控制工程基础第六章频率特性分析

第一节频率特性概述第二节频率特性的极坐标图第三节奈奎斯特稳定判据第四节频率特性的对数坐标图第五节伯德稳定判据第六节系统的相对稳定性第七节闭环频率特性及频域性能指标主要内容1第一节频率特性概述一、频率响应和频率特性频率响应（Frequency-Response）：线性定常系统对正弦输入（或者谐波输入）的稳态响应。图6-1-1线性定常系统的频率响应NOMOt2设线性定常系统的传递函数为(6-1-1)输入输出信号的拉氏变换(6-1-2)3（1）设系统有n个互不相同的极点为，则输出的拉氏变换为：(6-1-3)对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为：(6-1-4)4对于稳定的系统，系统的稳态响应为：(6-1-5)（2）若系统含有k重极点

，则将含有这样一些项。对于稳定的系统，由于的实部为负，的增长没有衰减得快。所以的各项随着也都趋于零。因此，对于稳定的系统，不管系统是否有重极点，其稳态响应都如式（6-1-5）所示。待定系数B和D分别为5将B和D代入式(6-1-5)，得其中6定义为该系统的频率特性（FrequencyCharacteristic）。1.幅频特性

2.相频特性

3.实频特性

4.虚频特性

系统的稳态输出与输入是同频率的正弦函数，输出振幅与相位角虽与输入不同，但都与下式有关：7并且结论（1）频率特性是传递函数中的复变量仅在虚轴上取值的特殊情况

。（2）频率特性是在频率域内描述系统运动的又一种数学模型。8（2）频率特性对开环系统、闭环系统以及控制装置均适用。说明（4）虽然频率特性是在假定系统稳定的条件下导出的，但是频率特性的概念不只是适用于稳定系统，也适用于不稳定的系统，只是不稳定系统的频率特性观察不到。（3）频率特性和传递函数一样，只适用于线性定常系统。（1）时间响应分析主要用于分析线性系统过渡过程，以获得系统的动态特性，而频率特性分析则将通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应，以获得系统的动态特性。9

（5）频率特性有明显的物理意义，可以通过实验方法测出系统和元部件的频率特性，为列写系统或元部件的动态方程提供了具有实际意义的工程方法。（6）频率特性包含了系统和元部件全部的结构特性和参数，它同微分方程、传递函数一样，是描述系统动态特性的数学模型。频率响应法运用稳态的频率特性间接地研究系统的特性，避免了直接求解微分方程的困难。

（7）若系统在输入信号的同时，在某些频带中有着严重的噪音干扰，则对系统采用频率特性分析法可设计出合适的通频带，以抑制噪音的影响。10例6-1

设图6-1-2所示的系统,其传递函数为

求系统的频率特性及系统对正弦输入的稳态响应。图6-1-2系统方框图解：令，系统的频率特性为11系统的稳态输出响应为12二、频率特性的表示方法(2)对数坐标图(Bode图)(1)极坐标图(Nyquist图)

三、最小相位系统与非最小相位系统的概念（一）最小相位系统(MinimumPhaseSystem)

（二）非最小相位系统(Non-MinimumPhaseSystem)系统的开环传递函数在右半平面内有零点或者极点。系统的开环传递函数在中右半

平面内既无极点也无零点。13最小相位系统的相位变化量总小于非最小相位系统的相位变化量。这两个系统的开环幅频特性和开环相频特性分别为：14第二节频率特性的极坐标图一、极坐标图二、典型环节的极坐标图1.比例环节（放大环节）频率特性为幅频特性相频特性频率特性的极坐标图（PolarPlot）是当从零变化到无穷大时，表示在极坐标上的的幅值与相角的关系图。因此，极坐标图是当从零变化到无穷大时矢量的矢端轨迹。极坐标图又称幅相频率特性图或者奈奎斯特图(NyquistPlot）。图6-2-1比例环节的极坐标图152.积分环节相频特性频率特性幅频特性图6-2-2积分环节的极坐标图16积分环节的相频特性等于，与角频率无关，表明积分环节对正弦输入信号有的滞后作用；其幅频特性等于，是的函数，当由零变到无穷大时，输出幅值则由无穷大衰减至零。在平面上，积分环节的频率特性与负虚轴重合。结论173.理想微分环节频率特性相频特性幅频特性图6-2-3微分环节的极坐标图184.惯性环节频率特性相频特性幅频特性19图6-2-4惯性环节的极坐标图惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节。注意20令则有证明：21推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即时，其频率特性是圆心为，半径为的实轴下方半个圆周。225.一阶微分环节频率特性相频特性幅频特性23图6-2-5一阶微分环节的极坐标图246.振荡环节频率特性幅频特性25相频特性26图6-2-6振荡环节的极坐标图27振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比有关，当阻尼比较小时，会产生谐振，谐振峰值和谐振频率由幅频特性的极值方程解出。287.二阶微分环节频率特性相频特性幅频特性29

图6-2-7二阶微分环节的极坐标图-20-1-31308.延时环节频率特性相频特性幅频特性图6-2-8延时环节的极坐标图31三、系统极坐标图的一般画法开环频率特性实际的控制系统通常是不含右极点、右零点的最小相位系统，其开环传递函数为：开环频率特性曲线具有以下规律：321.起始段（）（1）对于0型系统()由于，则极坐标图的起点是位于实轴上的有限值。（2）对于Ⅰ型系统()（3）对于Ⅱ型系统()

由于，在低频时，极坐标图是一条渐近线，它趋近于一条平行于负虚轴的直线。

由于，在低频时，极坐标图是一条渐近线，它趋近于一条平行于负实轴的直线。图6-2-9极坐标图332.终止段（）图6-2-9极坐标图

对于0型系统、Ⅰ型系统、Ⅱ型系统，，。因此对于任何的系统，时的极坐标图的幅值必趋于零，而相角趋于。

343.与坐标轴的交点频率特性曲线与实轴的交点频率特性曲线与虚轴的交点4.

包含一阶微分环节若相位非单调下降，则极坐标图将发生“弯曲”现象。35例6-2

画出下列两个零型系统的奈奎斯特图，式中均大于0。解：系统的频率特性分别为幅频特性36相频特性当时当时图6-2-10两个零型系统的极坐标图（a）（b）37例6-3

画出Ⅰ型系统的奈奎斯特图，式中均大于0。解：频率特性38求渐近线图6-2-11例6-3极坐标图

当时39例6-4

已知系统的开环传递函数如下式,试绘制该系统的奈奎斯特图。解：频率特性是40求渐近线交点坐标是。当时，令求与坐标轴的交点41图6-2-12例6-4系统的奈奎斯特图····42例6-5

已知系统的开环传递函数如下式，试绘制该系统的奈奎斯特图。解：频率特性为幅频特性相频特性43当时当时图6-2-13例6-5极坐标图44例6-6

绘制系统的奈奎斯特图。解：num=[2,5,1];den=[1,2,3]nyquist(num,den)图6-2-14例6-6的奈奎斯特图45第三节奈奎斯特稳定判据一种基于频率特性图给出的系统稳定性的频域判据，称之为奈奎斯特稳定判据(Nyquist’sStabilityCriterion)。奈奎斯特稳定判据是用控制系统的开环频率特性图来判断其稳定性的，它无需已知闭环系统的确切数学模型。一、奈奎斯特判据的基本原理（一）幅角原理(MappingTheorem)

映射的概念：奈奎斯特判据的数学基础假设复变函数为单值，且除了平面上有限的奇点外，处处都连续,也就是说在平面上除奇点外处处解析，那么，对于

平面上的每一个解析点，在平面上必有一点（称为映射点）与之对应。46······图6-3-1从平面平面的映射关系47若N>0，则按逆时针方向绕[F]平面坐标原点N周；若N<0，则按顺时针方向绕[F]平面坐标原点N周；若N=0，则不包围[F]平面坐标原点。设在平面上，除有限个奇点外，为单值的连续函数，若在平面上任选一封闭曲线，并使不通过的奇点，则平面上的封闭曲线

映射到平面上也是一条封闭曲线。当解析点s按顺时针方向沿变化一周时，则在平面上，曲线按逆时针方向旋转的周数N（每旋转2弧度为一周），或按逆时针方向包围平面原点的次数，等于封闭曲线内包含

的极点数P与零点数Z之差。即 48图6-3-2幅角与零、极点的关系0(a)0(b)49幅角原理表达式包围的函数的极点的个数包围的函数的零点的个数50图6-3-3控制系统的方框图（二）特征函数的零点和极点闭环系统传递函数为定义特征函数若设s的n阶多项式s的m阶多项式v为无差度51则结论（2）有个零点，恰是闭环传递函数的极点。（1）有个极点，就是开环传递函数的极点。（3）要使闭环系统稳定，的全部零点必须位于

平面的左半平面。52（a）s平面的Nyquist轨迹（c）［GH］平面的奈氏曲线图6-3-4（b）［F］平面的奈氏曲线(三)奈奎斯特轨迹及其映射S平面的右半圆奈氏轨迹在GH平面上的映射称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线。(1)在虚轴上无极点（）53图6-3-5虚轴上有开环极点时的奈氏轨迹(2)在虚轴上有极点（）由于不能通过开环极点,所以必须绕过虚轴上的所有开环极点。54图6-3-6时的奈氏曲线此式表明：的第四部分无穷小圆弧在平面上的映射为顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转的弧度为。55二、奈奎斯特稳定判据应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下面几种情况：闭环系统稳定的充分必要条件是，

平面上的奈奎斯特曲线当时，按逆时针方向包围点P周。

1.当系统开环传递函数的全部极点都位于平面左半部时(P=0）,如果系统的奈氏曲线不包围平面的点（N=0），则闭环系统是稳定的(Z=P-N=0），否则是不稳定的。56

3.如果系统的奈氏曲线顺时针包围点（N<0），则闭环系统不稳定。(Z=P-N>0）。

2.当系统开环传递函数有P个位于平面右半部的极点时，如果系统的奈氏曲线逆时针包围点的周数等于位于平面右半部的开环极点数(N=P)，则闭环系统是稳定的(Z=P-N=0),否则是不稳定的。

4.在有些情况下，

曲线恰好通过平面的点（注意不是包围），此时如果系统无位于平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。57

例6-7

图6-3-7为的系统的开环奈奎斯特图。试分析系统的稳定性。图6-3-7系统的开环奈奎斯特图0（b）不稳定0（a）（a）稳定58例6-8

图6-3-8为的开环奈奎斯特图，开环传递函数为：

图6-3-8例6-8系统的开环奈奎斯特图0稳定注意：本例中，在平面上，当由～，经过原点时，由于的分母中含有一个积分环节，所以，映射到平面就是半径为的半圆。试分析系统的稳定性。59例6-9

设系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析系统的稳定性。解：当时当时三、奈奎斯特判据应用举例60图6-3-9例6-9系统的开环奈奎斯特图该系统稳定由于在

平面的右半平面无极点，故P=0，且不包围(-1，j0)点，所以不论K取任何正值，系统总是稳定的。61例6-10

设系统的开环传递函数为试分析系统的稳定性。解：当时当时62稳定不稳定图6-3-10例6-10系统的奈氏曲线由于在s平面的右半平面无极点，故P=0。63练习已知反馈控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析系统的稳定性。64稳定不稳定临界稳定65解:例6-11

设系统的开环传递函数为试分析系统的稳定性。当时当时对任意的，有66(a)稳定临界稳定不稳定图6-3-11系统的奈氏曲线

(2)开环系统中串联的积分环节越多，即系统的型次越高，开环奈奎斯特曲线越容易包围(-1，j0)点，系统越容易不稳定，故一般型次不超过Ⅲ型。

(1)大，表示微分环节的作用加大，可使系统稳定；小，表示微分环节的作用减小，可使系统不稳定。结论67第四节频率特性的对数坐标图一、对数坐标图图6-4-1对数坐标图的横坐标

频率特性的对数坐标图又叫伯德图（BodeDiagram）或对数频率特性图(LogarithmicPlot)。-10.20.40.8124810204080100一倍频程一倍频程十倍频程十倍频程0.102168图6-4-2Bode图坐标系69用伯德图表示频率特性的优点：（1）可以将串联环节幅值的相乘、除，化为幅值的相加、减，使得计算和作图过程简化。（2）提供了绘制近似对数幅频曲线的简便方法。先分段，用直线做出对数幅频特性的渐近线，再用修正曲线对渐近线进行修正，即可得到较准确的对数幅频特性图。（3）因为在实际系统中，低频特性最为重要，所以通过对频率采用对数尺度，以扩展低频范围是很有利的。

（4）当频率响应数据以伯德图的形式表示时，可以容易地通过实验确定传递函数。

70二、典型环节的对数坐标图（一）比例环节K对数幅频特性对数相频特性71图6-4-3比例环节的Bode图72对数幅频特性对数相频特性(二)积分环节73图6-4-4积分环节的Bode图74如果v个积分环节串联，则传递函数为对数幅频特性对数相频特性7576对数幅频特性对数相频特性（三）理想微分环节77图6-4-5微分环节的Bode图78对数幅频特性对数相频特性称为转折频率或交接频率或转角频率。（四）惯性环节79图6-4-6（a)惯性环节的Bode图···80当81最大误差图6-4-6(b)惯性环节对数幅频特性误差曲线转角频率82(五)一阶微分环节对数幅频特性对数相频特性称为转折频率或交接频率或转角频率。83图6-4-7一阶微分环节的Bode图低频渐近线精确曲线高频渐近线84对数幅频特性对数相频特性(六)振荡环节85图6-4-8振荡环节的Bode图86对数幅频特性对数相频特性称为转折频率或交接频率或转角频率。(七)二阶微分环节87

图6-4-9二阶微分环节的Bode图88对数幅频特性对数相频特性(八)延时环节89图6-4-10延时环节的相频特性90三、系统对数坐标图的一般画法图6-4-11开环系统结构图9192开环幅频特性开环相频特性开环对数幅频特性936.修正误差，画出比较精确的对数幅频特性；

7.画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性。绘制系统对数坐标图的一般步骤如下：

2.确定各环节的转角频率；3.分别画出各典型环节的对数幅频特性的渐近线；

4.将各个环节的对数幅频特性曲线的渐近线进行叠加（不包括系统总的增益K）；

5.将叠加后的曲线垂直移动到，得到系统的对数幅频特性；

1.由传递函数求出频率特性，并将转化为若干个标准形式的典型环节频率特性相乘的形式；94例6-12

已知系统的开环传递函数为试绘制系统的伯德图。解：（1）系统的开环频率特性为对数幅频特性对数相频特性（2）各环节的转角频率

惯性环节的转折频率惯性环节的转折频率95图6-4-12开环系统Bode图BCDEFHI96例6-13

已知系统的开环传递函数为试绘制系统的伯德图。97

图6-4-13例6-13Bode图98例6-14

已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统伯德图。99

图6-4-14例6-14Bode图10100例6-15

作开环传递函数的系统的对数坐标图。开环传递函数包含比例环节、两个惯性环节和微分环节，频率特性为解：（2）（1）

惯性环节的转折频率惯性环节的转折频率微分环节的转折频率101

图6-4-15例6-15Bode图102若系统的频率特性为

（2）在各环节的转角频率处，对数幅频渐近线的斜率发生变化，其变化量等于相应的典型环节在其转角频率斜率的变化量（即其高频渐近线的斜率）。

（1）系统在低频段的频率特性为,因此,其对应的对数幅频特性在低频段表现为过点,斜率为的直线。系统的对数坐标图具有如下特点:103四、由频率特性确定传递函数

频率特性是线性系统（环节）在特定情况(输入正弦信号)下的传递函数，故由传递函数可以得到系统（环节）的频率特性。反过来，由频率特性也可求得相应的传递函数。最小相位系统的幅频特性和相频特性是一一对应的，一条对数幅频特性曲线只有一条对数相频特性曲线与之对应。因而利用伯德图对最小相位系统写出传递函数，进行分析以及综合校正时，往往只需作出对数幅频特性曲线就可以。104例6-16

已知最小相位系统开环对数幅频特性如图6-4-16所示。图中虚线为修正后的精确曲线，试确定开环传递函数。图6-4-16例6-16最小相位系统的对数幅频特性105解：（1）起始段的斜率为，说明传递函数中包含一个积分环节，即。时，纵坐标为。则

即（2）在频段上，斜率由改变为，说明开环传递函数中包含一阶微分环节，由于转折频率为，则即106（3）在时，的斜率由改变为，可知系统中包含一个转折频率为的振荡环节，即（4）由修正曲线可确定值故对应的最小相位系统的传递函数为即107例6-17

已知二阶系统的开环传递函数为试绘制系统的伯德图。解：键入下列命令：num=1;den=[1,0.2,1];bode(num,den);gridon图6-4-17例6-17的伯德图自动确定的频率范围是0.1～10。108第五节伯德稳定判据一、开环伯德图与开环奈奎斯特图的对应关系（1）奈奎斯特图上的单位圆对应于伯德图上的线，即对数幅频特性图的横轴。因为此时（2）奈奎斯特图上的负实轴相当于伯德图上的线，因为此时而单位圆之外即对应于对数幅频特性图的线之上。109图6-5-1奈奎斯特图及其对应的伯德图剪切频率幅值穿越频率相位穿越频率（a）（b）110二、穿越的概念三、伯德稳定判据

从开始的正或负穿越，以半次正或负穿越计算闭环系统稳定的充要条件是：在伯德图上，当由零变化到时，在开环对数幅频特性为正的频率范围内，开环对数相频特性对线的正穿越与负穿越次数之差为时，系统稳定;否则系统不稳定。111

若开环传递函数中有个积分环节，则由处给相频特性突加个，以虚线表示，计算正负穿越时，补上的虚线看成对数相频特性的一部分。例6-18

已知系统的开环传递函数位于右半平面的极点个数P，以及系统的开环伯德图如图6-5-2a、b、c所示，试判断闭环系统的稳定性。112

(a)(b)不稳定稳定113图6-5-2例6-18的伯德图(c)稳定114第六节系统的相对稳定性

在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题。

所谓相对稳定性(RelativeStability)就是指稳定系统的稳定状态距离不稳定(或临界稳定)状态的程度。反映这种稳定程度的指标就是稳定裕度。一、相对稳定性的概念对于最小相位的开环系统，稳定裕度就是系统开环极坐标曲线距离实轴上点的远近程度。这个距离越远，稳定裕度越大，系统的稳定程度越高。115图6-6-1系统的相对稳定性稳定裕度的表示:相位裕度和幅值裕度。(b)(a)116二、稳定裕度图6-6-2最小相位系统的稳定裕度(a)(b)117对于最小相位系统，如果相角裕度，系统是稳定的，且值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角度，系统则不稳定。当时，系统的开环频率特性曲线穿过点，系统处于临界稳定状态。(一)相位裕度在幅值穿越频率（GainCrossoverFrequency）上，使系统达到临界稳定状态所需附加的相角滞后量，叫相位裕度(PhaseMargin)，以表示。即，则118(二)幅值裕度在相位穿越频率（PhaseCrossoverFrequency）上，使所应增大的开环增益倍数，叫幅值裕度(GainMargin)，以表示。即，则对于最小相位系统，当幅值裕度

，系统是稳定的，且值愈大,系统的相对稳定性愈好。如果幅值裕度，系统则不稳定。当时，系统的开环频率特性曲线穿过点，是临界稳定状态。119幅值裕度的分贝值可用下式计算

1.

系统相对稳定性的好坏不能仅从相角裕度或幅值裕度的大小来判断，必须同时考虑相角裕度和幅值裕度。注意：

2.

为了使系统具有足够的稳定裕度和获得良好的动态性能，一般要求相角裕度，幅值裕度或。但是，对于无零点的二阶系统和只要求粗略估算动态性能的高阶系统，一般只用相角裕度也就够了。120图6-6-3稳定裕度的比较(a)(b)121三、稳定裕度的求取例6-19

已知最小相位系统的开环传递函数为试求出该系