ch常系数线性微分方程组实用

会计学1ch常系数线性微分方程组实用2013年6月2第1页/共50页2013年6月3将(2)代入(1)得1基解矩阵与其特征值和特征向量的关系解法

找n个线性无关的特解（构成基解矩阵）3.1常系数齐次线性微分方程组第2页/共50页2013年6月4方程组(3)有非零解的充要条件是:结论即第3页/共50页2013年6月52基解矩阵的计算方法---常系数线性微分方程组的解法(1)矩阵A具有n个线性无关的特征向量时定理3.1是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.第4页/共50页2013年6月6证明:由上面讨论知,每一个向量函数都是(1)的解,因此矩阵是(1)的解矩阵,所以第5页/共50页2013年6月7注1：A的特征方程的n个特征根都是单根由线性代数的知识有：

属于不同特征值的特征向量是线性无关的．是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.第6页/共50页2013年6月8解例1

第7页/共50页2013年6月9第8页/共50页2013年6月10其通解为第9页/共50页2013年6月11例3.1

求方程组的通解.解因此特征根为它们相的特征向量为第10页/共50页2013年6月12故基解矩阵为故通解为第11页/共50页2013年6月13注2：A的特征方程有重根时，但有n个线性无关特征向量。且属于不同特征值共有n个线性无关的特征向量:是常系数线性微分方程组(1)的一个基解矩阵.第12页/共50页2013年6月14解例2

设求A的特征值与特征向量．由此第13页/共50页2013年6月15第14页/共50页2013年6月16得基础解系为：由第15页/共50页2013年6月17故基解矩阵为故通解为第16页/共50页2013年6月18

若属于li的线性无关特征向量个数<ni如何确定常系数线性微分方程组(1)的ni个线性无关的特解？(2)矩阵A的线性无关的特征向量的个数<n时第17页/共50页2013年6月19定理3.2第18页/共50页2013年6月20说明1:其中第19页/共50页2013年6月21说明2:对应于矩阵A的每个特征值按定理3.1或定理3.2确定的那些线性无关的特解合起来仍然线性无关，它们就是方程组（1）的一个基本解组。见SeeP301定理3.3第20页/共50页2013年6月22例3解特征方程为为求其对应的特征向量考虑方程组解得第21页/共50页2013年6月23由第22页/共50页2013年6月24其通解为第23页/共50页2013年6月25其通解为代入初始条件第24页/共50页2013年6月26例4

求方程组满足初始条件解这里系数矩阵特征根为第25页/共50页2013年6月27我们需要考虑下面方程和首先讨论这个方程组的一个基解为其次第26页/共50页2013年6月28其通解为第27页/共50页2013年6月29其通解为第28页/共50页2013年6月30其特解为第29页/共50页2013年6月31(3)矩阵A有复特征值，它的特征值中可能有共轭复数，，特征向量可能是复向量。SeeP304可将线性无关的复向量值函数线性无关的实向量值函数。第30页/共50页2013年6月32例5解的根,第31页/共50页2013年6月33解得解得第32页/共50页2013年6月34第33页/共50页2013年6月35其中第34页/共50页2013年6月36重要性质：若X(t)是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵且满足条件X(0)=E，则有SeeP.307定理3.4的证明过程第35页/共50页2013年6月373.2常系数非齐次线性微分方程组复习由第7.2节的一个满足的特解(2.1)(2.6)其通解为(2.10)满足的特解(2.11)第36页/共50页2013年6月383.2常系数非齐次线性微分方程组的一个满足的特解(3.7)①其通解为②满足的特解③常数矩阵第37页/共50页2013年6月39下面研究常系数非齐线性微分方程组定理3.4常系数非齐线性微分方程组(5)的通解为满足的特解（6）（7）见P307第38页/共50页2013年6月40解由例5知故初值问题的解为例6

设的解.第39页/共50页2013年6月41故初值问题的解为第40页/共50页2013年6月42注意：若基解矩阵不满足定理3.4中条件seeP308的例3.6第41页/共50页2013年6月431.常系数齐次线性微分方程组的求解步骤小结(1)写出矩阵A的特征方程求出特征值l.(2)代入特征值li,作矩阵A-liE的初等行变换，求出A的属于特征值li的特征向量第42页/共50页2013年6月44(3)代入特征值li,作矩阵A-liE的初等行变换，求出A的属于特征值li的特征向量(i)(ii)第43页/共50页2013年6月45(iii)应用公式计算

若属于li的线性无关特征向量个数<ni第44页/共50页2013年6月462.常系数非齐次线性微分方程组的求解常系数非