《多边形和圆的初步认识》典型例题 省赛一等奖

《多边形与圆的初步认识》典型例题（6）例题1．已知任意一个四边形，把它分割成三角形，并且确定分割成三角形的最少的情况，你能否找到相应的规律？解：如图，把一个四边形分割成三角形的情况不外乎以下几种：在这四种情况下，（1）中分割的三角形最少，这时三角形的个数是“边数—2”个．说明：对于这类题，最终的结果并不重要，要注意培养学生动手参与的能力和想像能力．典型例题二例题2．已知有两个大小相同的正方形，请利用它们拼接成一个比它们大的正方形．分析：要用两个正方形拼接另一个大的正方形，首先可以肯定的是两个小正方形需要部分分割成都需要分割，用分割后的图形接接后才可能形成正方形．这其中要理解的是不论怎样分割与拼接，原两个正方形的面积是不变的．解：如图，设已知的两个小正方形如图所示．方案1：把两个正方形沿一条对角线剪开，重新拼接，即可（如图）．方案2：把每个正方形分成八个相等的等腰直角三角形，然后再拼接出正方形（如图）．方案3：把一个正方形分割成四个相等的等腰直角三角形，再拼接成大正方形说明：在我们所给的方案中有一个共同点，即都分割出等腰直角三角形才可能拼出正方形，原因源自正方形的边长与对角线的比值是恒定的，而在拼接过程中要保证面积不变，若设小正方形的面积为1，那么拼接出的正方形的面积应为2，这种关系恰好是正方形的边长与对角线的比值知识的应用．典型例题三例题3如图，某山区有一块比较平整的土地，形状很不规则，试分析怎样计算它的面积．分析我们学过的面积公式都是计算规则图形面积的，这是一个实际问题，图形不规则，因此，可以把所给图形近似地看做是一个多边形，然后再分割为若干个三角形等我们能计算面积的图形．由于分割方法不同，解答过程会有所不同．解把所给图形近似地看做是如图所示的多边形，并按图中虚线将其分为五部分，然后测量有关线段的长（未在图中—一画出）利用面积公式分别计算每一部分的面积，最后求各部分面积的和．说明这里把不规则的转化为规则的，把不熟悉的转化为熟悉的，体现出了化归思想，这一重要的思想方法对于学习数学来说，是第一重要的．典型例题四例题4请你分别举出在我们生活中常见的，类似于下面几何图形的两个实例．三角形：四边形：六边形：扇形：分析根据多边形的概念，可以知道我们用的三角板的面是三角形，书桌的面是四边形，六角螺母的面是六边形．根据扇形的概念我们用的量角器的面是扇形．解三角形：三角板、瓦房的人字架．四边形：教室中的黑板面、学生用的书桌面．六边形：六角螺母的两个底面，人行路上六边形地砖的面．扇形：学生用的量角器，展开的扇子面．说明我们在说三角板是三角形，人字架是三角形，量角器是扇形时，是把它们都看成了面，没有考虑其厚度．典型例题五例题5举出我们生活中常见的图形．分析如：我们的门窗一般是长方形；学校的黑板一般是长方形；教学用的三角板是三角形；民用的梯子约为梯形；各种管道的口约为圆形等．解略．典型例题六例题6想一想，两个大小一样的正三角形能拼成什么图形，四、五个能拼成什么图形？分析如图解略．想一想五个正三角形不能拼成什么图形？典型例题七例7如图所示，下列各图中，不是多边形的是________．解析本题是考查对多边形的定义的理解．这四个图形都是由线段组成的封闭的图形，看似都是多边形．但是仔细观察、比较，易发现D项的图形并不是由线段围成的图形，而A，B，C三项的图形是由线段围成的图形，故D项错误．答案D警示误区一个多边形、必须同时具备两个条件：1．是由线段围成的图形．2．是个封闭图形．典型例题八例8数一数下面的图形中有多少个三角形？分析本题要观察三角形的个数，从表面上看，发现图中有4个较小的三角形，然而这只是看到了局部，还需要从整体上去辨认：易发现，最大的三边围成的图形也是三角形．因此图中共有5个三角形．答案共有5个三角形．说明：认识、观察几何图形，最好沿着由整体到局部，由大到小的顺序，这样会减少疏漏和失误。典型例题九例9将下列多边形分割成几个三角形。分析将多边形分割成三角形可利用连结多边形对边的顶点来进行，结合图形发现，四边形只能分割成2个三角形，六边形可分割成4个三角形，连结的顶点可不同，分割的三角形个数却一样，如下图所示。拓展延伸n多边形可分割的三角形数量为：个。典型例题十例10你能用分割多边形为多个三角形的办法将图中两个完全相同的正方形剪拼成一个较大的正方形吗？分析本题考查灵活运用多边形与三角形的关系的能力，而且本题具有一定的探究性，既是分割三角形，那只能沿正方形的对角线进行，经尝试发现，至少有如下两种拼法。答案如图。典型例题十一例11如图，花园内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了三种不同的图案，其中的阴影的部分用于种植花草．那么，用于种植花草的土地面积相同吗？为什么？分析这是一个有关平面图形的面积计算问题．由于图中阴影部分均为不规则的图形，无法直接计算，那只能通过转化为规则的图形来运算，经观察发现：在正方形内，除去阴影部分的空白部分，第1个图形为4个完全相同的扇形，第2个图形为2个相同的半圆，第3个图形为1个圆，那就可通过作差来计算，而且还注意到，4个扇形合起刚好拼成1个圆，两个半圆合起来也可拼成1个圆，并且拼成的两个圆的半径与第3个图形中的圆的半径相等，那么，就可得出结论：3个正方形的空白部分面积相等，阴影部分面积也就相等．答案面积相同，因为前两个图形中的空白部分的面积恰好等于第三个图形中空白部分的圆的面积．说明：本题本是一道大小比较的计算题，但是通过观察、比较知道：三个图中的空白的面积都等于圆的面积，所以不用计算就可判断它们相等了．像这样的平面图形的问题，我们不但要善于个别观察，而且要善于整体观察和横向比较．典型例题十二例12平面图形具有简洁、明快的特征，常被美术工作者用来作为设计某些标志性图案．请欣赏下列平面图案，分析一下它们适合作为什么行业或事物的标志图案，并简述一下理由．分析解答这类题应：（1）熟悉构成图案的几何图形的性质特征；（2）结合生活实际，展开联想，挖掘图形包含的内蕴．答案（1）可用为银行的标志，因为这个图案形似于中国古代钱币，表明银行与钱币有关联．（2）可作为体育活动的标志，这实际是奥林匹克运动的标志，因为体育是没有国界的运动，五个圆形环环相扣，表明全世界五大洲人民手拉手，心连心，团结一致，表明了以体育促和平的主题．（3）可作为与科技有关的事物或项目的标志，因为这个图案形似于原子核，体现了高科技的主题．（4）可作为与教育有关项目的标志，因为这个图案由