2021-2022学年重庆永川中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年重庆永川中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

参考答案：D略2.在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=(A)12

(B)16

(C)20

(D)24参考答案：B，故选B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力，属于容易题。3.关于x的方程在内有且仅有5个根，设最大的根是，则与的大小关系是（

）A. B. C. D.以上都不对参考答案：C【分析】由题，先做出图像，然后找到最大根，利用斜率公式可得与的大小关系.【详解】由题意作出与在的图象，如图所示：∵方程在内有且仅有5个根，最大的根是.∴必是与在内相切时切点的横坐标设切点为，，则，斜率则故选：C【点睛】本题考查了三角函数和导函数的综合知识，解题的关键是在于数形结合以及导数的几何意义，属于较难题目.4.在平面内，定点A，B，C，D满足==，?=?=?=﹣2，动点P，M满足=1，，则||2的最大值是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又?=?=?，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又?=?=?，可得?（﹣）=0，?（﹣）=0，即?=?=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由?=﹣2，即有||?||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．【点评】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5.已知函数则下列结论正确的（）A．在上恰有一个零点

B．在上恰有两个零点C．在上恰有一个零点

D．在上恰有两个零点参考答案：C略6.M是正方体的棱的中点，给出下列结论：

①过M点有且只有一条直线与直线都相交；

②过M点有且只有一条直线与直线都垂直；

③过M点有且只有一个平面与直线都相交；

④过M点有且只有一个平面与直线都平行，其中正确的是

A.②③④

B.①③④

C.①②④

D.①②③参考答案：C7.已知非零向量满足，且，则的夹角为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据，得，再根据进行数量积的运算即可求出的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【详解】∵，且；∴，且；∴；∴；又；∴．故选：D．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围，属于基础题．8.已知条件p:x≤1，条件q:＜1，则p是q成立的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.不充分也不必要条件参考答案：B9.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若，，，，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。10.若命题；命题，若命题“”是真命题，则实数的取值范围为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为

．

参考答案：6第一遍循环S＝0，I＝1，第二轮循环S＝1，I＝2，第三轮循环S＝3，I＝3，第四轮循环S＝6，I＝4，第五轮循环S＝10，I＝5，第六轮循环S＝15，I＝6，所以输出的I＝6．12.以下四个命题：①设，则是的充要条件；②已知命题p、q、r满足“p或q”真，“或r”也真，则“q或r”假；③若，则使得恒成立的x的取值范围为{或}；④将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为.其中真命题的序号为________.参考答案：①③④【分析】①中，根据对数函数的运算性质，即可判定；②中，根据复合命题的真假判定方法，即可判定；③中，令，转化为在恒成立，即可求解；④中，根据几何体的结构特征和椎体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，①中，当，根据对数函数的运算性质，可得，反证，当时，可得，所以“”是“”成立的充要条件，所以是正确的；②中，若命题““或”真”，可得命题中至少有一个是真命题，当为真命题，则假命题，此时若“或”真，则命题为真命题，所以“或”真命题，所以不正确；③中，令，则不等式恒成立转化为在恒成立，则满足，即，解得或，所以是正确的；④中，如图所示，O为AC的中点，连接DO，BO，则都是等腰直角三角形，，其中也是等腰直角三角形，平面，为三棱锥的高，且，所以三棱锥体积为，所以是正确的，综上可知真命题的序号为①③④【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到充要条件的判定、复合命题的应用，不等式的恒成立问题的求解，以及折叠问题求几何体的体积等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.13.设满足约束条件若目标函数的最大值为,则的最小值为_________.参考答案：9

考点：简单线性规划14.已知函数f（x）=﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，且y=|f（x）|在[﹣1，0]上为单调减函数，则实数m的取值范围为．参考答案：m≤0或m≥2考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：通过讨论判别式△的范围，得到不等式组，解出即可．解答：解：判别式△=m2﹣8m+12=（m﹣2）（m﹣6），①当△≤0时，即2≤m≤6时，函数f（x）≤0恒成立，∴|f（x）|=﹣f（x）=x2﹣（m﹣2）x+m﹣2，对称轴方程为：x=，∴当≥0即m≥2时符合题意（如图1），此时2≤m≤6；②当△＞0时，即m＜2或m＞6时，方程f（x）=0的两个实根为x=，不妨设x1＜x2，由题意及图象得x1≥0或，即m﹣2≥（如图2）或（如图3）解得m≥2或m≤0，此时m≤0或m＞6，综上得m的取值范围是：m≤0或m≥2；故答案为：m≤0或m≥2．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了数形结合思想，分类讨论思想，是一道中档题．15.已知为正实数，函数在上的最大值为，则在上的最小值为

．参考答案：略16.已知函数（>0）的图像与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若△PAB的面积等于，则

；参考答案：17.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若，则的值是_____.参考答案：【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若，，且，求n的值.参考答案：解析：系数，系数

，依题意

，即

，。19.（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，||=1，且l2⊥l1，直线l2与椭圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使?=﹣1成立．若存在，求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（+1），=，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方程；（2）分类讨论，根据?=﹣1，||=1进行转化，将直线l2的方程为mx+ny=1代入椭圆方程，利用x1x2+y1y2=0，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（+1），=，…∴a=2c=2，b=2．∴椭圆的标准方程为．

…（Ⅱ）假设存在直线l2，使?=﹣1成立．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），Q（m，n），且m2+n2=1，则直线l1的方程为nx﹣my=0，直线l2的方程为mx+ny=1．（1）当n=0时，此时直线l2的方程为x=±1，可得A（1，），B（1，﹣），代入?=﹣1，不符题意；

…（2）当n≠0时，将直线l2的方程为mx+ny=1与椭圆方程联立，又m2+n2=1，得（1+m2）x2﹣4mx+2﹣8n2=0．

…∴x1+x2=，x1x2=．

…又∵?=﹣1，∴x1x2+y1y2+2=m（x1+x2）+n（y1+y2）．又mx1+ny1=1，mx2+ny2=1∴m（x1+x2）+n（y1+y2）=2．∴x1x2+y1y2=0．

…∴n2x1x2+1+m2x1x2﹣m（x1+x2）=0．∴x1x2+1﹣m（x1+x2）=0．

…∴﹣5n2=0．∴n=0这与n≠0矛盾．

…综上可知，不存在这样的直线l2，使?=﹣1成立．

…（13分）【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.（本小题满分14分）已知焦点为，的椭圆经过点，直线过点与椭圆交于、两点，其中为坐标原点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的范围；（III）若直线的斜率存在且不为零，向量与向量平行，求的值及的外接圆的方程。参考答案：（1）设椭圆方程为，点在椭圆上，，所以所以，又，所以，于是，椭圆方程为（2）①若直线的斜率不存在，即直线与轴垂直，此时、两点的坐标分别为，，则=②若直线的斜率存在，设直线的方程为，此时，满足，消去，得，易知，

而，则==（）令，故，易知（否则不存在），于是，由，得，即综合①②，（3）===由与向量平行，得解得（舍去），，此时由（）得所以⊥，此时的外接圆的圆心为线段的中点，即，半径，此时，的外接圆的方程21.已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，其离心率，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于A1，A2），当直线l的斜率不存在时，.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线A1P与A2Q交于点S，试问：点S是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由.参考答案：(1)由题意可设椭圆的半焦距为，由题