第三章 立体相贯A

3.5两立体表面相交一、概述平面体与平面体相贯曲面体与曲面体相贯1.相贯的形式

两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。

本节主要讨论常用两曲面立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。平面体与曲面体相贯两回转体表面相交两回转体相交，在回转体表面产生的交线称为相贯线。茶壶栏杆弯脖三通管相贯线相贯线相贯线位于两立体的表面上——

表面性相贯线上的点是两立体表面的共有点——共有性

相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线段——封闭性相贯线的性质：空间曲线空间曲线平面曲线平面曲线直线直线曲面立体相贯线的形式图例二、求相贯线的方法（一）表面取点法表面取点法辅助平面法适用范围：两曲面立体中有一个是垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影就积聚在圆柱面有积聚性的投影（圆）上。求相贯线的作图步骤（1）定形分析：相对位置、是否对称、投影有无积聚性。（2）作相贯线上的特殊点；极限位置点（最上、最下、最左、最右、最前、最后点）转向轮廓线上的点作一般点：在特殊点间插入若干一般点；（3）判断可见性：所求各共有点只有同时位于两个回转体的可见表面时，其投影为可见；（4）光滑连接：用曲线将相邻两点一一光滑连接;（5）整理轮廓线。轮廓线应画到特殊点处定形找点判断连接整理确定相贯线的范围确定相贯线的弯曲趋势[例题1]求两圆柱的相贯线yyyyded'e'a'c'b'a"b"c"d"e"解题步骤1分析相贯线前后对称，其水平投影和侧面投影已知，只求正面投影，可利用表面取点法求共有点；bacAC2求出相贯线上的特殊点A、B、C；3求出若干个一般点D、E；4判别可见性，光滑且顺次地连接各点，作出相贯线；5整理轮廓线。曲面立体相贯的三种基本形式外表面与内表面相交两外表面相交两内表面相交相贯线的形状与实体、虚体无关曲面立体相贯的三种基本形式外表面与内表面相交两外表面相交两内表面相交1423例题2分析圆柱体的相贯线，补全投影。c'd'd"c"a"b"a'b'dcba1'2'4"3"1"2"3'4'[例题]求圆柱与圆锥的相贯线用水平面作为辅助平面求共有点辅助平面切割回转体甲回转体乙截交线甲截交线乙相交交点（两回转体的共有点）（二）辅助平面法——三面共点法回转体甲回转体乙截交线甲截交线乙交点辅助平面的选取原则为了能方便地作出相贯线上的点，辅助平面的选取应遵循以下原则：1、选择特殊位置平面（优先选择投影面平行面）；2、辅助平面与两回转体的交线为直线或平行于投影面的圆。[例题3]求圆柱与圆锥的相贯线yyyy4'

453'

35'

解题步骤1分析相贯线的侧面投影已知，可利用辅助平面法求共有点；2求出相贯线上的特殊点Ⅰ

、Ⅱ

、Ⅲ；3求出若干个一般点Ⅳ

、Ⅴ；4判别可见性，光滑且顺次地连接各点，作出相贯线；5整理轮廓线。P11'1"2'

2"2ⅡⅠPV1PW13"ⅢPW2PV24"PV3PW35"辅助平面用水平面作为辅助平面求共有点用正平面或侧平面是否可以？辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如直线或平行于投影面的圆。返回

（三）相贯线的特殊情况（1）两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆，并且该圆垂直于公共轴线。当公共轴线处于投影面垂直位置时，相贯线有一个投影反映圆的实形，其余投影积聚为直线。

（三）相贯线的特殊情况

当两立体的相交两轴线同时平行于某一投影面时，则此两椭圆曲线在该投影面上的投影，为相交两直线。(2)外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线——椭圆。点击相应图形观看动画外切于同一球面的两圆柱正交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆外切于同一球面的两圆柱斜交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆

外切于同一球面的圆锥、圆柱正交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆外切于同一球面的圆锥、圆柱斜交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆产生相贯的两基本体的形状产生相贯的两基本体的尺寸大小产生相贯的两基本体的相对位置（四）圆柱、圆锥相贯线的变化趋势（四）圆柱相贯线的变化趋势①点击图形观看动画当圆柱的相对大小发生变化时，相贯线的变化趋势点击图形观看动画（四）圆柱相贯线的变化趋势②当圆柱的相对位置相对变化时，相贯线的变化趋势（五）圆柱与圆锥相贯线的变化趋势①点击图形观看动画当大小发生相对变化时，圆柱与圆锥相贯线的变化趋势点击图形观看动画（五）圆柱与圆锥相贯线的变化趋势②当相对位置发生变化时，圆柱与圆锥相贯线的变化趋势3．相贯线的近视画法简化画法分析曲面立体的相贯线，补全投影（二）a'b'a"b"d"c"c'd'cdba.返回下一题上一题步骤与答案5.分析圆柱内、外表面的相贯线，并补全投影。d"c"a"b"c'd'a'b'f'e'dcabfehgg'h'g"e"f"h"6.分析穿孔圆球内、外表面的相贯线，并补全投影。结束！

小结一、本章的基本内容⒈立体表面相贯线的概念⒉求相贯线的基本方法相贯线的性质：表面性共有性封闭性二、解题过程⒈交线分析⑴

空间分析：⑵投影分析：

是否有积聚性投影？找出相贯线的已知投影，预见未知投影，从而选择解题方法。面上找点法辅助平面法

分析相交两立体的表面形状，形体大小及相对位置，预见交线的形状。4.分析形体表面的交线，并补全投影。yyc"f"b'd'a'e'd"b'fgadcbec'g"f'g'a"e"d"b"3.分析穿孔圆柱的相惯线，补全投影。e"f"b'd'a'e'c'f'cabdefa"c"内、外圆柱表面正交acdb例3求两圆柱的相贯线

g'h'f"e"ghefc"d"b"a"d'c'e'f'g"h"a'b'特殊点包括：最上点、最下点、最左点、最右点、最前点、最后点、轮廓线上的点等。⒉作图⑴找点⑵连线⑶检查、加深尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。

当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆先找特殊点☆补充若干中间点四、两圆柱体相贯⒈相贯线的产生：⒉求相贯线的方法：⒊相贯线的形状及投影：外表面与外表面相交，外表面与内表面相交，内表面与内表面相交。

常用的方法是利用积聚性表面取点，也可用辅助平面法。

相贯线为光滑封闭的空间曲线。当两圆柱正交，小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性投影上总是向大圆柱里弯曲，当两圆柱直径相等时，相贯线在空间为两个椭圆，其投影变为直线。在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。[例题3]求圆球与圆锥的相贯线PW3PV3PV1yy5"5'3'4'543"yy4"解题步骤1．分析相贯线的三个投影均未知，可利用辅助平面法求共有点；2．求出相贯线上特殊点Ⅰ

、Ⅱ

、Ⅲ；4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5．整理轮廓素线。3．求出若干个一般点Ⅳ

、Ⅴ；PW2

PV2用辅助平面求共有点示意图1"12'1'2"23用水平面作为辅助平面求共有点5.分析半圆柱与圆台的相贯线，并补全投影。Pvf'g'e'h'd"c"b"a"e"f"g"h"a'c'd'b'dcabgehf本章结束[例题3]求圆柱与圆锥的相贯线yyyy4'

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用辅助平面求共有点示意图解题步骤1分析相贯线的侧面投影已知，可利用辅助平面法求共有点；2求出相贯线上的特殊点Ⅰ

、Ⅱ

、Ⅲ；3求出若干个一般点Ⅳ

、Ⅴ；4判别可见性，光滑且顺次地连接各点，作出相贯线；5整理轮廓线。P11'1"2'

2"2ⅡⅠPV1PW13"ⅢPW2PV24"PV3PW35"用水平面作为辅助平面求共有点（一）表面取点法两曲面立体中有一个是垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影就积聚在圆柱面有积聚性的投影（圆）上已知曲面立体表面上的点或线的一个投影求其他投影的问题[例题3]求圆球与圆锥的相贯线PW3PV3PV1yy5"5'3'4'543"yy4"解题步骤1．分析相贯线的三个投影均未知，可利用辅助平面法求共有点；2．求出相贯线上特殊点Ⅰ

、Ⅱ

、Ⅲ；4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5．整理轮廓素线。3．求出若干个一般点Ⅳ

、Ⅴ；PW2

PV2用辅助平面求共有点示意图1"12'1'2"23ac'd'例2求圆柱与半球的相贯线。用辅助平面求共有点示意图解题步骤1分析相贯线的侧面投影已知，可利用辅助平面法求共有点；2求出相贯线上的特殊点A

、B

、C、D。a'b'