2022年度江苏省常州市市第二高级中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022年度江苏省常州市市第二高级中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（

）A．1

B.

C.

D.参考答案：B略2.已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是A.

B.

C.

D.参考答案：D3.设f（x）是定义在R上的增函数，其导函数为f′（x），且满足+x＜1，下面不等式正确的是(

)A．f（x2）＜f（x﹣1） B．（x﹣1）f（x）＜xf（x+1） C．f（x）＞x﹣1 D．f（x）＜0参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】构造函数g（x）=（x﹣1）f（x），得到g（x）在R上单调递减，根据g（1）=0，得到x＞1时：f（x）＜0，从而求出答案．【解答】解：∵f（x）定义在R上的增函数，其导函数为f′（x），∴f′（x）＞0，∵+x＜1，∴（x﹣1）f′（x）+f（x）＜0，设g（x）=（x﹣1）f（x），∴g′（x）=（x﹣1）f′（x）+f（x）＜0，∴g（x）在R上单调递减，∵g（1）=0，∴当x＞1时：g（x）=（x﹣1）f（x）＜g（1）=0，∴x＞1时：f（x）＜0，又f（x）是定义在R上的增函数，∴当x≤1时：必有f（x）＜0，综上可知f（x）＜0，x∈R，故选：D．【点评】本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，构造函数g（x）=（x﹣1）f（x），根据x＞1时得到f（x）＜0是解题的关键，本题是一道中档题．4.已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A. B.C. D.参考答案：B【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】，．，又，，又，，故选B．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．5.下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D6.已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(?UB)等于()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x<－1}

D．{x|－1≤x≤3}参考答案：D略7.若，，则的最小值为A．

B．

C．

D．7参考答案：D8.(2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y－2x的最小值为 (A)－7 (B)－4 (C)1 (D)2参考答案：A9.动点在圆上运动，它与定点B（3,0）连线的中点的轨迹方程式（

）ABCD参考答案：C10.已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：C【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式求得sin（α+）=﹣，再利用二倍角的余弦公式求得cos（2α+）的值．【解答】解：∵sin（﹣α）﹣cosα=cosα﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣，则cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，ADPD.若PC=4，PB=2，则CD=____________.参考答案：12.已知向量，满足?=0，||=1．||=2，则|+|=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量数量积运算性质即可得答案．【解答】解：∵?=0，||=1．||=2，∴=1+4=5．∴|+|=．故答案为：．【点评】本题考查了向量数量积运算性质，属于基础题．13.设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：∪[3，+∞）

【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令y=3x﹣a=0，则x=log3a，令y=π（x﹣3a）（x﹣2a）=0，则x=2a，或x=3a，根据f（x）恰有2个零点，分类讨论满足条件的a值，可得答案．【解答】解：令y=3x﹣a=0，则x=log3a，令y=π（x﹣3a）（x﹣2a）=0，则x=2a，或x=3a，若a≤0时，则x=log3a无意义，此时函数无零点；若0＜a＜3，则x=log3a＜1必为函数的零点，此时若f（x）恰有2个零点，则，解得：a∈，若a≥3，则x=log3a≥1必不为函数的零点，2a≥1，3a≥1必为函数的零点，此时a∈[3，+∞），综上可得实数a的取值范围是：∪[3，+∞），故答案为：∪[3，+∞）14.在的展开式中，常数项为

．参考答案：﹣5【考点】二项式定理的应用．【分析】的展开式中的通项公式：Tr+1=（﹣1）4﹣r（r=0，1，2，3，4）．的通项公式：Tk+1==（﹣1）kxr﹣2k，令r﹣2k=0，即r=2k．进而得出．【解答】解：的展开式中的通项公式：Tr+1=（﹣1）4﹣r（r=0，1，2，3，4）．∵的通项公式：Tk+1==（﹣1）kxr﹣2k，令r﹣2k=0，即r=2k．r=0，k=0；r=2，k=1；r=4，k=2．∴常数项=1﹣×+×1=﹣5．故答案为：﹣5．15.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方×高），则由此可推得圆周率π的取值为

▲

.参考答案：3由题意圆柱体的体积（底面圆的周长的平方高），解得

16.已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为

。参考答案：5解析：设圆心到的距离分别为,则.四边形的面积17.△ABC为等腰直角三角形，是△ABC内的一点，且满足，则的最小值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的短轴长为，离心率为，点，是上的动点，为的左焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值.参考答案：（Ⅰ）依题意得解得∴椭圆的方程是（Ⅱ）设设线段中点为∵∴中点，直线斜率为由是以为底边的等腰三角形∴∴直线的垂直平分线方程为令得∵∴由∴四边形面积当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.19.设函数的图象与直线相切于点，且点的横坐标为．(I)求，的值；(Ⅱ)求函数的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．参考答案：解析：（Ⅰ）………3分由于的图象与直线相切于点，点的横坐标为，则．所以

………7分即解得，．………8分

（Ⅱ）由，，得，定义域为，令，解得或；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

令，解得．故函数在区间上分别单调递增，在区间

上单调递减．………14分20.如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（I）证明：（II）若,求三棱柱的高.参考答案：（I）连结，则O为与的交点，因为侧面为菱形，所以?，又平面，故?平面，由于平面，故

………6分（II）作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H,由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.因为,所以△为等边三角形,又BC=1,可得OD=，由于，所以，由OH·AD=OD·OA,且，得OH=又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为,故三棱柱ABC-A1B1C1的高为……….12分21.（本小题满分12分）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片。(1)从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；(2)若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；(3)从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当抽到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望。参考答案：解：（Ⅰ）因为1,3,5是奇数，2、4是偶数，设事件A为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数”

-----------------------------------4分（Ⅱ）设表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为，

-----------------6分则．

---------------------------------8分（Ⅲ）依题意，的可能取值为．，，

，

所以的分布列为

．

------------12分

22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为﹣，若动点P满足=+2，试探究，是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点（，1），且离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由，得x=x1+2x2，y=y1+2y2，由M，N都在椭圆=1上，设=﹣，得到点P是椭圆上的点，由此能求出F1，F2的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（，1），且离心率为，∴，解得a=2，b=，∴椭圆