长江大学高等代数基本定理

第一章带余除法对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)丰0,一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，使f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，其中d(r(x))<d(g(x))或者r(x)=0，并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的.定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中g(x)丰0,g(x)If(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.定理2对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x),v(x)使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).定理3P[x]中两个多项式f(x),g(x)互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u(x),v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.定理4如果(f(x),g(x))=1，且f(x)Ig(x)h(x)，那么f(x)Ih(x).定理5如果p(x)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f(x),g(x)，由p(x)If(x)g(x)—定推出p(x)If(x)或者p(x)Ig(x).因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数>1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式f(x)二p(x)p(x)Lp(x)二q(x)q(x)Lq(x),那么必有s=t，并且适当排列因式1 2s1 2t的次序后有p(x)=cq(x),i=1,2,L,s,其中c(i=1,2,L,s)是一些非零常数.i ii i定理6如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k>1)，那么它是微商f'(x)的k-1重因式.定理7(余数定理)用一次多项式x-«去除多项式f(x)，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f(a).定理8P[x]中n次多项式(n>0)在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算.定理9如果多项式f(x),g(x)的次数都不超过n，而它们对n+1个不同的数a,a,La有相同的值，即f(a)二g(a),i二1,2,Ln+1,那么f(x)=g(x).12 n+1 i i代数基本定理每个次数＞1的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数＞1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数＞1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理10(高斯(Gauss)引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.TOC\o"1-5"\h\z定理12设f(x)二axn+axn-1+L+a是一个整系数多项式，而-是它的有理n n-1 0 s根，其中r,s互素，那么必有sIa,rIa.特别地，如果f(x)的首项系数a二1，那n 0 n么f(x)的有理根是整根，而且是a的因子.0定理13(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)设f(x)二axn+axn-1+L+a是一n n-1 0个整系数多项式，如果有一个素数p，使得p/a；npIa,a,L,a；n-1n-2 0p2/a0那么f(x)在有理数域上是不可约的.第二章定理1对换改变排列的奇偶性.定理2任意一个n级排列与排列12Ln都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.定理3设d=a11a21定理3设d=a11a21Ma12a22Ma1na2nM，A表示元素a的代数余子式，则下列公式成ij ijan1an2ann立：aA+aAk1i1 k2i2aA+aAk1i1 k2i2+aknAind，当k二i,0,当k丰i.d，d，当l=j,0,当l丰j.并且解是唯一的，解可以通过系数表为aA+aA+L+aA=1l1j 2l 2j nlnj定理4（克拉默法则）如果线性方程组111122ax+ax+LV 21 1 22 2LLLL1n+a2nn1x=b,n2ax+ax+L+ax=bn11 n2 2nnnnaaLa11121n的系数矩阵A=aaLa21222nMMMaaLa的行列式d=|a|n1丰0，n2nnax+ax+L+ax=b,那么该线性方程组有解，X1=茅X2=共,Xn=牛,其中〃是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项b,b,L,b所成的行列式，即1 2naLabaLa111,j-11 1,j+11naLabaLa .d=212,j-12 2,j+12n,j=1,2,L,n.jMMMMMaLabaLan1n,j-1nn,j+1nn定理5如果齐次线性方程组ax+ax+L+ax=0,111122nn1ax+ax+L+ax=0V211222nn2LLLLax+ax+L+ax=0n1n22nnn的系数矩阵的行列式|A|H0,那么它只有零解•换句话说，如果该方程组有非

零解，那么必有|A|=0.定理6(拉普拉斯定理)设在行列式D中任意取定了k(1<k<n-1)个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.定理7两个n级行列式D=1aaLabbLb1112定理7两个n级行列式D=1aaLabbLb11121n11121naaLa和DbbLb21222n=21222nMMM2MMMaaLabbLbn1n2nnn1n2nn的12In乘积等于一个n级行列式C=ciic21Mcc22Mcn2cc2nM，其中cj是Di的第i行元素分别与cn1D的第j列的对应元素乘积之和：c=a2 ijcnn:b+ab+L+ab.i11ji22j innj第三章定理1在齐次线性方程组ax+ax+L+ax=0,111 122 innax+ax+L+ax=0,v211 222 2nnLLLLax+ax+L+ax=0n11n2 2 nnn中，如果S<"，那么它必有非零解.定理2设a1,a2L,ar与b竹L，br是两个向量组，如果向量组a1,a2L,ar可以经b1,b2,L,br线性表出，r>s，那么向量组a1,a2L,ar必线性相关.定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量定理4矩阵的行秩与列秩相等.定理5nn矩阵

aaLa1112n1A=aaLa2122n2MMMaaLan1n2nn的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n.rr定理6一矩阵的秩是的充分必要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有丫+1级子式全为零.ax+ax+L+ax+ax+L+ax=b,111 122 1nnax+ax+L+axv211 222 2nnLLLL1=b,ax+ax+ax+ax+L+axn11n2 2它有基础解系，并且基础解aaLaaaLab11121n11121n1aaLaaaLab21222n与增广矩阵A=21222n2MMMMMMMaaLaaaLabs1s2sns1s2sns有相同的秩。定理8在齐次线性方程组有非零解的情况下，nnnn系所含解的个数等于n-r，这里r表示系数矩阵的秩.ax+ax+L+ax=b,111 122 1nn1亠亠,m ax+ax+L+ax=b…人「亠匚“^”,、、、定理9如果r是万程组V211 222 2nn2的一个特解，那么该万0LLLLax+ax+L+ax=bn1 1n2 2 nnnn程组的任一个解r都可以表成r=r0+h，其中h是导出组ax+ax+L+ax=0,111 12 2 1n nax+ax+L+ax=0,,,人匚―「 ”十、十匚,,,, 人「亠匚 ,,V211 222 2n n 的一个解.因此，对于万程组的任一个特解r0，当h取L/L/L/L/ax+ax+L+ax=0n1 1n2 2 nnn遍它的导出组的全部解时，r=r0+h就给出本方程组的全部解.第四章定理1设A,B是数域P上的两个n，n矩阵，那么|AB|=\A\\B，即矩阵的乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.定理2设A是数域P上n'm矩阵，B是数域P上m's矩阵，于是秩（AB）£min［秩（A）,秩（B）］，即乘积的秩不超过各因子的秩.定理矩阵a是可逆的充分必要条件是A非退化，而定理rA是一个S-定理矩阵a是可逆的充分必要条件是A非退化，而定理rA是一个S-A*（d=\A0）d〃矩阵，如果P是"S可逆矩阵，Q是/“可逆矩阵,那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ).定理任意一个s轾10L0L0犏犏01L0L0MMn矩阵A都与一形式为g0L1L0的矩阵等价，它称为矩犏犏犏犏犏犏犏犏犏0L0L0MMM0L0L0阵A的标准形，主对角线上1的个数等于A的秩（1的个数可以是零）.定理6n级矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：A积：A=Q1Q2LQm12m第五章定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和dx2+dx2+Ldx2.11 22nn定理2在数域p上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定理3任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。定理4任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。定理5（1）任一复对称矩阵a都合同于一个下述形式的对角矩阵；

犏1犏犏O犏臌（2）r1 ，其中，对角线上1的个数等于A的秩犏1犏犏O犏臌（2）r1 ，其中，对角线上1的个数等于A的秩.0O0任一实对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵:犏犏犏犏i犏犏犏-i犏犏犏O犏犏犏 -i犏犏犏 0犏犏 O犏犏犏 0，其中对角线上1的个数P及-1的个数丫-P（r是A的秩）都是唯一确定的，分别称为A的正、负惯性指数.它们的差2p-r称为a的符号差.定理6n元实二次型f（XiX2L，Xn）是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于定理7实二次型naxx=XAXijiji=1j=1是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零.定理8对于实二次型f^，…，二）=XAX其中A是实对称的，下列条件等价:f(x1,x2,L,xn)=i）2）f（X「巴）是半正定的，它的正惯性指数与秩相等3）有可逆实矩阵C，使C'AC=did2其中，dRi=l,2,・,・n（4）有实矩阵C使A=CC，（5）A的所有主子式皆大于或等于零.第六章定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量°1'°2「耸，且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，而乌就是V的一组基.定理2如果线性空间V的非空子集合W对于V的两种运算是封闭的，那么W就是一个子空间.定理31）两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.2）气终,・•,）的维数等于向量组吟号••巴的秩.定理4设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，°1'°2厂乌是W的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就是说，在V中必定可以找到n-m个向量力0^咒，使得°1吟°巴是V的一组基.定理5如果V,V是线性空间V的两个子空间，那么它们的交VnV也是V的子空1212间.定理6如果V,V是V的子空间，那么它们的和V+V也是V的子空间.1212定理7（维数公式）如果V,V是线性空间V的两个子空间，那么12维（V）+维（V）=维（V+V）+维（vnv）.121212定理8和V+V是直和的充分必要条件是等式12a+a=0,12agV（i=1,2）ii只有在a全为零向量时才成立.i定理9设V,V是V的子空间，令W=V+V，则W=V㊉V的充分必要条件为121212维（W）=维（V）+维（V）.12定理10设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使V=U㊉W.定理11V,V，…,V是V的一些子空间，下面这些条件是等价的：12s

1） W=》V是直和；i2） 零向量的表法唯一；3） Vn工V={o} （i=1,・2・,s,ijj丰i4） 维（w）=工维（V）.i定理12数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.第七章定理1设g,g，…,g是线性空间V的一组基，a,a,•••«,是V中任意n个向量.存在1 2n 1 2n唯一的线性变换A使Ag“,i=1,2,…,n.ii定理2设g,g，…,g是数域p上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线1 2n性变换对应一个nxn矩阵•这个对应具有以下的性质：1）线性变换的和对应于矩阵的和；2） 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3） 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理3设线性变换A在基g,g，…,g下的矩阵是A，向量g在基g,g，…,g下的坐1 2n 1 2n标是(x,x，…,x)，1 2n则Ag在基g,g，…,g标是(x,x，…,x)，1 2n1 2n 1 2n定理4设线性空间定理4设线性空间V中线性变换A在两组基yx11y=Ax22_y_xnn计算.TOC\o"1-5"\h\zg,g，…,g （6）1 2n耳，耳，…，耳 （7）1 2n下的矩阵分别为A和B，从基（6）到基（7）的过渡矩阵是X，于是B=X-1AX•定理5线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.定理6相似的矩阵有相同的特征多项式.哈密尔顿一凯莱(Hamilton-Caylay)定理设a是数域p上一个nxn矩阵，f(入)=|XE-A|是A的特征多项式，贝Uf(A)=An—(a+aH \-a)An-1h f(—1)n|a|e=O•11 22 nn定理7设A是n维线性空间V的一个线性变换，A的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，A有n个线性无关的特征向量.定理8属于不同特征值的特征向量是线性无关的.定理9如果九，…,九是线性变换A的不同的特征值，而a，…,«是属于特征值九的1k i1 irii线性无关的特征向量，i=1,…,k，那么向量组a，…,a，…,a，…。也线性无关.11 1r1 k1 krk定理10设A是n维线性空间V的线性变换，£,£，…,£是V的一组基，在这组基12n下A的矩阵是A，则A的值域AV是由基像组生成的子空间，即AV=L(A£,A£,…，A£)-1 2 nA的秩=A的秩.定理11设A是n维线性空间V的线性变换，则AV的一组基的原像及A-1(0)的一组基合起来就是V的一组基.由此还有A的秩+A的零度=n.定理12设线性变换A的特征多项式为f(九)，它可分解成一次因式的乘积f(九)=(九一九)r(九一九九…(九一九)r•1 2 s则V可分解成不变子空间的直和V=V㊉V㊉…㊉V，1 2 s其中V=£I(A-入£)忆=0,^eV}•ii定理13设A是复数域上线性空间V的一个线性变换，则在V中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.定理14每个n级复矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似.定理15数域P上n级矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积.第八章定理1一个nn的l-矩阵A(l)是可逆的充分必要条件为行列式|A(l)|是一个非零的数.定理2任意一个非零的S'n的/-矩阵a(i)都等价于下列形式的矩阵其中r?1di(I)(i1,2L,r)是首相系数为1的多项式，且d(l)|d(l)，(i=1,L2,r-1.)i i+1定理3等价的l-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.定理4l-矩阵的标准形是唯一的.定理5两个l-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.定理6矩阵A(l)是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.定理7设A,B是数域P上的两个n'n矩阵.A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵lE-A和lE-B等价.定理8两个同级复数矩阵B相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子.定理9首先用初等变换化特征矩阵lE-A为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A的全部初等因子.定理10每个n级矩阵的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形.定理11设A是复数域上线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.定理12复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的初等因子全为一次的.定理13复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的不变因子都没有重根.定理14数域P上n'n方阵A在P上相似于唯一的一个有理标准形，称为A的有理标准形.定理15设A是数域P上n维线性空间的线性变换，则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定，称为A的有理标准形.第九章定理1n维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.定理2对于n维欧式空间中任意一组基s,£,•••,£,都可以找到一组标准正交基12n