Ch一元微分学实用

会计学1Ch一元微分学实用(切线的一般定义)点为曲线上一定点,过点作直线交曲线于点，斜率为即时，可见割线趋向于一条直线,此即切线.当点沿曲线趋向于点因此切线为割线的极限位置.定义1第1页/共99页二、导数的定义在点

（导数的定义）对于函数在点的自变量的增量以及相应地的因变量的增量定义2如果函数的局部变化率

有极限，则称函数在点可导，称此极限为函数在点的导数，记为；否则称在点不可导。第2页/共99页根据导数的定义，令显然时因此得到导数定义的等价形式第3页/共99页例1已知存在，求解：原式=第4页/共99页例2用导数定义证明函数的导（函）数为证明：第5页/共99页例3用导数定义证明函数的导（函）数为证明：时第6页/共99页例4用导数定义证明函数的导（函）数为证明：时第7页/共99页

几个基本初等函数的求导公式第8页/共99页三、导数的几何意义切线的斜率：切线方程：法线方程：思考：

或时切线/法线是什么？第9页/共99页求曲线在点处的法线方程。解：所求法线方程为例5第10页/共99页解：例6已知直线与曲线上点处的切线平行，求点的坐标。已知直线的斜率为设点，则所以所求点的坐标为因此第11页/共99页四、左右导数及导数与连续的关系右导数左导数定理1（可导与左、右导数的关系）在点可导的充要条件是函数在该点的左、右导数都存在且相等。第12页/共99页证明：定理2的逆命题不成立，即函数的连续点不一定是可导点。注意：定理2（可导与连续的关系）在点可导的必要条件是函数在该点连续。第13页/共99页解：例7讨论在处的可导性。所以函数在处不可导。第14页/共99页§2导数的计算一、导数的四则运算法则定理1

（导数的四则运算）如果都存在，则第15页/共99页推论注意：第16页/共99页例1第17页/共99页基本初等函数的求导公式（续）第18页/共99页例2第19页/共99页分析:本题也可以直接使用商的求导法则,但注意到函数的特点，将函数恒等变形为幂函数，则更简单.例3已知，求第20页/共99页定理2

（链式法则）如果函数在可导，而函数在对应的点可导，则复合函数在点也可导，并且二、复合函数的求导法则☆☆☆第21页/共99页链式法则的证明:令则从而即第22页/共99页因此链式法则的证明（续）:第23页/共99页

基本初等函数的求导公式的推广形式第24页/共99页基本初等函数的求导公式的推广形式（续）第25页/共99页意味着例如注意推广形式中的“三位一体”现象，即第26页/共99页例4例5已知，求两层模型法第27页/共99页例6例7已知，求第28页/共99页例8先加减，再乘除，最后复合已知，求第29页/共99页幂指函数例9已知，求第30页/共99页抽象函数例10已知且可导，求解：第31页/共99页求出这个函数的过程称之为隐函数的显化．有时方程虽然确定了相应的函数，但“云深不知处”，很难（甚至是不可能）将隐函数显化．三、隐函数的导数例如就无法显化。问题：能否绕开函数的显化来求隐函数的导数？已知方程确定函数第32页/共99页例11已知方程确定函数求分析：方程两边对求导，注意到，因此可以使用复合函数的链式法则来求导。解：方程两边取对数，并化简，得两边对求导，则第33页/共99页第34页/共99页例12已知函数，求分析：将已知函数转化为容易求导的等价方程解：两边对求导，则即所以第35页/共99页例13求椭圆在点处的切线方程。从而所以切线方程为解：两边对求导，则第36页/共99页例14已知函数，求解：方程两边取对数，并化简，得对数求导法两边对求导，则第37页/共99页四、高阶导数对于函数，其导函数在点的导数称为函数在点的二阶导数，记为类似地，函数在点的三阶导数为第38页/共99页证明函数满足微分方程例15证明：所以第39页/共99页例16已知函数，求解：第40页/共99页

一般地，对于函数，其阶导函数在点的导数称为函数在点的阶导数，记为第41页/共99页例17已知函数，求解：第42页/共99页例18解：已知函数，求第43页/共99页§3微分一、微分的定义面积面积改变量引例有一正方形钢板，边长为，面积为加热后边长第44页/共99页

对于函数，存在与自变量的增量无关的常数，使得因变量的增量满足则称函数在点可微，其微分为即或定义1说明微分

是自变量的增量

的线性函数第45页/共99页定理2（可导与可微的关系）在点可微的充要条件是函数在点可导，并且。说明

微分的计算公式令则第46页/共99页解：例1已知，求例2已知方程确定函数求解：方程两边对求导，得所以第47页/共99页二、微分的几何意义如图可知,几何意义:

取曲线上点及点为点处的切线,为曲线在该点处的切线的纵坐标的增量.第48页/共99页三、微分的应用---近似计算说明：在可微曲线的任意一个可微点附近,可用曲线在该点的切线近似代替曲线,即“以直代曲”。所以令则第49页/共99页解：例3求的近似值.令取，则所以即第50页/共99页前两种是基本的，后五种都可以转化为前两种七种不定式：这里表示无穷小，表示无穷大。§4洛必达法则---计算极限的高级方法为什么不定式只有7种?思考：第51页/共99页

转化方式第52页/共99页定理1（洛必达法则I

）函数和满足（1）在点的某邻域内处处可导；1、型不定式（2）；（3）极限或。则第53页/共99页注意：自变量的趋限过程可以是以下六种中任何一种：但自变量的趋限过程不能改成第七种：？！第54页/共99页例2洛必达例1洛必达第55页/共99页例3解法一：原式洛必达解法二：原式洛必达第56页/共99页例4解法一：原式洛必达解法二：令，则原式第57页/共99页例5洛必达第58页/共99页定理2（洛必达法则II

）函数和满足（1）在点的某邻域内处处可导；2、型不定式（2）；（3）极限或。则第59页/共99页注意：同样地，自变量的趋限过程可以是以下六种中任何一种：但自变量的趋限过程不能改成第七种：第60页/共99页例6洛必达第61页/共99页例7例8洛必达洛必达洛必达洛必达第62页/共99页例9类比无穷小的比较，从趋向于无穷大的速度看，幂函数比对数函数“跑的快”，指数函数比幂函数“跑的快”！！洛必达第63页/共99页定理3（幂指函数的不定式I

）函数和满足（1）在点的某邻域内处处可导；（2）；则3、其他不定式第64页/共99页定理4（幂指函数的不定式II

）函数和满足（1）在点的某邻域内处处可导；（2）；则这个结论在第一章已经见过了。第65页/共99页注意：同样地，自变量的趋限过程可以是以下六种中任何一种：但自变量的趋限过程不能改成第七种：第66页/共99页例10洛必达第67页/共99页例11洛必达第68页/共99页例12洛必达第69页/共99页例13解法一：原式洛必达第70页/共99页例13解法二：原式第71页/共99页例14洛必达第72页/共99页4、几点注意(1).洛必达法则虽然是“高等”的方法，但并不是万能的，初等的求极限的技巧和方法(主要是等价无穷小替换和极限四则运算法则)仍有用武之地。下面两例就无法使用洛必达法则：第73页/共99页(2)、求极限的主要问题是综合应用各种方法和技巧，尽可能以最简捷的步骤给出问题的答案。求导是“手段”,“目的”是求极限。切记：不能“炫耀武力”，一味求导。(3)、每次使用洛必达法则之前和之后都要注意整理表达式，以便继续使用法则.(4)、每次使用洛必达法则之前务必要判断待求极限是否是符合要求的两种待定型。第74页/共99页§5利用导数研究函数(的性质)单调递增函数单调递减函数一.函数的单调性第75页/共99页说明(1)对于无穷区间，结论也成立．(2)当导函数仅在该区间内有限个点处为零时结论也成立．定理1（函数单调性的判别法，即充分条件）在点可导，且导函数不变号。（1）若，则函数在区间内是单调递增的；（2）若，则函数在区间内是单调递减的。第76页/共99页得驻点

。

求函数的单调区间。例1解:当或时，所以函数在区间及内是单调递增的;在区间内是单调递减的。导数为0的点称为函数的驻点.令当时，第77页/共99页求函数的单调区间。例2解:又时不存在。得驻点所以函数在区间及内是单调递增的;在区间及内是单调递减的。第78页/共99页例3证明：解:则得驻点显然时等号成立。令（1）当时，从而函数在区间内是单调递减的。所以即（2）当时，从而函数在区间内是单调递增的。所以即第79页/共99页二.函数的极值

（极值的定义）对于函数在点的某个邻域内的任何一点，都有定义1

则称为函数的极大值（极小值），为函数的极大值点（极小值点）。第80页/共99页极大点极小点注意:(1)极值是局部概念，最值是整体概念；(2)极值点肯定不会是端点；(3)极小值可能会大于极大值；(4)区间内的最值点必为极值点。第81页/共99页定理2

（极值的必要条件）可导的极值点一定是驻点。即：若存在，且是极值点，则。注意：（1）定理2的逆命题不成立。即驻点未必是极值点。（2）不可导的点也有可能是极值点。（3）定理2说明驻点和不可导的点都是可能的极值点。第82页/共99页定理3

（极值的一阶充分条件）两侧导函数异号的可能的极值点必是极值点。即：设函数在点的某邻域内处处可导，并且，或函数在点不可导但连续，那么（1）若时，时，则点为函数的极小值点。（2）若时，时，则点为函数的极大值点。第83页/共99页定理4

（极值的二阶充分条件）二阶函数值不为零的驻点必是极值点。即：设函数在点存在二阶导数，并且则：（1）时点为函数的极大值点。（2）时点为函数的极大值点。注意对于二阶导数值为零的驻点，需要使用其他的方法来判定该点是否为函数的极值点。第84页/共99页解:令，得内的驻点例5求函数在内的极值。分析：此函数的二阶导数比较容易求，而且此函数没有不可导点，所以用二阶判别法。第85页/共99页所以是函数的极大值点，极大值为因为而是函数的极小值点，极小值为第86页/共99页解:求函数的极值。例6分析：此函数的二阶导数比较难求，且此函数有不可导点，所以用一阶判别法极大值不存在不存在极小值极小值又时不存在。得驻点第87页/共99页所以是函数的极小值点，极小值为而是函数的极大值点，极大值为第88页/共99页解:令分析：虽易求二阶导数，但无法用二阶判别法解出，故用一阶判别法。求函数的极值。例7得驻点第89页/共99页极小值非极值非极值此函数没有极大值点和极大值。所以是函数的极小值点，极小值为第90页/共99页三、函数的最值1、闭区间上的连续函数的最值定理指出了连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值。如何求呢？步骤：（1）找出函数在指定区间内的所有可能的极值点（驻点和不可导点）；（2）计算区间内所有可能的极值点的函数值，以及端点的函数值；（3）比较计算出的函数值，其中最大（小）者就是函数在该区间上的最大（小）值。第91页/共99页解：例8求函数在闭区间上的最值。