复制出原发信息。两个条件：一是信息速率小于信道容量，二是编码的周期足够长。Shannon指出:为了实现有效的通信，应采用具有白噪声的统计特性的信号来进行编码。北京理工大学雷达技术研究所王菊白噪声特点白噪声是一种随机噪声，它的瞬时值服从高斯分布（也称为正态分布），功率谱在很宽的频带内都是均匀的，而它的自相关函数具有类似δ函数的形状。不同的白噪声之间相互独立，其互相关函数为零。1.瞬时值服从正态分布；2.功率谱在全频带内是均匀的；3.具有极良好的相关特性。北京理工大学雷达技术研究所王菊在接收机中为了解扩还应当有一个与发送端扩频码同步的副本。因此，对扩频码提出如下要求：易于产生和控制；具有双值自相关函数和良好的互相关特性，以利于接收机的捕获和跟踪；具有尽可能长的周期，使干扰者难以从扩频码的一小段去重建整个码序列；具有足够多的独立地址数，以实现码分多址的要求。扩频码的要求北京理工大学雷达技术研究所王菊然而，随机噪声难以重复产生和处理。20世纪60年代，伪随机噪声的出现使这一困难得到解决。伪随机噪声具有类似随机噪声的一些统计特性，同时又便于重复产生和处理。它具有随机噪声的优点，又能避免它的缺点。目前广泛使用的伪随机噪声是一种具有类似噪声波形的周期二进制序列，将这种周期序列称为伪随机噪声(PN)序列，又称伪随机序列。伪随机噪声北京理工大学雷达技术研究所王菊伪随机序列具有类似随机序列的性质，但它的结构或形式是预先可以确定的，并且可以重复的产生和复制。伪随机序列不具有正态分布形式，但可以采用码长足够长的生成函数，通过中心极限定理可以证明它具有正态分布特性。

伪随机序列北京理工大学雷达技术研究所王菊随机序列的性质有以下三点：随机序列中0与1出现的次数近似相等；随机序列中连续出现0或1的子序列称为游程，连续的0或1的个数称为游程长度。长度为n的游程出现的次数比长度为n+1的游程次数多一倍。在同长度的游程中，0游程数和1游程数近似相等。随机序列的自相关函数与白噪声自相关函数类似。伪随机序列北京理工大学雷达技术研究所王菊伪随机序列的相关特性对于二进制序列，码元都是二元域GF(2)={0,1}的元素。其数学基础是抽象代数的有限域理论，下面对这一理论作简要介绍。北京理工大学雷达技术研究所王菊有限域理论简介

设F是一个非空集合。若F中的任意两个元素a、b的和与积仍是F中的元素，称为F对于加法运算和乘法运算是自封的。如果又满足加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和分配律，则认为F对于所规定的加法和乘法运算是一个域。一般来说，对整数集F(包含p个元素)，p若为素数，对于模p的加法和乘法来说，F是一个有限域。

北京理工大学雷达技术研究所王菊素数的概念：素数是除了1和它本身之外再没有其它因子的自然数。除了2之外，所有素数都是奇数，2是唯一的偶素数。因此，判断一个数n是否是素数，实际上是在2～n-1之间查找是否还有n的因子。只要2～n-1间还有一个因子存在，说明n就不是素数，只有2～n-1间没有一个因子，说明n才是素数。

有限域理论简介

北京理工大学雷达技术研究所王菊编码中使用的是元素个数有限的有限域。常用的是只含（0，1）两个元素的二元集F2。由于受自封性的限制，这个二元集只有对模2加和模2乘才是一个域。有限域理论简介

北京理工大学雷达技术研究所王菊伪随机序列的相关系数对于两个码长均为P（周期长度等于P）且码元都是二元域{0，1}上的元素的两个二进制序列x

码序列：0010111y

码序列：0101110x与y之间的相互关系叫做码的相关系数，一般可分为自相关系数和互相关系数。北京理工大学雷达技术研究所王菊是信号之间关联程度的测度互相关为两个信号的匹配过程.自相关为延迟信号与其自身的匹配过程相关的物理含义北京理工大学雷达技术研究所王菊伪随机序列的相关系数定义1两个长度等于P的码字序列x与y的互相关系数为若，我们称x与y相正交。定义2长度等于P的码字序列x的自相关系数为其中，。北京理工大学雷达技术研究所王菊伪随机序列的相关系数对于码元仅取0，1的二进制码，互相关系数的定义可以简化为

其中，A是码字x和y的对应码元相同的数目，D是对应码元不同的数目。由二元序列x和y，可以得到A=3，D=4。则互相关系数为北京理工大学雷达技术研究所王菊同样，自相关函数也可表示为

其中：A是码字与其位移码字对应码元相同的数目，D是对应码元不同的数目。

伪随机序列的相关系数北京理工大学雷达技术研究所王菊狭义伪随机码序列定义：凡自相关函数具有形式的二元码序列，称为伪随机码序列，又称为狭义伪随机码序列。北京理工大学雷达技术研究所王菊广义伪随机码序列定义：凡自相关函数具有

形式的二元码序列，称为广义伪随机码序列。北京理工大学雷达技术研究所王菊随机噪声的自相关性当＝0时，两个波形完全相同、重叠，积分平均为一常数。如果延迟，对于完全的随机噪声，相乘以后正负抵消，积分为0。是一种理想的二值自相关特性。利用这种特性，就很容易地判断接收到的信号与本地产生的副本信号之间的波形和相位是否完全一致。相位完全对准时有输出，没有对准时输出为0。图(a)任一随机噪声的时间波形及其延迟一段后的波形图(b)自相关函数。PN码的自相关性PN码是一种具有近似随机噪声这种理想二值自相关特性的码序列。例如二元码序列1110l00为码长为7位的PN码。用＋1，－1脉冲分别表示“l”和“0”图(c)为波形和它相对延迟个时片的波形，图(d)为两个脉冲序列波形的自相关函数。北京理工大学雷达技术研究所王菊PN码的自相关性自相关峰值在＝0时出现，自相关函数在

0/2范围内呈三角形。0为脉冲宽度。而其它延迟时，自相关函数值为－1/7,即码位长的倒数取负值。当码长取得很大时，它就越近似于图(b)中所示的理想的随机噪声的自相关特性。北京理工大学雷达技术研究所王菊伪随机序列的产生

扩频系统中信号频谱的扩展是通过扩频码实现的。对作为扩频码的伪随机序列通常提出下列要求：具有尖锐的自相关函数，功率谱占据很宽的频带；易于从其它的信号或者干扰中分离出来，互相关函数应接近于零。有足够长的码周期，以确保抗侦破、抗干扰的要求。有足够多的独立地址数，以实现码分多址的要求。易于产生、复制和控制。北京理工大学雷达技术研究所王菊线性移位寄存器

伪随机序列可以由线性移位寄存器产生。线性移位寄存器的数学描述如下：线性反馈移位寄存器：反馈电路中只含有线性逻辑，如乘法器和模2加法器等。（非线性反馈移位寄存器：反馈电路中除含有线性逻辑外，还包含有与门，或门及非门等非线性逻辑。）线性反馈移位寄存器简称线性移位寄存器或线性移存器。北京理工大学雷达技术研究所王菊线性移位寄存器的序列与递推关系式

例:一个4级线性移位寄存器的电路原理图。它由4级寄存器和一个模2加法器构成，4个寄存器自左至右依次称为第1，2，3，4级，每级寄存器可以取0或1这两个状态之一。

北京理工大学雷达技术研究所王菊移存器的状态是各级存储的数是从右至左的顺序排列而成的序列，这样的状态叫做正状态或简称状态。反之，称为反状态。当一个移位脉冲过后，每一级的内容移给下一级，最末一级，即第4级的内容就是输出。与此同时，最末一级的输出与an-3经模2加法器输出给移位寄存器的第一级，从而形成移位寄存器的新状态。因此，在移位脉冲的作用下，移存器的输出的伪随机序列为

a0,a1,a2,a3,a4,…线性移位寄存器的序列与递推关系式

北京理工大学雷达技术研究所王菊a0,a1,a2,a3,a4,…序列称为一个移位寄存器序列，它的递推公式为当移位寄存器的初始状态为（1000）时，输出序列为：1000100110101111000100110101111….(是周期为15的序列)

线性移位寄存器的序列与递推关系式

北京理工大学雷达技术研究所王菊当移位寄存器的初始状态为（0001）时，输出序列为：0001001101011110001001101011110…

由此可知：同一个线性移存器，由于初始状态不同，产生的序列可能完全不同，即它们是周期相同而起始相位不同的序列。一个移存器序列，不仅取决于它对应的递推关系，而且与移存器的初始状态有关。

线性移位寄存器的序列与递推关系式

北京理工大学雷达技术研究所王菊当改变4级线性移位寄存器的反馈逻辑如下图所示

线性移位寄存器的序列与递推关系式

北京理工大学雷达技术研究所王菊递推公式为如果使这个4级线性移位寄存器的初始状态为（0001）时，输出序列为：

000101000101000101….(是周期为6的序列)当移位寄存器的初始状态为（1111）时，输出序列为：

111100111100111100….(是周期为6的序列)

线性移位寄存器的序列与递推关系式

北京理工大学雷达技术研究所王菊结论：线性移位寄存器的输出序列是一个周期序列。当初始状态是0状态时，线性移位寄存器的输出都是0序列。级数相同的线性移位寄存器的输出序列和反馈逻辑有关。同一个线性移位寄存器的输出序列还和其初始状态有关。对于级数为r

的线性移位寄存器，当周期等于时，改变移位寄存器的初始状态只改变序列的初相。这样的序列称为最大长度线性移位寄存器序列。北京理工大学雷达技术研究所王菊m序列m序列是最大长度线性移位寄存器序列的简称,是由多级移位寄存器或其他延迟元件通过线性反馈产生的最长的码序列。若r为级数，则所能产生的最大长度的码序列为

位（除去一个全0状态输出序列）。二元的m序列是一种伪随机序列，有良好的自相关函数，是狭义的伪随机序列，且易于产生和复制。在DS序列中用于扩展基带信号，在FH序列中用于控制FH频率合成器，组成随机跳频图案。北京理工大学雷达技术研究所王菊m序列的产生北京理工大学雷达技术研究所王菊m序列的产生北京理工大学雷达技术研究所王菊m序列的产生北京理工大学雷达技术研究所王菊m

序列

的

产

生北京理工大学雷达技术研究所王菊m序列的产生北京理工大学雷达技术研究所王菊m序列的产生北京理工大学雷达技术研究所王菊m序列的产生北京理工大学雷达技术研究所王菊m序列的产生例:下图是一个4级线性移位寄存器的电路原理图。它由4级寄存器和一个模2加法器构成。

北京理工大学雷达技术研究所王菊m序列的产生北京理工大学雷达技术研究所王菊产生m序列的必要条件

北京理工大学雷达技术研究所王菊产生m序列的充要条件

北京理工大学雷达技术研究所王菊m

序列的性质北京理工大学雷达技术研究所王菊m

序列的性质北京理工大学雷达技术研究所王菊m

序列的性质北京理工大学雷达技术研究所王菊组合码m序列可以作为码分多址系统的地址码。但是，m序列存在可供选用的地址码数量少的缺点。m序列还是研究和构造其他扩频序列的基础。由m序列组合而形成的组合序列或组合码。由两个或更多个周期较短的码（称为子码）通过一定的逻辑函数关系构成周期较长的长码。北京理工大学雷达技术研究所王菊组合码的构造方法假定有n个子码，其周期分别为p1，p2，…，pn，当它们的周期两两互素时，即（pi,pj）＝1,i≠j，由它们构成的组合码的周期p＝p1p2…pn组合码的形式主要由逻辑函数的形式和子码的形式决定。北京理工大学雷达技术研究所王菊构造组合码的一般方法将第i个周期为pi的子码重复p/pi次，

i＝1，2，…，n，然后根据给定的组合码与子码之间的逻辑函数关系，逐项地确定出组合码的各元素。常用的组合码有两种形式：逻辑乘组合码，模2和组合码。北京理工大学雷达技术研究所王菊一、逻辑乘组合码假定有两个子码a和b，分别为

a＝1110100b＝111100010011010按逻辑函数c＝a•b构造一个长度为105的组合码。已知子码a的周期p(a)＝7，子码b的周期p(b)＝15，构造的组合码c的周期＝p(a)•p(b)＝7×15＝105。

北京理工大学雷达技术研究所王菊构造逻辑乘组合码方法

将a重复p(c)/p(a)=105/7=15次，将b重复p(c)/p(b)=105/15=7次，然后求出对应元素之积，就可得到组合码c。北京理工大学雷达技术研究所王菊具体方法：

a重复15次

111010011101001110100111010011101001110100111010011101001110100111010011101001110100111010011101001110100

（2）北京理工大学雷达技术研究所王菊具体方法：

b重复7次

111100010011010111100010011010111100010011010111100010011010111100010011010111100010011010111100010011010

（3）

北京理工大学雷达技术研究所王菊具体方法：

根据乘法规则

0·0＝1·0＝0·1＝01·1＝1对应元素之积c＝a•b为

111000010001000110100010010010101000010000010010000000001010100100010011000001100000011010011100000010000北京理工大学雷达技术研究所王菊需要指出的是：这样构成的组合码c的自相关函数不再具有二值自相关特性，但在局部时间区间内仍有两个值。

北京理工大学雷达技术研究所王菊二、模2和组合码由子码的模2和运算构成的组合码称为模2和组合码。模2和组合码的一个重要特性是它的自相关函数可以简单地表示成子码自相关函数的乘积，或者说，模2和组合码实际上也是子码之间的调制组合码。北京理工大学雷达技术研究所王菊模2和组合码的构成例子：使用前面用过的两个子码。

a＝1110100b＝111100010011010北京理工大学雷达技术研究所王菊模2和组合码的构成1．将子码a重复pc/pa=105/7=15次，将子码b重复pc/pb=105/15=7次，然后逐项求对应元素的模2和，得c＝a⊕b＝000011101100101000011101100101000011101100101111100010011010000011101100101111100010011010111100010011010

北京理工大学雷达技术研究所王菊子码a的自相关波形

北京理工大学雷达技术研究所王菊子码b的自相关波形

北京理工大学雷达技术研究所王菊组合码c的自相关波形

北京理工大学雷达技术研究所王菊结论：模2和组合码序列自相关函数离散值等于其子码序列自相关函数离散值的乘积。北京理工大学雷达技术研究所王菊Gold码序列m序列是特性很好的伪随机序列，但其能彼此构成优选对的数目少，不利于扩频多址系统的应用。m序列还有个缺点就是保密性比较差m序列是周期序列，它的功率谱的各谱线相隔频率

的整数倍。通过测量接收机的m序列扩频信号的功率谱就很容易确定这个序列的周期。进一步可确定寄存器的级数。最后再确定移位寄存器的反馈逻辑，m序列就可以复制出来。增加保密性的方法是增加移位寄存器的级数n，使得线性方程多到因计算量太大而难以求出特征多项式来。北京理工大学雷达技术研究所王菊Gold码序列由于m序列的这些缺点，R.Gold在1967年提出了用m序列优选对组成的复合序列，简称Gold码。Gold序列是m序列的复合码，它是由两个码长相等，码时钟速率相同的m序列优选对模2相加构成。每改变一个m序列的相对位移，就可以得到一个新的Gold序列。北京理工大学雷达技术研究所王菊Gold码序列Gold码是m序列的组合码，它是由同步时钟控制的两个m序列逐位模2加得到的，其原理如下图所示。

北京理工大学雷达技术研究所王菊Gold码序列Gold码仍具有与m序列近似的优良特性，各个码组之间的互相关特性与原来两个m序列之间的互相关特性一样，最大的互相关值不会超过原来两个m序列间的最大互相关值。Gold码最大的优点是具有比m序列多得多的独立码组。

北京理工大学雷达技术研究所王菊Gold码序列Gold码是又称为最大长度序列优选对码。级数为r的线性移位寄存器产生周期为的m序列，而周期为的两个m序列模2加产生一个同样周期的非最大长度序列，再加上两个基本最大长度序列，一共可得到总数为个序列的一族Gold码组序列。

北京理工大学雷达技术研究所王菊Gold码序列Gold码发生器实例当两个码发生器的相对位移改变时，可给出不同的组合码序列。北京理工大学雷达技术研究所王菊Gold码序列假定全1状态为该两移位寄存器的初始条件，当初始相位差为0比特、1比特和5比特时，所构成的组合码如下：0比特相位差：

北京理工大学雷达技术研究所王菊Gold码序列1比特相位差：5比特相位差：北京理工大学雷达技术研究所王菊Gold码序列在上述例中，从0到30比特的任何位移都可用作起始条件（因为31比特位移和0比特位移是相同的）。该码发生器可产生32＋1＝33个Gold码组。北京理工大学雷达技术研究所王菊Gold码序列两个m序列，例如{a}和{b}构成优选对的条件是，必须使得所构成的组合码的相关函数值满足下式：

式中r为移位寄存器的级数。北京理工大学雷达技术研究所王菊Gold码序列Gold码组的互相关函数值不会超过原两m序列间的最大互相关函数值，所以，组合码的最大相关函数最大相关系数北京理工大学雷达技术研究所王菊Gold码序列例如r＝5时，相关函数相关系数由此可见，r＝5的不同结构的m序列，其组合码的最大相关系数必须小于9/31才是优选对码。北京理工大学雷达技术研究所王菊几种不同级数的m序列优选对允许的最大相关函数值在实际应用时，要求不同级数的m序列优选对码的相关函数值必须小于表中所给数值。

北京理工大学雷达技术研究所王菊实例：全球定位系统

GPS的C/A码GPS的C/A码是Gold，其序列长度为1023位（基码数）。C/A码的基码速率是1.023MHz，因此伪随机序列的重复周期是1023/(1.023*106),或1ms。G1的生成多项式是1+x3+x10,G2的生成多相式是1+x2+x3+x6+x8+x9+x10。北京理工大学雷达技术研究所王菊北京理工大学雷达技术研究所王菊它们的初始状态都是1111111111。C/A码是由G2码的输出序列和G1码的输出序列异或的结果。G2码的延时效果是选择两个抽头的位置异或获得。因为PN码有这样的性质:与其自身的相移序列相加,结果仍然是个PN码序列,只是相位变了。对于C/A码而言,对于每颗卫星都有特别的延时,采用这种方法,可以省去用延时寄存器来实现C/A码延时功能。

北京理工大学雷达技术研究所王菊利用BlockIIR-M卫星发射，它不仅包含了第一代民用信号，而且还在L2载波上增加了L2C信号

。

L2C的调制信号中有两个伪随机噪声码—CM码和CL码。CM和CL码的速率均为511.5kHz，CM码的长度为10230位，周期为20ms，CL码的长度为767250位，周期为1.5s。GPS第二代民用信号CM码和CL码是用同一个27级的线性移位寄存器产生的，如图所示，生成多项式为：线性移位寄存器生成的序列长度为134217727位，CM码从中截取10230位，CL码从中截取767250位。不同的卫星，CM和CL码产生器设置的初始条件不同，在ICD-GPS-200的建议版中公布了37对。由于CM和CL码的长度是偶数，选出的码相位是完全平衡的（1和0的位数相等）。CM和CL码产生器L2C的电文被称为CNAV，比L1上的电文更为紧凑，信息速率为25bps。原始电文以限定长度为7进行1/2比率的卷积编码，得到50bps的数据流。50bps的数据流与511.5kbps的CM码进行异或，实现电文的第一级调制，CL码上则未调制任何数据。有电文调制的CM码和无电文调制的CL码在基码—基码多工器中合并在一起，CM的基码先发送，CL的基码后发送，产生的总的PRN码其基码速率为1.023MHz。然后将合并后的基码调制到L2载波，实现第二级调制，得到已调波。L2C信号的产生流程511.5kbps的CM基码和CL基码在1.023MHz时钟的驱使下，重新组合，如图所示。每一个基码对应两个时钟周期，第一个时钟周期输出CM基码的状态，第二个时钟周期输出CL基码的状态，得到组合码的码速率为1.023Mbps基码—基码多工器L2C信号采用了前向纠错(ForwardErrorCorrection，FEC)技术，通过将25bps的导航电文进行限定长度为7、比率1/2的卷积编码，使其变为50sps，以便于改正解调导航电文过程中所出现的比特判定错误，恢复所丢失的比特，确保导航电文解码的正确性和可靠性；接收机利用软判决Viterbi译码器，可以在信噪比降低5dB的条件下获得与不编码时相同的差错率，从而有利于弱信号的跟踪和捕获。前向纠错编码（FEC）GPS第二代民用信号L1C/A码信号的互相关保护特性不好，一直被认为是其主要弱点之一。因为来自1颗卫星的强信号可能与接收机用于跟踪另一颗卫星的本地码发生相关，于是造成强信号遮蔽了对弱信号接收的现象。同时跟踪弱信号的接收机必须测试每一个信号，以使之不要假跟踪着强的信号。当GPS接收机在室内工作或在浓荫下工作时，常常一些信号强，一些信号弱。因此L1C/A的这个弱点是不可忽视的。L2C中的CM码长度是C/A码长度的10倍，而长码部分则是C/A码的750倍，因此具有比C/A码更好的互相关特性（45dB）。L2CVSL1C/A(互相关保护特性)L2C的电文数据恢复门限要比C/A码的优越5dB，这是因为L2C的电文设有1/2比率的前向纠错编码，使门限改善5dB；同时L2C的数据速率只有25bps，是C/A码的一半，又使门限改善3dB。由于L2C数据通道的信号功率只有C/A码时的一半，损失了