《平面向量（小结）》同步练习 省赛一等奖

《平面向量（小结）》同步练习（2）(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(B)A．e1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2))B．e1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，7))C．e1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，5))，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，10))D．e1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－3))，e2＝2．向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，5))的起点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))，则它的终点坐标为(A)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，6))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，4))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，7))3．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋n))⊥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－n))，则λ＝(B)A．－4B．－3C．－2D．－1解析：利用坐标运算得出m＋n与m－n的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ.因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.故选B.4．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)且a∥b，则2a＋3b等于(B)A．(－5，－10)B．(－4，－8)C．(－3，－6)D．(－2，－4)解析：∵a∥b，∴m＋4＝0，即m＝－4.∴b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝(－4，－8)．故选B.5．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为20N，合力与F1的夹角为，那么F2的大小为(C)A．10NB．NC．ND．20N6．若e1，e2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2的夹角为(D)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：∵e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝，a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝，|a|＝＝＝，|b|＝＝＝，∴a，b的夹角的余弦值为cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝120°，故选D.7．设＝a，＝b，＝c，当c＝λa＋μbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ，μ∈R))，且λ＋μ＝1时，点C(B)A．在线段AB上B．在直线AB上C．在直线AB上，除去点AD．在直线AB上，除去点B解析：令t＝μ，则c＝(1－t)a＋tb，即：＝(1－t)＋t⇒＝t.故选B.8．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与b－a的夹角为(B)A.B.C.D.解析：由|a＋b|＝|a－b|得，a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0.由|a＋b|＝2|a|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2，即b2＝3a2，∴|b|＝，∴(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＝3a2－a2＝2a2，∴a＋b与b－a的夹角的余弦值为cosθ＝＝＝，∴θ＝，故选B.9．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝(A)A．B．C.D．10．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，＝16，||＝，则|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝(C)A．8B．4C．2D．1解析：由＝16，得＝4.＝＝||＝4，而|＋|＝2||，故||＝2.故选C.11．已知向量a＝(3，4)，若|λa|＝5，则实数λ的值为(D)A.B．1C．D．±112．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|＝(B)A．5B．4C．3D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知A，B，C为圆O上的三点，若，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为________．解析：由，故O，B，C三点共线，且O是线段BC中点，故BC是圆O的直径，从而∠BAD＝90°，因此与的夹角为90°.答案：90°14．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，0)，则|2a＋b|等于________．解析：∵a＝(1，1)，b＝(2，0)，∴2a＋b＝2(1，1)＋(2，0)＝(4，2)，∴|2a＋b|＝＝＝.答案：15．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．解析：建立平面直角坐标系，转化为向量的坐标运算求解．以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6－2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝，则＝4.答案：416．已知Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))和Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，3))，若点P在线段OA上，，又点P是线段OB的中点，则点B的坐标是____________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，2))三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2))，若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．解析：∵ka＋2b＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－6，2k＋4))，2a－4b＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(14，－4))，又ka＋2b与2a－4b平行，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－6))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k＋4))×14＝0，解得k＝－1.18．(本小题共12分)(1)若a＝(1，0)，b＝(－1，1)，c＝a＋(a·b)b.(1)求|c|；(2)已知|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a＋b|＝1，求a与b夹角θ的值．解析：(1)∵a＝(1，0)，b＝(－1，1)，∴a·b＝－1，则c＝a＋(a·b)b＝a－b＝(2，－1)，|c|＝＝eq\r(5)，(2)∵|a＋b|＝＝＝，又|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝1，∴＝1⇒cosθ＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.19．(本小题满分12分)求与向量a＝和b＝夹角相等，且模为2的向量c的坐标．解析：设c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，则依题意有解得或∴C20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)、B(2，3)、C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数解t满足(－t)·＝0，求t的值．解析：(1)方法一由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋＝(2，6)，－＝(4，4)．所以||＝2，|－|＝.故所求的两条对角线的长分别为、.方法二设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为B、C的中点，E(0，1)．又E(0，1)为A、D的中点，所以D(1，4)．故所求的两条对角线的长分别为BC＝、AD＝.(2)由题设知：＝(－2，－1)，＝(3＋2t，5＋t)．由＝0，得：(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝.21．(本小题满分12分)已知点P(－3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(MQ,\s\up6(→)).当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．解析：设点M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a＞0)，则＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)．∵＝，∴(x，y－b)＝(a－x，－