2010年高考理科数学新课标全国卷逐题解析

.2010年一般高等学校招生全国一致考试(新课标全国卷)理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．．已知会合A{xR|x|2}},B{xZ|x4},则AIB1A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2]D．{0,1,2}D【分析】A{xR|x|2,}{xR2x2}，B{xZ|x4}{xZ0x16}，故AB{0,1,2}．应选D．2．已知复数z3i，z是z的共轭复数，则zz=(13i)21B．1C．1D．2A．24A【分析】z(13i3i13i1(3i)(13i)1(3i)3i)2223i213i84zz1(3i)1(3i)1．应选A．444另解：由z3i3i21可得zz21z．(13i)213i222243．曲线yxx在点(1,1)处的切线方程为2A．y2x1B．y2x1C．y2x3D．y2x2A【分析】由yx12可得y22,kyx12,y12(x1)，x2x2(x2)2x1，应选A．4．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始地点为P0(2,2)，角速度为1，那么点P到x轴距离d对于时间t的函数图像大概为...ABCDCt0时，点P到x轴距离d为2，于是能够清除答案A,D，再【分析】经过剖析可知当依据当t4时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，清除答案B，应选C．5．已知命题p1：函数y2x2x在R为增函数，p2：函数y2x2x在R为减函数，则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：p1p2和q4：p1p2中，真命题是A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4C【分析】p1：函数y2x2x在R为增函数为真命题，而函数y2x2x为偶函数，则y2x2x在R不行能为减函数，p2：函数y2x2x在R为减函数为假命题，则p1为假命题，p2为真命题，而后依据复合命题的判断方法即可确立答案C．6．某各种子每粒抽芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有抽芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学希望为A．100B．200C．300D．400B【分析】由题意可知播种了1000粒，没有抽芽的种子数听从二项散布，即~B(1000,0.1),而X2，则EX2E210000.1200．应选B．7．假如履行右边的框图，输入N5，则输出的数等于...开始输入Nk=1,S=0S=S+1k=k+1k(k+1)k<N是否输出S结束A．54C．654B．5D．56D【分析】依据框图所表现的算法可知此算法为乞降：S012131151，12344561111111111115，应选D．223344556668．设偶函数f(x)知足f(x)x38(x0)，则{x|f(x2)0}A．{x|x2或x4}B．{x|x0或x4}C．{x|x0或x6}D．{x|x2或x2}B【分析】当x0时，则x0，由偶函数满f(x)足f(x)x38(x0)可得，f(x)f(x)x38，则f(x)=x38(x0)x38(x，0)f(x2)(x2)38(x2)，(x2)38(x2)令f(x2)0，可解得x4,或x0．应选B．另解：由偶函数满f(x)足f(x)x38(x0)可得f(x)f(x)3x8，则f(x2)f(x2)x32)0，28，要使f(x只要x380,x22，解得x4,或x0．应选B．2...9．若cos41tan2是第三象限的角，则，51tan211A．C．2D．22B．2A【分析】由cos4是第三象限的角可得sin3，．551tancossin131，应选A．2221sin51tancossincos422522另解：由cos4是第三象限的角可得sin3，．535sinsin1tan13125tan3，2．2cos1cos141tan13225210．设三棱柱的侧棱垂直于底面，全部棱长都为a，极点都在一个球面上，则该球的表面积为A．a2B．7a2C．11a2D．5a233B【分析】依据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，则其外接球的半径为R(a)2(ao)27a2，球的表面积为R247a27a2，应选B．22sin6012123|lgx|,0x10,11．已知函数f(x)1x6,x若a,b,c互不相等，且f(a)f(b)f(c),则abc10.2的取值范围是A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)C【分析】作出函数f(x)的图象如图，yO11012x...不如设abc，则lgalgb110(0,1)c2则abcc(10,12)．应选C．12．已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E订交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15),则E的方程式为x2y21B．x2y21C．x2y2x2y21A．364561D．435B【分析】由双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点可设双曲线的方程为x2y21(a229)x12y12x22y22a22b，设A(x1,y1),B(x2,y2)，即2b21,2b21baa则y1y2b2x1x2b2120151，则b25,b25,a24，xx2a2yy2a215312a2411故E的方程式为x2y21．应选B．45第Ⅱ卷本卷包含必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都一定做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试依据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．设yf(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0f(x)1，能够用随机模拟方法近1f(x)dx，先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的平均随机数x1,x2,xN似计算积分0和y1,y2,yN，由此得到N个点(xi,yi)(i1,2,,N)，再数出此中知足yif(xi)(i1,2,,N)的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分1f(x)dx的近似0值为．1N1f(x)dx1N1，故积分1【分析】：由题意可知0得f(x)dxf(x)dx的近似值为N10N0N1．N...14．正视图为一个三角形的几何体能够是______（写出三种）【分析】正视图为一个三角形的几何体能够是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等．15．过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2,1)，则圆C的方程为____．【分析】设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则(4a)2(1b)2r2,(2a)2(1b)2r2,b11,a2解得a3,b0,r2，故所求圆的方程为(x3)2y22．16．在△ABC中，D为边BC上一点，BD1DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC2的面积为33，则BAC=_______．【分析】由△ADC的面积为33可得ABDCSADC1ADDCsin60o3DC3322SABC3(33)1ABACsinBAC22解得DC232,则BD31,BC333．AB2AD2BD22ADBDcos120o4(31)22(31)6,AB6AC2AD2CD22ADCDcos60o44(31)24(31)24123AC6(31)则cosBACBA2AC2BC26241239(423)63612ABAC266(31)12(31)2故BAC60o．...三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列a知足a12,an1an322n1．n(Ⅰ)求数列an的通项公式；(Ⅱ)令bnnan，求数列的前n项和Sn．【分析】(Ⅰ)由已知，当n≥1时，an1[(an1an)(anan1)L(a2a1)]a13(22n122n3L2)222(n1)1．而a12,所以数列{an}的通项公式为an22n1．(Ⅱ)由bnnann22n1知Sn12223325Ln22n1①进而22Sn=123225327n22n1②①-②得(122)Sn=22325L22n1n22n1．即Sn=1[(3n1)22n12]．918．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．(Ⅰ)证明：PEBC；(Ⅱ)若APBADB60o，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．...【分析】以H为原点，HA,HB,HP分别为x,y,z轴，线段HA的长为单位长，成立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0),B(0,1,0)(Ⅰ)设C(m,0,0),P(0,0,n)(m0,n0)则D(0,m,0),1mE(,,0)．uuur22uuur可得PE=(1,m,n),BC=(m,1,0)．uuur22uuurmm00，因为PEBC22所以PEBC．(Ⅱ)由已知条件可得m3,n1,故C(3,0,0)，33D(0,3,0),E(1,3,0),P(0,0,1)，326设n(x,y,x)为平面PEH的法向量uuur13nHE0xy0．26则uuur，即nHP0z0所以能够取n(1,3,0)，uuur(1,0,1)，由PAuuur2可得|cos<PA,n>|=4，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为2．4...19．(本小题12分)为检查某地域老人能否需要志愿者供给帮助，用简单随机抽样方法从该地域检查了500位老年人，结果以下：性别男女能否需要志愿需要4030不需要160270(Ⅰ)预计该地域老年人中，需要志愿者供给帮助的老年人的比率；(Ⅱ)可否有99％的掌握以为该地域的老年人能否需要志愿者供给帮助与性别相关？(Ⅲ)依据（2）的结论，可否供给更好的检查方法来预计该地域老年人，需要志愿帮助的老年人的比率？说明原因．附：K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】(Ⅰ)检查的500位老年人中有70位需要志愿者供给帮助，所以该地域老年人中，需要帮助的老年人的比率的估量值为7014%．500(Ⅱ)K2500(4027030160)29.967．20030070430因为9．967>6．635,所以有99%的掌握以为该地域的老年人能否需要帮助与性别相关。(Ⅲ)由(Ⅱ)的结论知，该地域老年人能否需要帮助与性别相关，而且从样本数据能看出该地域男性老年人与女性老年人中需要帮助的比率有显然差别，所以在检查时，先确立该地域老年人中男、女的比率，再把老年人分红男、女两层并采纳分层抽样方法比采纳简单随机抽样方法更好．20．（本小题满分12分）分别是椭圆E:x2y2设F1,F2221(ab0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线lab...与E订交于A,B两点，且AF2,AB,BF2成等差数列．(Ⅰ)求E的离心率；(Ⅱ)设点P(0,1)知足PAPB，求E的方程．【分析】(Ⅰ)由椭圆定义知AF2BF2AB4a，又2ABAF2BF2，得AB4a．3l的方程为yxc，此中ca2b2．yxc设Ax1,y1，Bx2,y2，则A、B两点坐标知足方程组x2y2，1a2b2化简的a2b2x22a2cxa2c2b20．则x1x22a2ca2c2b222,x1x22．baba因为直线AB斜率为1，所以AB2x2x12x1x224x1x24a4ab222得3a22,故a2b，b所以E的离心率eca2b22aa．2(Ⅱ)设AB的中点为Nx0,y0，由(I)知x0x1x2a2c2c，y0x0cc．2a2b233由PAPB，得kPN1，即y011，x0得c3，进而a32,b3，x2y21．故椭圆E的方程为918...21．（本小题满分12分）设函数f(x)ex1xax2．(Ⅰ)若a0，求f(x)的单一区间；(Ⅱ)若当x0时f(x)0，求a的取值范围．【分析】(Ⅰ)a0时，f(x)ex1x，f'(x)ex1．当x(,0)时，f'(x)0；当x(0,)时，f'(x)0．故f(x)在(,0)单一减少，在(0,)单一增添．(Ⅱ)f'(x)ex12ax，由(Ⅰ)知ex1x，当且仅当x0时等号成立．故f'(x)x2ax(12a)x，进而当12a0，即a1(x0)，而f(0)0，时，f'(x)02于是当x0时，f(x)0．由ex1x(x0)可得ex1x(x0)．进而当a1时，2f'(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，故当x(0,ln2a)时，f'(x)0，而f(0)0，于是当x(0,ln2a)时，f(x)0．综合得a的取值范围为(,1]．2请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知圆上的弧??BA的延伸线交于E点，证明：ACBD，过C点的圆的切线与(Ⅰ)ACE=BCD；...(Ⅱ)BC2=BE×CD．??BCDABC．【分析】(Ⅰ)因为ACBC,所以又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD．(Ⅱ)因为ECBCDB,EBCBCD,所以BDC∽ECB，故BCCD，BEBC即BC2BECD．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程x1tcos(t为参数)，圆C2xcos已知直线C1：tsiny（为参数）．ysin(Ⅰ)当=时，求C1与C2的交点坐标；3(Ⅱ)过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A、P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】(Ⅰ)当时，C1的一般方程为y3(x1)，C2的一般方程为3x2y21．联立方程组y3(x1)，x2y21解得C1与C2的交点为(1,0)，1，3．22(Ⅱ)C1的一般方程为xsinycossin0．A点坐标为sin2co