物理奥赛7：热学

奥赛典型例题分析(热学)11.假设一颗行星的质量为M，半径为r，它被均匀的大气所包围，大气的摩尔质量为μ，若大气层的厚度为h（h<<r），试求该行星表面上大气的温度.

2例1解：设该行星的重力加速度为，据万有引力定律,对在该行星表面的质量为m的物体有即这行星的大气在行星表面附近所产生的压强为对该行星的大气，据克拉珀龙方程有由(1)、(2)、(3)式可得该行星表面上大气的温度为32.一辆质量为M、长度为L的车厢可以无摩擦地沿直水平轨道运动，车厢内充满气体，正中间由一块可动的竖直隔板分开，气体的初始温度为T，右半侧车厢内装有加热器，使这侧的气体的温度加热到2T。左半侧车厢内气体的温度保持初温不变，试求车厢发生的位移.设气体的总质量为m.4例2解：加热前，左、右两侧车厢内气体的质量、压强、体积、温度都相等.右侧车厢的气体加热后，当温度稳定时，左、右车厢内的气体压强相等，但体积不同.对每侧气体，利用克拉珀龙方程得故这表明加热后，隔板位于距车厢左端处.建立x轴，如图所示.设左、右气体的质心的对地的位移分别为∆x1和∆x2，车厢质心的位移为∆x车.由于整个系统水平方向不受外力作用，而且又无初速度，所以系统质心水平方向无位移.于是有5又由以上方程可解得∆x>0表明车厢的位移方向沿x轴正方向.63.一球形热气球，其隔热很好的球皮连同吊篮等装载的总质量为300kg，经加热后，气球膨胀到最大体积，此时它的直径为18m，球内外的气体成分相同，而球内气体的压强稍稍高过大气压，试求刚好能使热气球上升时，球内空气的温度.已知此时大气温度为27ºC，压强为1atm，标准状态下空气的密度为1.3kg/m3.(92年9届决赛题)7例3解：把气球内外的气体看作是理想气体，当气球胀足刚要升起时，气球所受的浮力等于气球连同装载所受的重力，由此得质量关系为式中M2为此时气球内气球的质量，M1为气球所排开空气的质量，其大小为式中d为气球直径，ρ1为此时(温度为T1＝300K，压强为p1＝1atm)空气的密度.它与标准状态下(温度为T0＝273K，压强为p0＝1atm)的空气密度的关系为8于是可求得设膨胀后气球内空气体积和压强为V2和p2，温度为T2，则由理想气体状态方程得另一方面，考虑被气球排开的那一部分空气，应有由题设条件知故可解得即当气球内气体加热到327K时，气球开始升空.94.一气缸初始体积为v0，其中盛有2mol的空气和少量的水（水的体积可忽略），平衡时气体的总压强是3大气压，经等温膨胀使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时总压强为2大气压，若让其继续做等温膨胀，使其体积再次加倍，试计算此时(1)气缸中气体的温度；(2)气缸中水蒸气的摩尔数；(3)气缸中气体的中压强.(99年16届复赛题)10例4解：(1)只要有液态水存在，平衡时气缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强的和.故有第一次等温膨胀后：因为是等温膨胀，所以由以上各式得11由于，可知气缸中气体的温度为(2)依题意，经两次等温膨胀后，气体温度不变.设水蒸气有摩尔，经第一次等温膨胀，水全部变成水蒸气.水蒸气压强仍为，这时对于水蒸气和空气分别有由(5)、(6)、(8)、(9)式可解得12(3)在第二次等温膨胀后，对混合理想气体有依题意知，代入上式可得135.在一具有绝热壁的刚性圆筒形封闭气缸内，有一装有小阀门L的绝热活塞，在气缸的A端装有电热器H，可用来加热气体，起初活塞紧贴着气缸的B端的内壁，小阀门关闭，整个气缸内盛有一定质量的某种理想气体，其温度为T0，活塞与气缸壁之间无摩擦.现设法把活塞压至气缸中央，并用销钉F把活塞固定，从而把气缸分成体积相等的左右两室，如图1所示，在上述压缩气体的过程中，设对气体做功为W，气体温度上升到T，再开启小阀门，经足够长的时间后将其关闭，然后拔除销钉，让活塞可以自由移动，并用加热器加热气体，加热完毕并经一定时间后，得知左室内气体的压强变为加热前的1.5倍，右室气体的体积变为原来的0.75倍，试求电热器传给气体的热量.图1FHLAB14例5解：图1FHLAB取气缸内的气体为研究对象，对全过程的各个阶段从状态参量的变化及能量的变化两个角度进行分析，并找出各分过程联系的关键量和关系式.设气缸内有的理想气体，其定容摩尔热容量为CV，气缸容积为2V.则(1)活塞从B端至气缸中央，气体经历绝热压缩过程，故(2)气体作自由膨胀，Q＝0，A＝0故所以，自由膨胀后气体温度不变.设膨胀结束时气体压强为p.(3)左室气体受热膨胀，右室气体绝热压缩，最后平衡时，左、右室气体压强相等.15图1FHLAB左室气体加热前，压强为p，体积为V，温度为T；加热后，压强为1.5p，体积为5V/4，温度为TA.由理想气体状态方程得得左室气体加热前，压强为p，体积为V，温度为T；加热后，压强为1.5p，体积为3V/4，温度为TB.由理想气体状态方程得得16图1FHLAB对整个气体，这分过程外界不做功.故据热力学第一定律有由(1)、(2)、(3)、(4)式可解得176.在大气压为76cmHg的环境中，把一根长为76cm的粗细均匀的玻璃管竖直倒置在水银槽面上，管口恰在水银面，设在某一温度下，已有一部分水银进入管内，管内水银柱上方封闭的空气有0.001mol，现把玻璃管的温度缓慢降低10ºC，试求管内空气放出的热量.已知每摩尔空气的内能为U＝CVT,常数CV＝20.5J/mol·K.18例6解：以管内空气为研究对象，当温度降低10°C时，其内能的改变为设在降温过程中，管内空气柱的高度为x，水银柱的高度为h，则有管内空气的压强为由于外界大气压为所以有在降温过程中，外界对管内空气柱的功可用右图计算19所以在降温过程中管内空气与外界交换的热量为负号表示放热.207.空气是混合气体，各组分质量百分比约为：氮气占76.9%，氧气占23.1%，其它组分可忽略不计，现有一气缸，缸内充有空气，并装有一些极细的钢丝，气缸的活塞能自由无摩擦地移动，使气缸内的气体的压强恒为1大气压，缸内有非常缓慢的化学反应，假定生成1mol的Fe2O3后氧气耗尽，已知这个过程是在1atm、300K的条件下进行的，系统放热8.24×105J，已知氧和氮的摩尔内能均为2.5RT，细钢丝的体积可忽略，试求这过程中（1）整个系统内能的改变量；（2）气缸内气体内能的改变量；（3）气缸内氮气密度的改变量.(93年16届决赛题)21例7解：(1)气缸内的化学反应为因铁氧化，反应后气缸内氧气的摩尔数变化量为(负号表示氧气的摩尔数减少)故气缸内气体的体积也随之减少：在这等温等压过程中，外界对系统的功为依题意知过程中系统放热因此据热力学第一定律得系统内能的改变为22(2)气缸内气体温度恒定，但氧气的摩尔数减少了，故气缸内气体内能减少：(3)由于气缸内生成物为Fe2O3，可知气缸内气缸内原有氧气的质量M1和氮气的质量M2分别为以p0表示一个大气压，p1表示反应前氮气的压强，V0表示反应前气缸内空气的体积，V表示反应后氮气的体积，μ1、μ2分别表示氧气和氮气的摩尔质量，Δρ表示气缸内氮气密度的改变量，那么反应前：对氮气有23对氧气有反应后：对氮气有那么由以上方程并代入数据可解得248.如图2所示，两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨，处于恒定磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直．一质量为m的均匀导体细杆，放在导轨上，并与导轨垂直，可沿导轨无摩擦地滑动，细杆与导轨的电阻均可忽略不计．导轨的左端与一根阻值为R0的电阻丝相连，电阻丝置于一绝热容器中，电阻丝的热容量不计．容器与一水平放置的开口细管相通，细管内有一截面为S的小液柱（质量不计），液柱将1mol气体（可视为理想气体）封闭在容器中．已知温度升高1K时，该气体的内能的增加量为（R为普适气体常量），大气压强为p0，现令细杆沿导轨方向以初速v0向右运动，试求达到平衡时细管中液柱的位移．(05年22届预赛题)

v0R0图225因容器中气体经历的过程是等压过程，故有据能量守恒得又由以上各式可解得例8解：v0R0图1导体杆在运动过程中产生动生电动势，从而回路中有感应电流.因此导体杆在运动过程中受安培力作用而减速，最终停止运动.其初动能将全部转变为焦耳热为容器中气体所吸收.269.一质量为m的平薄长方形匀质玻璃板，用两根等长细线悬挂起来，如图3所示，玻璃板每一侧面的半个表面对称地涂了一层化学性质活泼的金属薄膜，其质量可忽略不计，整个装置竖直地悬挂在空的容器中，并向容器通入压强为p的氯气，设某一氯气分子遇金属分子发生化合反应的概率q<1，且在讨论的时间范围内q为恒量，生成的氯化物留在玻璃板上，整个装置中的线量均已在涂中标出，平衡时玻璃板将绕它的中央竖直轴转过一个小角度α，试求这α值.aa2abbc金属薄膜金属薄膜bb图327与金属发生反应的氯气分子对玻璃板的碰撞可认为是完全非弹性碰撞，不发生反应的氯气分子对玻璃板的碰撞可认为是完全弹性碰撞，对于前者，氯气分子对玻璃板的冲量是后者的一半.氯气的压强为，故未涂金属膜的玻璃板表面所受的压强也为，n是容器内氯气分子数密度.因每一氯气分子与金属膜发生化合反应的概率是q，所以不发生反应的概率应是1－q.因而n中有nq个分子与金属膜发生完全非弹性碰撞，对压强的贡献为(系数1/2来自非弹性碰撞所产生的冲量是弹性碰撞所产生的冲量的一半)例9解：28n个分子中有（1－q）n个分子与金属不发生反应，与金属膜发生完全弹性碰撞而对压强的贡献为因此，玻璃板涂金属膜表面所得压强为与的压强差为金属薄膜金属薄膜bb图2

Δp形成的前后一对压力均匀分布在涂金属膜的玻璃板前后两个半侧上，如