随机变量及其分布考点总结

第二章随机变量及其分布复习一、随机变量.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量•若E是一个随机变量，a,b是常数•则n=ag+b也是一个随机变量•一般地，若E是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f忆)也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量3、 分布列：设离散型随机变量E可能取的值为：x,x，…,x，…12iE取每一个值x(i=1,2,…)的概率P(^=x)=p，则表称为随机变量E的概率分布，简称E的分布列.£ 1 1xxc i i •••x•••p丄2p2•••p. i 1•••有性质①P>0,i=1,2,…； ②P+pH FpH=1.1 1 2 i注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量例如:gw[0,5]即£可以取0〜5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.典型例题：c1、 随机变量£的分布列为P(g=k)= ,k=1,2,3 ，则P(1<g<3)= k(kF1)12、 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为7，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用£表示取球的次数。(1)求£的分布列(2)求甲取到白球的的概率3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X的分布列。4、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班0人进行了问卷调查得到了如下的列联表:喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计503已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5.请将上面的列联表补充完整；是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由(3)已知喜爱打篮球的10位女生中，A，A，A,A,A还喜欢打羽毛球，B，B，B还喜欢打乒乓1 2 3 4 5 1 2 3球，C，C还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行12其他方面的调查，求B和C不全被选中的概率.11下面的临界值表供参考：(参考公式：K2(参考公式：K2=n(ad一bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=aFbFcFd)p(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

二、几种常见概率1、条件概率与事件的独立性B|A与AB的区别： P(B|A)的计算公 ,注意分子分母事件的性质相同P(AB)的计算公式 注意二点：前提，目标，一般情况 P(A+B)的计算公 注意二点：前提，目标，一般情况 典型例题：1、市场上供应的灯泡，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率80%，则从市场上买到一个是甲厂产的合格品的概率是多少？2、把一副扑克52张随即均分给赵钱孙李四家，A=｛赵家得到六章草花｝,B=｛孙家得到3张草花｝，计算P(B|A)，P(AB)3、从混有5张假钞的20张百元钞票中任取两张，将其中1张在验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率。4、有外形相同的球分装在三个盒子，每个盒子10个，其中第一个盒子7球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中五个红球五个白球；第三个盒子八个红球，两个白球；在如下规则下：先在第一个盒子取一个球，若是A球，则在第二个盒子取球；如果第一次取出的是B球，则在第三个盒子中取球，如果第二次取出的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率。5、在图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是 11123511时，电路畅通的概率是 1112351146L1 甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求:2人都射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率;2人中恰有1人射中目标的概率；2人至多有1人射中目标的概率?三、几种分布⑴独立重复试验与二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：P(孕k)=Ckpkqn-k[其中k=0,1, ,n,q=1—p]于是得到随机变量E的概率分布如下：我们称这样的随机变量E服从二项分布，记作g〜B(n•p)，其中n，p为参数，并记Ckpkqn—k=b(k;n-p).n⑵二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对n次独立重复试验•关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

£1 2 1 k1 k 23•••k•••Pqqpq2p•••qk-1p•••p(g=k)=P(A)P(A)…P(A)P(A)=qk-ip(k£1 2 1 k1 k 23•••k•••Pqqpq2p•••qk-1p•••p(g=k)=P(A)P(A)…P(A)P(A)=qk-ip(k二1,2,3,…)于是得至U随机变量E的概率分布列.我们称E服从几何分布，并记g(k,p)=qk-ip，其中q=1-p.k=1,2,3…⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M(MVN)件次品，今抽取n(1<n<N)件，则其中的次品数E是一离散型随机变量，分布列为P(g=k)=CM“厲•(0<k<M,0<n-k<N-M)•〔分子是从M件次品中取CnNk件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定m<r时Cr=0，则k的范围可以写为k=O,l,…，mn.〕⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件(lWnWa+b),则次品数E的分布列为p(g=k)=Ck©-kk=0,1,…,n.•Cna+b⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数E服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数耳的分布列可如下求得：把a+b个产品编号，则抽取n次共有(a+b)n个可能结果，等可能：(n=k)含Ckakbn-k个结果，故P(n=k)=Ckakbn-k=Ck(―a)k(l——^)n-k,k=0,1,2,…,n，即耳~B(n- )•［我n (a+b)n na+b a+b a+b们先为k个次品选定位置，共Ck种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法］可n以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P忆=k)二P(n=k)，因此二项分布可作为超几何分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样.典型例题：1、某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留两个有效数字)：(1)5次预报中恰有4次准确的概率；(2)5次预报中至少有4次准确的概率•2、在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。求蜜蜂落入第二实验区的概率；若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX。3、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中两只服用A,两只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为2/3，服用B有效的概率为1/2.求一个试验组为甲类组的概率。观察3个试验组，用£表示3个试验组中甲类组的个数，求£分布列某射击运动员每次射击击中目标的概率为p(O〈p〈l)。他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他射击次数的分布列。离散型随机变量取值的平均水平.2.⑴随机变量耳二ag+b的数学期望：En=E(ag+b)=离散型随机变量取值的平均水平.2.⑴随机变量耳二ag+b的数学期望：En=E(ag+b)=aEg+bgxx•••x•••P丄p22••••••二、数学期望与方差.1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量E的概率分布为则称Eg=xp+xp+…+乂p+…为E的数学期望或平均数、均值•数学期望又简称期望•数学期望反映了1122nn当a=0时，E(b)=b，即常数的数学期望就是这个常数本身.当a=1时，E(g+b)=Eg+b，即随机变量E与常数之和的期望等于E的期望与这个常数的和.当b=0时，E(ag)=aEg，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积⑵单点分布：Eg=cxl=c其分布列为：P(g=1)=c-⑶两点分布：Eg=0xq+lxp=p，其分布列为：E01Pqp(p+q=1)⑷一项分布：Eg=Yk- — pk-qn-k=np其分布列为gk!(n-k)!B(n,p).(P为发生g的概率)⑸几何分布：Eg=丄其分布列为g〜q(k,p).(P为发生g的概率)p3•方差、标准差的定义：当已知随机变量E的分布列为P(g=x)=p(k=1,2,…)时，则称k kDg=(x-Eg)2p+(x-Eg)2p+…+(x-Eg)2p+…为E的方差.显然Dg>0，故og=\Dg.Og为E的根方差或标准1 1 2 2 n n差•随机变量E的方差与标准差都反映了随机变量E取值的稳定与波动，集中与离散的程度.Dg越小,稳定．性．越．高．，．波．动．越．小．.．方差的性质.E01Pqp⑴随机变量n=ag+b的方差D(n)=D(ag+b)=a2Dg.(a、b均为常数)⑵单点分布：Dg=0其分布列为P(g=1)=p⑶两点分布：Dg=pq其分布列为：(p+q=1)⑷二项分布：Dg=npq⑸几何分布：Dg=/-p2期望与方差的关系.⑴如果Eg和En都存在，则e(g±n)=Eg±En⑵设E和n是互相独立的两个随机变量，则e(gn)=Eg-En,D(g+n)=Dg+Dn⑶期望与方差的转化：Dg=Eg2-(Eg)2 ⑷E(g-Eg)=E(g)-E(Eg)(因为Eg为一常数)=Eg-Eg=0--4-典型例题：1、 如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T,T,T,T，电流能通过T,T,T的概率都是p,TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4 1 2 3电流能通过T的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知T,T,T中至少有一个能通过电流的4 1 2 3概率为0.999.(I)求p； (II)求电流能在M与N之间通过的概率；(III)匕表示T,T,T,T中能通过电流的元件个数，求g的期望.12 3 42、一名小学教师为了激发学生阅读名著的热情，在班内进行名著和其作者的连线游戏，作为奖励，参加连线的同学每连对一个奖励一朵小红花。假定一名小学生对四大名著没有了解，只是随即连线，试求该同学得到小红花数X的分布列，均值，方差。3、甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。2221假设甲队中每人答对的概率均为3，乙队中3人答对的概率分别为3,3,2且各人正确与否相互之间没有影响•用&表示甲队的总得分.(I)求随机变量&分布列和数学期望；仃I)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).一24、某射手每次射击击中目标的概率是3，且各次射击的结果互不影响。假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；III)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记g为射手射击3次后的总的分数，求g的分布列，均值，方差。

三、正态分布.1•密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量位于x轴上方，E落在任一区间［a,b)内的概率等于它与x输直线x=a与直线x=b所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分)的曲线叫E的密度曲线，以其作为图像的函数f(x)叫做E的密度函数，由于“xe(-也+刈”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量E的概率密度为：f(x)=且QA0)，称E服从参数为PQ的正态分布，用£〜N(PQ2)表示.f(x)的表达式可简记为N(PQ2)，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若£〜N(PQ2)，则E的期望与方差分别为：Eg=p,Dg=G2.⑶正态曲线的性质.①曲线在x轴上方，与x轴不相交.②曲线关于直线x二卩对称.当x二卩时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.当xv卩时，曲线上升；当x>卩时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以X轴为渐近线，向x轴无限的靠近.当R一定时，曲线的形状由Q确定，Q越大，曲线越“矮胖”•表示总体的分布越分散；Q越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.⑴标准正态分布：如果随机变量E的概率函数为申(x)=-^e-2(-sYxY+s)，则称E服从标准正态分布.即£〜N(0,1)有9(x)=P(£<x)，*(x)=1-甲(-x)求出，而P(aVWb)的计算则是P(aY£<b)=9(b)-*(a).a(x)A0.5.比如S注意：当标准正态分布的0(x)的X取0时，有0(x)=0.5当0(x)的a(x)A0.5.比如S①严一卩)=0.0793Y0.5则0.5一卩必然小于0,如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若£〜N(p,Q2)则E的分布函数通常用F(x)表示，且有P(g<x)=F(x)=9(兰——).° 标准正态分布曲线4.(1)3Q原则. S阴0.5Sa=0.5+S假设检