数学-课程导学第二章第四节

第四节

指数函数要点梳理·基础落实考纲点击一、根式1．根式的概念知识扫描根式的概念符号表示备注如果

，那么x叫做a的n次方根.n＞1且n∈N＋xn＝a正数负数两个相反数a-aaa二、有理数指数幂1．幂的有关概念(3)0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂________．0没有意义2．有理数指数幂的性质(1)aras＝

(a＞0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝

(a＞0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝

(a＞0，b＞0，r∈Q)．ar＋sarsarbr三、指数函数的图象和性质函数y＝ax(a＞0，且a≠1)图象0＜a＜1a＞1图象特征在x轴

，过定点_______函数y＝ax(a＞0，且a≠1)性质定义域__值域_________单调性___________________函数值变化规律当x＝0时，_________当x＜0时，______；当x＞0时，_______当x＜0时，_______；当x＞0时，______上方(0，1)R(0，＋∞)减函数增函数y＝1y＞10＜y＜10＜y＜1y＞1[辨析]2．函数y＝ax＋1(a>0，且a≠1)是指数函数吗？它在其定义域上的单调性如何？提示函数y＝ax＋1(a>0，且a≠1)不是指数函数，只有形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数才是指数函数．当a>1时，函数y＝ax＋1在其定义域上单增，当0<a<1时，函数y＝ax＋1在其定义域上单减．小题热身2．函数f(x)＝ax－1＋1恒过定点P，则点P的坐标为A．(0，1)B．(1，1)C．(2，1)D．(1，2)解析令x－1＝0，解得x＝1，则f(1)＝2，即点P的坐标为(1，2)．答案D4．函数y＝0.3|x|(x∈R)的值域是A．R＋B．{y|y≤1}C．{y|y≥1}D．{y|0＜y≤1}解析∵|x|≥0，∴0＜0.3|x|≤1，∴y∈(0，1]．答案D5．设a＝40.8，b＝21.7，则a，b的大小关系为________．解析a＝40.8＝21.6，因为函数y＝2x是R上的增函数，且1.6<1.7，故21.6<21.7，即a<b.答案a<b考点突破·规律总结考点一指数幂的运算例1[规律方法]

指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．◎变式训练解析原式＝已知实数a，b满足等式2a＝3b，给出下列五个关系式中：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.则所有可能成立的关系式的序号为________．【解析】

在同一坐标系下做出函数f(x)＝2x，g(x)＝3x的图象，如图所示，由图象可知，①，②，⑤正确．考点二指数函数的图象及应用例2【答案】

①②⑤2．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．解析因为y＝|ax－1|的图象是由y＝|ax|向下平移一个单位得到，当a>1时，作出函数y＝|ax－1|的图象如图，此时y＝2a>2，如图象只有一个交点，不成立．◎变式训练考点三指数函数的性质及应用例2(2)当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．【一题多变】

在本例条件下，当x∈[－1，1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．[规律方法]

利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．创新设计·素能培优[思想方法引领]

2.换元法在解决指数型函数、

方程、不等式问题中的应用所谓换元法就是对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看作一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用，通过换元，可以把