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会计学1D87方向导数与梯定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P

可微,得机动目录上页下页返回结束故第1页/共20页机动目录上页下页返回结束对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角第2页/共20页例1.求函数

在点

P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动目录上页下页返回结束解:

向量

l

的方向余弦为第3页/共20页例2.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x

增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P

的切向量为机动目录上页下页返回结束第4页/共20页例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数机动目录上页下页返回结束第5页/共20页二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值：机动目录上页下页返回结束第6页/共20页1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P

处的梯度记作(gradient),在点处的梯度机动目录上页下页返回结束说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义第7页/共20页函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),机动目录上页下页返回结束称为函数f

的等值线

.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.第8页/共20页3.梯度的基本运算公式机动目录上页下页返回结束第9页/共20页例4.证:试证机动目录上页下页返回结束处矢径r的模,第10页/共20页三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意:

任意一个向量场不一定是梯度场.机动目录上页下页返回结束第11页/共20页例5.已知位于坐标原点的点电荷q

在任意点试证证:利用例4的结果这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动目录上页下页返回结束第12页/共20页内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为机动目录上页下页返回结束第13页/共20页2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微机动目录上页下页返回结束梯度在方向l

上的投影.第14页/共20页思考与练习

设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向

的夹角

.机动目录上页下页返回结束第15页/共20页曲线(1)在点解答提示:机动目录上页下页返回结束函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量第16页/共20页机动目录上页下页返回结束第17页/共20页备用题

1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z

具有轮换对称性机动目录上页下页返回结束第18页/共20页指向B(3,－2

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