概率论第二章

第二章随机变量及其分布

离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量随机变量函数的分布

关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量2.1随机变量的概念定义.

设Ω={ω}是试验的样本空间，如果量X是定义在Ω上的一个单值实值函数即对于每一个ω

Ω

，有一实数X=X(ω)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z等表示。随机变量的特点:

1、X的全部可能取值是互斥且完备的2、X的部分可能取值描述随机事件ΩR例1从3个白球（1、2、3号），两个黑球（4、5号）的袋子中任取两球，设r.v.X表示取出的两个球中白球的个数。引入随机变量后，就可以用随机变量（r.v.）表示事件。（1）如果观察球的颜色，则有样本空间：

Ω1={ω00，ω01，ω11}，0---白，1----黑（1）如果观察球的号码，则有样本空间：用r.v.X表示取出的两个球中白球的个数。例掷一枚硬币。样本空间Ω={ω1，ω2}，

ω1----国徽向上，ω2-----字向上引入随机变量X：在试验结果中，r.v.X取得某一数值，记作X=x

，是一个随机事件。

都是随机事件。随机变量的分类：1.离散型随机变量：2.连续型随机变量:取值可列取值不可列

2.2离散随机变量定义若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称

P{xi}=p(X=xi),(i=1,2,…)为X的分布律或概率函数。可表为

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或X

x1 x2 …

xK

… Pk

p1 p2 … pk

…(1)P(xi)

0,i＝1,2,…;(2)

例设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解k可取值0，1，22.概率函数的性质例袋中有2个白球和3个黑球，每次从其中任取1个球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布，假定：（1）每次取出的黑球不再放回去；（2）每次取得的黑球仍放回去。解:(1)设r.v.x是取球次数，因为无放回，X的可能取值是1,2,3,4.

(2)设r.v.Y是取球次数，因为有放回，Y的可能取值是一切正整数.所求概率分布为：12m…………几何分布概率函数是：例

某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2,…A5,相互独立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

统计分布表频率分布--------统计分布或经验分布概率分布--------理论分布概率分布图p(x)x1x2xnx0.20.12.3常用的离散型分布1.(0-1)分布

若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或超几何分布对应的模型：

共N个产品，M个次品，现取n个，求其中的次品数为x的概率。2.

超几何分布（不放回抽样）

设随机变量X的可能值是0，1，2，…，n，概率函数为记作:X～H(n，M，N)概率函数：p(x;n，M，N)若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。记作X～B（n,p)

分布律为：3.

二项分布（放回抽样）

设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.概率函数：p(x;n，p)特殊地：n=1时，p(x)=pxq1-x可见，0---1分布是二项分布的特殊情形，记作B(1，p).定理1设随机变量X～H(n,M,N),

则N→∞时，X近似服从二项分布B(n,p)，即下面的近似等式成立：可见，当一批产品的总数N很大，而抽取的样品数n<<N时，一般说来，则不放回抽样（次品数服从超几何分布）与放回抽样（次品数服从二项分布）实际上没多大差别。例1

从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,X～B(6,1/3),于是,X的分布律为:泊松分布记作P(λ)

泊松分布常见于稠密性问题。4.

泊松分布

设随机变量X的可能值是一切非负整数，概率函数为归一化：定理2

设随机变量X～B(n,p),

则N→∞时，X近似服从泊松分布P(λ)，即下面的近似等式成立：说明：在证明过程中，设p=λ/n,所以，p的值必须很小（一般地，P≤0.1）,近似误差比较小。例设一批产品共2000个，其中有40个次品。随机抽取100个样品，求样品中次品数X的概率分布，如果抽样方式是:(1)不放回抽样；（2）放回抽样解（1）不放回抽样次品数X1～H（100,40,2000），（2）放回抽样次品数X2～B（100,0.02），因为样品数n=100较大，且p=0.02较小，所以可近似计算，其中，λ=100*0.02=2，即例2

某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。泊松定理

设随机变量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，记=np，则

解

设X表示400次独立射击中命中的次数，则X～B(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}

＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…上题用泊松定理取

=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布例3设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。

解:由题意,

小结“0----1”分布超几何分布（不放回抽样）二项分布（放回抽样）泊松分布

练习题1.接连2次对目标进行射击，设每次击中目标的概率为0.4，设X为击中目标的次数，求X的概率分布。2.某射手每次射击击中目标的概率为0.8，他连续射击，直至第一次击中目标为止，求直至击中时射击次数的概率分布。3.已知某事件服从泊松分布，且p(X=2)=p(X=4),则p(X=3)=

离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫彩电的寿命X是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意

{X>5年}还是{X>5年零1分钟}

P(X=x0)=0

对于连续离散变量，我们关心的是某区间的概率。2.4

连续随机变量直方图在数理统计学中常常用直方图来描述连续随机变量。例：零件尺寸偏差区间频数频率（-30，-20）80.032（-20，-10）340.136（-10，0）820.328（0，10）810.324（10，20）390.156（20，30）60.024总计2501注意：y轴为频率/区间长度即直方图中的面积为概率2.5

随机变量的分布函数

一、分布函数的概念1.定义

设X是随机变量，对任意实数x，事件{Xx}的概率P{Xx}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即

F(x)＝P{Xx}

2.F(x)与p(x)的关系？二、分布函数的性质1、归一性：对任意实数x，0F(x)1

2、单调不减性：若x1<x2,则F(x1)F(x2)

3、右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随

机变量的分布函数。故该三个性质是分布

函数的充分必要性质。4如果X的一切可能值都位于[a,b]

内则当x<a时，事件X≤x是不可能事件，有

F(x)=p(X≤a)=0

当x≥b时，事件X≤x是必然事件，有F(x)=p(X≤b)=1一般地，当r.v.X可以取任何实数时，有一般地，对离散型随机变量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为

例1设随机变量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3试求出X的分布函数。例1设随机变量X的分布律如右表X-123P0.250.50.25试求出X的分布函数，并求对于连续性随机变量图形y=F(x)在y=0与y=1之间单调上升。当计算落在某一区间内的概率时，不必区分开闭区间。例1

向半径为R的圆形靶射击，击中点M落在以靶心O为中心，r为半径的圆内的概率与该圆的面积成正比，并且不会发生脱靶的情况。设连续随机变量X表示击中点M与靶心O的距离。（1）求X的分布函数

（2）把靶的半径分成10等分，如果击中点M落在以靶心O为中心，内外半径分别为iR/10及(i+1)R/10的圆环域内，则计为10-i环，求一次射击得到10-i环的概率（i=0,1,2，…,9)X的可能值在[0,R]

内。rF(r)R01(2)一次射击得10-i环的概率为例2

向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1解：F(x)=P{X≤x}11用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？?ab2.6

连续型随机变量的概率密度

1.概率密度的定义

对于连续随机变量X，落在区间[x,x+Δx]内的概率为P(x<X<x+Δx),其中x是任何实数，Δx>0是区间的长度。比值叫做随机变量X在该区间上的平均概率分布密度。当Δx

，比值的极限叫做随机变量X在点x处的概率密度，即：2.F(x)与f(x)之间的关系①即f(x)是分布函数F(x)的导函数，F(x)是f(x)的一个原函数②即F(x)等于f(x)在区间[-∞，x]上的反常积分结论：知道连续随机变量的F(x)或f(x)中的任一个，则可求另一个。3.密度函数的性质非负性

f(x)0，(-<x<)

分布曲线y=f(x)位于x轴上方

(2)归一性曲线y=f(x)在x轴之间包围的面积为1.性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；

例1设随机变量X的概率密度为求常数a.答:(3)r.v.X落在任意区间(x1,x2)内的概率几何解释：概率就是y=f(x)之下的曲边梯形的面积。特别地：r.v.X落在任意区间(x,x+△x)内的概率：叫做概率微分。例1在2,5节例1中，求随机变量X的概率密度f(r).定义f(R)=00Rr2/Rf(r)例2设连续随机变量X的概率密度求:(1）A的值；（2）p(0<x<1);(3)F(x)练习：83页，2.182.7常用的连续型分布1.均匀分布

（1）若X～f(x)＝则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作

X~U(a,b)

对任意实数c,d(a<c<d<b)，都有（2）分布函数为0bx1F(x)aabxf(x)1/(b-a)0例1

长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率1545解：设A—乘客候车时间超过10分钟X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)三段木棒能构成

将长度为2l的木棒任意截为两段,求这两段木棒与另一长度为

l

的木棒能构成三角形的概率.设截下的两段木棒长度分别故三段木棒能构成△的概率为均匀分布的实际背景解则例

假定在运算中，数据只保留到小数点后第五位,而小数点第五位以后的数字按四舍五入处理.记表示真值，记表示舍入后的值，则误差

在用计算机进行数值运算时,由于字长的限制，数据都只保留到一定位数，而最后一位数字按四舍五入处理.通常舍入误差服从均匀分布定点计算中的舍入误差例2.指数分布

若

X～则称X服从参数为>0的指数分布。分布函数：其分布函数为例2.电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解一、离散型随机变量函数的分布律

2.8随机变量函数的分布设X一个随机变量，分布律为

X～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.例1已知-101XPk求：Y=X2的分布律YPk10或

Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk

，k＝1,2,…

（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）一般地XPkY=g(X)例2设随机变量X的概率函数为于是Y的概率分布为

Y

p(y）-1018/151/32/15二、连续型随机变量函数的密度函数

1、一般方法

若X～f(x),-<x<+,Y=g(X)为随机变量X的函数，则可先求Y的分布函数FY(y).

然后再求Y的密度函数

此法也叫“

分布函数法”yxY=g(x)y△1y△2y△3y求Y的分布函数0例3设连续随机变量X的概率密度为fx(x),求随机变量函数Y=a+bX的概率密度，其中a及b≠0都是常数。x0y(Y-a)/bY=a+bxyx0y(Y-a)/bY=a+bxy综合得：例4设随机变量X在区间[0，π]上服从均匀分布，即概率密度求随机变量函数Y=sinX的概率密度。yx1yx1x2π0其中，x1=arcsiny,x2=π-arcsiny,由此得：所以，Y的分布函数是求导得Y的概率密度补充定义例5设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。当y<0时当0≤y<1时当y≥1时例6

设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函数为

FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y))Y的概率密度为

fY(y)=F(g-1(y))=－fX(g-1(y))g-1(y)2、公式法：一般地若X～fX(x),y=g(x)是单调可导函数，则

注：1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。

2、注意定义域的选择其中h(y)为y＝g(x)的反函数.例7设X～U(0,1),求Y=a+bX的概率密度.(a≠0)解:Y=a+bX关于X严单,反函数为故而故2.9二维随机变量的联合分布一、多维随机变量1.定义:将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维向量(X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。一维随机变量X——R1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标,多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律二.二维离散随机变量的联合概率分布

若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称

P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij

，(i,j＝1,2,…)为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合概率函数.

可记为

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝

yj,}＝pij

，(i,j＝1,2,…)XYy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij

...........................联合分布律的性质(1)pij

0,i,j＝1,2,…

；

(2)x1x2xi二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:例1已知10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品。从这批产品中任取4件产品，求其中一等品，二等品件数的二维联合概率分布。解：X，Y分别表示取出的4件产品中一等品，二等品的件数。设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称

F(x,y)=P{Xx,Yy}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。二.2d.r.v.的联合分布函数几何意义：分布函数F(

)表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分：(1)非负性

:0≤F(x,y)

≤1(2)单调不减

对任意yR,当x1<x2时，F(x1,y)F(x2,y)；

对任意xR,当y1<y2时，F(x,y1)F(x,y2).(3)右连续

对任意xR,yR,

分布函数F(x,y)具有如下性质：(4)

对任意(x,y)R2

（5）对于二维离散随机变量的联合分布函数F(x,y),对x或y来说右连续，它的图形是由若干矩形平面块组成的台阶形的“曲面”。（6）对于二维连续随机变量的联合分布函数F(x,y)是连续函数，图形z=F(x,y)是介于平面z=0及z=1之间随x或y单调上升的连续曲面。（7）对于二维离散随机变量的联合分布函数为：三.二维连续型随机变量及其概率密度x(x+Δx,y+Δy)(x,y)0y(1)联合概率密度随机点（X,Y)落在区域（x,x+Δx;y,y+Δy）的概率2、联合密度f(x,y)的性质

(1)非负性：f(x,y)0,(x,y)R2;(2)归一性：反之，具有以上两个性质的二元函数f(x,y)

，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。此外，f(x,y)还有下述性质(3)若f(x,y)在(x,y)R2处连续，则有(4)(x,Y)落在区域GR2内的概率

(5)概率微分

(6)联合分布函数

例2.设（X，Y）在以原点为中心，r为半径的圆域R上服从均匀分布，求联合概率密度。联合概率密度为例设求:P{X>Y}xGyx=y011求：(1)常数A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。

例3

设解(1)由归一性xGy011(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。解例4已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1)求常数A，B，C。2)求P{0<X<2,0<Y<3}解:

3.两个常用的二维连续型分布

(1)二维均匀分布

若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有例4设（X,Y)服从下列区域G上的均匀分布，其中

G：x≥y,y≥1，x≤5，求P{(X-Y)>2}xx-y=2Gy015551(5,5)(5,3)(3,5)D求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Yy0} 例5随机变量（X，Y）的概率密度为xyD答:P{X0}=0分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，

F(x1,x2,…,xn)＝P(X1x1,X2x2,…,Xn

xn)称为的n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数，或随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布函数。定义

n维随机变量(X1,X2,...Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,...xn)使对任意的n元立方体定义若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,...Xn)为n维离散型的，称P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn}，(x1,x2,...xn)为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的联合分布律。则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn)为(X1,X2,...Xn)的概率密度。2.10二维随机变量的边缘分布边缘分布：任取一个变量研究，另一个变量取任意值。1.2d离散随机变量的边缘分布若随机变量X与Y的联合分布律为

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝

yj,}＝pij

，i,j＝1,2,…

Px(xi)叫做X的边缘分布例1求2.9节例1中，抽取的4件产品中一等品和二等品的边缘分布。(p67)例2已知(X,Y)的分布律为

x\y 1 0 1 1/10 3/10 03/103/10求X、Y的边缘分布律。

故关于X和Y的分布律分别为：

X 1 0 Y 1 0 P2/5 3/5 P 2/5 3/5解:pi.xY10p.j1/10103/102/53/103/103/52/53/511.2d连续随机变量的边缘分布(1)r.v.X的边缘分布函数求导得边缘概率密度例2在2.9例2中，分别求X与Y的边缘概率密度。例3设(X,Y)的概率密度为（1）求常数c;(2)求关于X,Y的边缘概率密度解:(1)由归一性例4设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，

求关于X的和关于Y的边缘概率密度

x=yx=-y2.11随机变量的独立性定义

称随机变量X与Y独立，如果对任意实数a<b,c<d，有p{a<Xb,c<Yd}=p{a<Xb}p{c<Yd} 即事件{a<Xb}与事件{c<Yd}独立，则称随机变量X与Y独立。（1）设(X,Y)是二维离散型随机变量（2）设(X,Y)是二维连续型随机变量例2dr.v.(X,Y)的联合概率密度为随机变量X与Y是否独立？2.12

二维随机变量函数的分布1.和的分布（1）离散型Z=X+Y的取值关系：若X与Y独立，有例1随机变量X与Y独立，都服从二项分布求Z=X+Y的分布。例2设r.v.X与Y独立，并且都服从泊松分布，概率函数分别是求Z=X+Y的分布。（2）连续型zx+y=z

x+yz

若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的密度函数

2.平方和的分布对分布函数FZ(z)微分，即得Z的概率密度fZ(z)例5设2dr.v.(X,Y)的联合概率密度是求Z=X2+Y2的概率密度。3、最大值与最小值的分布（1）最大值分布推广：X1，X2，…,Xn独立，max(X1，X2，…,Xn)的分布函数为特别地：X1，X2，…,Xn独立，且同分布（2）最小值分布推广：X1，X2，…,Xn独立，min(X1，X2，…,Xn)的分布函数为特别地：X1，X2，…,Xn独立，且同分布例6设各部件的寿命Xij服从相同的指数分布e(λ),

求仪器使用寿命的概率密度。L22L11L12L13L21L23

例1

设随机变量X与Y独立，且均服从0-1分布，其分布律均为

X

0

1

Pqp(1)求W＝X＋Y的分布律;(2)求V＝max(X,Y)的分布律；(3)求U＝min(X,Y)的分布律。(4)求w与V的联合分布律。(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0